一階近似下引力場中圓軌道運(yùn)動徑向微擾分析

王遠(yuǎn)卓

摘 要討論圓軌道運(yùn)動衛(wèi)星受徑向微小擾動后的運(yùn)動，從能量與受力出發(fā)，通過一階近似手段，從而得到徑向運(yùn)動的周期特性與相關(guān)推論。

【關(guān)鍵詞】有效勢能 微小擾動 一階近似

圓軌道是人造衛(wèi)星運(yùn)動的理想狀態(tài)，但由于各種外界因素的影響，衛(wèi)星在運(yùn)動過程中無法避免地會受到擾動從而運(yùn)動狀態(tài)受到影響。本文提出了在合理近似下衛(wèi)星受到徑向微小擾動后運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型。

1 勻速圓周軌道的穩(wěn)定性分析

1.1 有效勢能函數(shù)的建立

考慮一個質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星環(huán)繞質(zhì)量為M的中心天體作角動量為L的勻速圓周運(yùn)動，這里引入離心勢能：

（1）

（2）引力勢能為

那么衛(wèi)星運(yùn)動的有效勢能為離心勢能與引力勢能之和，即：

（3）

其函數(shù)圖像如圖1所示。

1.2 軌道穩(wěn)定性的具體分析

衛(wèi)星作勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑R0滿足：

（4）

若衛(wèi)星在受到徑向微小擾動后勢能升高，那么根據(jù)勢能最低原理，衛(wèi)星將不會遠(yuǎn)離而是在軌道的平衡位置附近運(yùn)動，此時認(rèn)為該衛(wèi)星的軌道是穩(wěn)定的。根據(jù)勢能判斷：

（5）

可知衛(wèi)星繞中心天體的圓軌道是穩(wěn)定的。

2 徑向振動一階近似下的周期分析

2.1 運(yùn)動參量的確定

根據(jù)衛(wèi)星剛好做圓周運(yùn)動，得到：

（6）

即： （7）

其軌道如圖2所示。

如果衛(wèi)星受到了徑向微小擾動，根據(jù)萬有引力的有心性，其運(yùn)動過程中角動量守恒，那么有：

（8）

由此可以得到切向速度的表達(dá)式：

（9）

泰勒展開并保留至一階小量，得到更為簡潔的表達(dá)式：

（10）

2.2 徑向運(yùn)動的力學(xué)討論

取隨衛(wèi)星轉(zhuǎn)動的參考系，由于只考慮徑向運(yùn)動，可不考慮與速度垂直的科里奧利力作用。這里引入慣性離心力：

（11）

并且有萬有引力：

（12）

那么衛(wèi)星徑向受到的合力為：

（13）

受到擾動后，則上式表達(dá)為：

（14）

這里的整理取到一階近似。從以上表達(dá)式可以看出，衛(wèi)星受到的是正比于徑向位移的線性回復(fù)力，可以判斷其做簡諧振動。從式中可以得到等效勁度系數(shù)為：

（15）

那么衛(wèi)星徑向振動的周期應(yīng)為：

（16）

3 對以上結(jié)果的討論

3.1 運(yùn)動經(jīng)歷半個周期時衛(wèi)星位置的確定

取時刻：，此時經(jīng)過了半個周期，衛(wèi)星回到平衡位置，其軌道與圓軌道相交，由此可知在這段時間里衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的圓心角為：

（17）

恰好轉(zhuǎn)過半個圓周，這說明衛(wèi)星運(yùn)動的新軌道與原圓周軌道的交點(diǎn)位于受擾起始點(diǎn)與中心天體所在直線上。

3.2 運(yùn)動經(jīng)歷一個周期時衛(wèi)星位置的確定

另外取時刻，此時經(jīng)過了一個周期，衛(wèi)星亦回到平衡位置，其軌道與圓軌道相交。由此可知在這段時間里衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的圓心角為：

（18）

恰好轉(zhuǎn)過一個圓周，這說明衛(wèi)星運(yùn)動的新軌道仍然經(jīng)過受擾起始點(diǎn)。

4 結(jié)論

從以上的推導(dǎo)中可以看出，衛(wèi)星繞中心天體運(yùn)動的圓軌道是穩(wěn)定的。在受到徑向微小擾動之后，衛(wèi)星的運(yùn)動可以近似地看做是圓周運(yùn)動與徑向簡諧運(yùn)動的合成。新軌道與圓軌道共有兩個交點(diǎn)，一個位于受到擾動處，另一個位于受到擾動處與中心天體所確定的直線上。文章為人造地球衛(wèi)星在受擾之后的運(yùn)動提供了一個具有現(xiàn)實(shí)意義的物理模型，對于衛(wèi)星的軌道調(diào)整有借鑒作用。

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作者單位

西安高新第一中學(xué) 陜西省西安市 710075