腦科學(xué)為數(shù)學(xué)教育提供依據(jù)

/ 北京師范大學(xué)教授

數(shù)學(xué)教育界一直存在著兩種不同的聲音，一種注重?cái)?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程和價(jià)值，使數(shù)學(xué)回歸生活中，在具體的情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的“生活化”“生活味”。另一種則是強(qiáng)調(diào)從數(shù)學(xué)學(xué)科體系的角度出發(fā)，注重構(gòu)建較為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系，突出“數(shù)學(xué)化”“數(shù)學(xué)味”。這兩種趨勢(shì)我們概括為情境化和符號(hào)化。對(duì)于數(shù)學(xué)教育中“符號(hào)化”與“情境化”的爭(zhēng)論，總體上，具有教育學(xué)、心理學(xué)背景的專家學(xué)者更傾向于“生活化”，即情境化數(shù)學(xué)；而有數(shù)學(xué)專業(yè)背景的專家學(xué)者則傾向于“數(shù)學(xué)化”，即符號(hào)化數(shù)學(xué)。但也已有學(xué)者認(rèn)識(shí)到二者必須相互融合，并提出了對(duì)應(yīng)的方法。隨著腦與認(rèn)知科學(xué)的興起，對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知的腦機(jī)制研究不僅為數(shù)學(xué)化與生活化的融合需要提供了有力的腦科學(xué)證據(jù)，而且為二者的融合提出了新的方法與啟示。

情境化與符號(hào)化融合的認(rèn)知與腦機(jī)制

數(shù)學(xué)“生活化”即情境化，是在具體的生活情境中解決數(shù)學(xué)問題，與推理、言語理解及情境記憶等都有密切的關(guān)系，其腦機(jī)制與額葉、顳葉、海馬等區(qū)域有關(guān)。研究發(fā)現(xiàn)比起純算式的問題，學(xué)生更容易回答有情境的數(shù)學(xué)問題，如0.3×40，和“一根鉛筆0.3元，我要買40根應(yīng)該付多少錢”。而且問題陳述更為詳細(xì)時(shí)解決起來更容易。再比如，同樣的數(shù)字“1620”“1789”，作為數(shù)字比較大小和作為情境事件的年份比較時(shí)，共享頂葉激活，但年份比較時(shí)負(fù)責(zé)語義加工的顳葉和額葉有更多激活。腦成像研究進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用題的推理加工成分激活了頂葉，對(duì)題目中言語的理解激活了顳葉和額葉。另外在處理新情境中的數(shù)學(xué)問題時(shí)，會(huì)涉及從情景記憶中提取有用的線索信息，其腦機(jī)制和內(nèi)側(cè)顳葉、海馬等腦區(qū)相關(guān)。

數(shù)學(xué)教育的“數(shù)學(xué)化”即符號(hào)化，內(nèi)容則包括了數(shù)字?jǐn)?shù)量加工、數(shù)學(xué)計(jì)算、符號(hào)加工推理等內(nèi)容，其腦機(jī)制主要定位為大腦頂葉區(qū)域。研究中發(fā)現(xiàn)不論阿拉伯?dāng)?shù)字、中文、英文、羅馬數(shù)字等形式，包含數(shù)字?jǐn)?shù)量加工的條件引起了更多頂葉區(qū)域激活。如進(jìn)行判斷“2，5，8，11，下一個(gè)是？”之類的數(shù)字歸納推理任務(wù)時(shí)頂葉區(qū)域會(huì)被顯著激活。數(shù)學(xué)認(rèn)知的“形狀加工假設(shè)”指出數(shù)學(xué)符號(hào)相關(guān)的數(shù)學(xué)認(rèn)知都是基于符號(hào)的形象加工的，頂葉則在不同類型數(shù)學(xué)任務(wù)中發(fā)揮著對(duì)這些形象進(jìn)行空間加工的作用。

數(shù)學(xué)活動(dòng)是多個(gè)腦區(qū)的共同作用，已有研究發(fā)現(xiàn)了一些腦區(qū)在數(shù)學(xué)認(rèn)知中具有較強(qiáng)的功能連接。例如額葉、海馬等的功能連接強(qiáng)度可以預(yù)測(cè)兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果；額葉和頂葉間的功能連接在計(jì)算加工中起到重要作用。而筆者最新研究顯示，精確計(jì)算時(shí)頂葉、中央溝區(qū)域和海馬三者之間的連接也是顯著的。腦功能的連接，證明了數(shù)學(xué)教學(xué)中，情境與符號(hào)的融合是符合大腦活動(dòng)規(guī)律及數(shù)學(xué)認(rèn)知機(jī)制的。

言語對(duì)二者融合的調(diào)和

不論是數(shù)學(xué)應(yīng)用題等情境化內(nèi)容還是數(shù)字符號(hào)計(jì)算、推理等符號(hào)化內(nèi)容的加工，都一定程度地激活了大腦言語加工腦區(qū)。首先，情境編碼和語義編碼時(shí)額葉、顳葉等的大腦激活模式在很大程度上是相同的，且右側(cè)額葉和海馬區(qū)域的激活程度可以在某種程度上預(yù)測(cè)記憶的效果。因此，情境和語言具有一定的共通成分，可以從情境中提取語言內(nèi)容，也可以用語言激活情境記憶。

