積分求解與幾何之間的關(guān)系

◎趙一珺

(長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)，湖南 長(zhǎng)沙 410002)

積分思想出現(xiàn)在求面積、體積等問(wèn)題中，在古中國(guó)、古希臘、古巴比倫、古埃及的早期數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中都涉及了這類(lèi)問(wèn)題的思想和方法.如，古希臘的阿基米德(公元前287—前212年)用邊數(shù)越來(lái)越多的正多邊形去逼近圓的面積，稱(chēng)為“窮竭法”.中國(guó)魏晉時(shí)代的劉徽在其《九章算術(shù)注》(公元263年)中，對(duì)于計(jì)算圓面積提出了著名的“割圓術(shù)”，他解釋說(shuō)：“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣.”這些都是原始的積分思想.

積分是微積分學(xué)與數(shù)學(xué)分析里的一個(gè)核心概念.通常分為定積分和不定積分兩種.直觀地說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的正實(shí)值函數(shù)，在一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間上的定積分可以理解為在坐標(biāo)平面上，由曲線、直線以及軸圍成的曲邊梯形的面積值(一種確定的實(shí)數(shù)值).

一、定積分與面積

可以抽象出積分的原型為求解曲邊梯形的面積.

曲邊梯形由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)，x軸與兩條直線x=a，x=b所圍成.

曲邊梯形的面積的解決思路：利用元素法的思想求解曲邊梯形的面積時(shí)，可概括為“分割—取近似—求和—取極限”的步驟.

第一步：分割.將曲邊梯形的底，即[a，b]進(jìn)行分割(用垂直于x軸的直線)，記Δxi=xi-xi-1.

第二步：取近似.取出典型小區(qū)域，用矩形面積近似曲邊梯形面積ΔSi=f(ξi)Δxi.

第三步：求和.將每個(gè)小曲邊梯形的面積都用矩形近似，并將所有的小矩形面積加起來(lái).

第四步：取極限.當(dāng)對(duì)曲邊梯形底的分割越來(lái)越細(xì)時(shí)，矩形面積之和越近似于曲邊梯形面積.

曲邊梯形面積的近似值為

當(dāng)分割無(wú)限增加，即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}趨近于零(λ→0)時(shí)，曲邊梯形的面積為

二、積分幾何意義的運(yùn)用

由積分的計(jì)算過(guò)程可以得知，積分的幾何意義是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x=a，x=b之間的各部分面積代數(shù)和，在x軸上方的面積取正號(hào)，在x軸下方的面積取負(fù)號(hào).

下面利用定積分的幾何意義來(lái)求解問(wèn)題.

解由定積分的幾何意義得：求函數(shù)積分即為求該函數(shù)在[0，1]上f(x)與x軸所圍成的面積，如圖所示.求解面積即可.

在不等式的證明中，可以根據(jù)不等式中函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合積分的幾何意義，解決證明問(wèn)題.

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