反三角函數(shù)等式arcsin玿+arccos玿=π2的幾種證法

摘要：通過對等式arcsinx+arccosx=π2（x∈[-1，1]）的幾種不同證明方法，以開拓學(xué)生們的解題思路。

關(guān)鍵詞：反三角函數(shù)；單值函數(shù)；等式

在反三角函數(shù)的教學(xué)中，對等式arcsinx+arccosx=π2（x∈[-1，1]）的證明往往是以作業(yè)題的形式出現(xiàn)，對于學(xué)生來說是一個難點(diǎn)。下面給出幾種證明方法，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，供大家參考。

證法1將對該等式的證明轉(zhuǎn)化為對等式

arcsinx=π2-arccosx（x∈[-1，1]）的證明。

∵x∈[-1，1]

∴arcsinx和π2-arccosx都是區(qū)間-π2，π2內(nèi)的角。

sin（arcsinx）=x

sinπ2-arccosx=cos（arccosx）=x

再由正弦函數(shù)在區(qū)間-π2，π2內(nèi)是單值函數(shù)知：arcsinx=π2-arccosx

也就是：

arcsinx+arccosx=π2。

這是比較常見的一種證法。

證法2在同一個坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=arcsinx和y=arccosx的圖象。

設(shè)y=arcsinx的圖象是曲線AOB，y=arccosx的圖象是曲線CMD（如圖1）。顯然這兩條曲線是關(guān)于直線y=π4對稱的。

在曲線y=arcsinx上任取一點(diǎn)P（x，arcsinx），過P作y軸的平行線，它與直線y=π4的交點(diǎn)是K，與曲線y=arccosx的交點(diǎn)是N（x，arccosx）。

∵|KN|=|KP|

且|KN|=arccosx-π4，

|KP|=π4-arcsinx

∴arccosx-π4=π4-arcsinx，

也就是：

arcsinx+arccosx=π2（x∈[-1，1]）。

證法3如圖2，同圖1先在同一個坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=arcsinx和y=arccosx的圖象，分別是曲線AOB和CMD，再把曲線CMD向下平移π2個單位，得到曲線C′OD′，它對應(yīng)的函數(shù)式為y=arccosx-π2。

顯然曲線AOB和曲線C′OD′是關(guān)于x軸對稱的。

在曲線y=arcsinx上任取一點(diǎn)P（x，arcsinx），過P作y軸的平行線，它與x軸的交點(diǎn)是N，與曲線y=arccosx-π2的交點(diǎn)是K（x，arccosx-π2）。∵|PN|=|KN|，

且|PN|=-arcsinx，

|KN|=arccosx-π2。

∴-arcsinx=arccosx-π2。

也就是：

arcsinx+arccosx=π2（x∈[-1，1]）。

證法4利用導(dǎo)數(shù)來證明

設(shè)f（x）=arcsinx+arccosx，|x|≤1則f′（x）=11-x2-11-x2=0

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)知f（x）=C（C是常數(shù)）

那么C=f（0）=arcsin0+arccos0=π2

也就是：

arcsinx+arccosx=π2（x∈[-1，1]）。

作者簡介：朱雙榮，湖北省武漢市，武漢船舶職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部。