其次，研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)術(shù)語的加工主要依賴于語言音形義三要素中的語義腦區(qū)，即定位于顳葉與額葉；類似加法交換律等算術(shù)原理的加工除了頂葉激活，負(fù)責(zé)語言加工的顳葉區(qū)域也有顯著激活；針對(duì)應(yīng)用題和幾何證明題的數(shù)學(xué)問題解決也依賴于大腦語義網(wǎng)絡(luò)，并且左半球的角回、顳葉、額葉等都有明顯激活。

可見言語加工是數(shù)學(xué)加工中的重要成分，情境數(shù)學(xué)與符號(hào)數(shù)學(xué)均需要語義網(wǎng)絡(luò)的參與作用。因此，情境與符號(hào)的融合還能以語言為中介。結(jié)合情境、符號(hào)和語言在數(shù)學(xué)加工中的獨(dú)特參與作用，在實(shí)踐中需要實(shí)行三元數(shù)學(xué)教育。

三元數(shù)學(xué)教育

三元數(shù)學(xué)包含情境數(shù)學(xué)、符號(hào)數(shù)學(xué)和言語數(shù)學(xué)三部分。其中的情境數(shù)學(xué)指包含數(shù)學(xué)原理的情境。符號(hào)數(shù)學(xué)是采用特定的數(shù)學(xué)符號(hào)，如數(shù)字和字母等，對(duì)數(shù)學(xué)原理加以表示。言語數(shù)學(xué)主要指用自然語言對(duì)數(shù)學(xué)原理進(jìn)行描述。例如，對(duì)于數(shù)學(xué)原理“加法交換律”，具體情境即為“兩個(gè)籃子的雞蛋交換后總數(shù)不變”，用語言描述其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理為“兩個(gè)數(shù)相加，交換位置和不變”，符號(hào)數(shù)學(xué)可以表達(dá)為“a+b=b+a”。三者之間可以相互轉(zhuǎn)化、相互補(bǔ)充以促進(jìn)數(shù)學(xué)理解和記憶。

世界及我國教育改革所面臨的“度”的問題，既有過于側(cè)重情境化造成的數(shù)學(xué)知識(shí)體系建構(gòu)不完全，也有過于側(cè)重符號(hào)化而造成的學(xué)生理解困難。三元數(shù)學(xué)中，第一個(gè)問題可以通過語言描述的數(shù)學(xué)知識(shí)體系框架來解決；第二個(gè)問題則可以言語為中介理解抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，同時(shí)對(duì)符號(hào)背景、歷史、發(fā)展的言語描述也能建立起有情境支撐的符號(hào)系統(tǒng)。這主要包含四個(gè)層面。

第一，教學(xué)的起點(diǎn)可以是情境，也可以是符號(hào)。我國新課改以來的新教學(xué)過程即首先創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，將具體情境中的數(shù)學(xué)原理轉(zhuǎn)化為言語描述，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)。另一種從符號(hào)入手教學(xué)，使用言語描述符號(hào)的歷史、讀寫法、含義，進(jìn)而涉及具體情境中的應(yīng)用。兩種思路殊途同歸。

第二，情境、語言和符號(hào)不構(gòu)成遞進(jìn)關(guān)系，而是相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。三者轉(zhuǎn)化的過程是可逆的：既可以用言語描述情境，也能將描述數(shù)學(xué)原理的言語轉(zhuǎn)化為符號(hào)。言語與符號(hào)加工共享的大腦額葉、顳葉等區(qū)域?yàn)榇颂峁┝四X基礎(chǔ)，而且研究顯示，這些區(qū)域的功能連接是雙向的，并不是單向的。因此，言語數(shù)學(xué)的應(yīng)用及對(duì)情境與符號(hào)的融合是一個(gè)相互的關(guān)系，而不是單方面的遞進(jìn)。

第三，在情境、語言和符號(hào)中以理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)原理為中心。數(shù)學(xué)原理包括數(shù)學(xué)定理、公式、法則等，是對(duì)概念的屬性以及概念之間關(guān)系的邏輯判斷。數(shù)學(xué)原理是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心，因其不僅是數(shù)學(xué)情境的核心，也是數(shù)學(xué)符號(hào)的基礎(chǔ)。而算術(shù)原理的加工依賴于和數(shù)學(xué)符號(hào)相關(guān)的頂葉區(qū)域、和語言相關(guān)的顳葉、額葉區(qū)域等，這說明了對(duì)數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)需要三者的共同作用。

第四，數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的界定不是從情境到符號(hào)，而是言語、符號(hào)到情境及其轉(zhuǎn)換的多重目標(biāo)；對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)也要從情境、言語和符號(hào)三個(gè)維度考慮。我國數(shù)學(xué)教育很長一段時(shí)間內(nèi)都是以符號(hào)數(shù)學(xué)為主要目標(biāo)及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的；新課改后增加了能力目標(biāo)，教師學(xué)生普遍開始接受以在具體情境中解決問題的能力作為教育目標(biāo)。目前人們發(fā)現(xiàn)情境化數(shù)學(xué)導(dǎo)致數(shù)學(xué)成績下降，可能與評(píng)價(jià)仍然是符號(hào)化數(shù)學(xué)的評(píng)價(jià)有關(guān)，而增加以數(shù)學(xué)的理解能力為目標(biāo)的評(píng)價(jià)是解決方法之一。如考試中適當(dāng)增加數(shù)學(xué)原理理解題的比例，考察對(duì)數(shù)學(xué)原理這一核心目標(biāo)的理解。