微積分中的哲學(xué)思想

王桂英

摘 要：哲學(xué)指導(dǎo)和推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展，而數(shù)學(xué)的發(fā)展也加深了對哲學(xué)基本規(guī)律的理解，豐富了哲學(xué)的內(nèi)容。在高等數(shù)學(xué)的許多課程中都蘊(yùn)涵著豐富的哲學(xué)思想，以微積分為例，探討了其中的哲學(xué)和辯證法規(guī)律。該研究對理解高等數(shù)學(xué)的方法和本質(zhì)具有指導(dǎo)性作用。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 微積分 哲學(xué)思想 唯物辯證法

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1003-9082（2018）01-00-01

數(shù)學(xué)歷來都是哲學(xué)研究的對象，哲學(xué)作為世界觀，為數(shù)學(xué)發(fā)展起著指導(dǎo)和推動(dòng)作用。微積分是研究函數(shù)的微分、積分以及相關(guān)概念和應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上的一次重大飛躍，其中蘊(yùn)含著豐富深刻的哲學(xué)思想。是繼歐氏幾何之后，數(shù)學(xué)學(xué)科中的一個(gè)最大的創(chuàng)造。微積分的建立，使得常量數(shù)學(xué)在內(nèi)容上得到了極大的豐富，在思想方法上也發(fā)生了深刻的變化，許多哲學(xué)思想都得到了詮釋。

一、對立統(tǒng)一規(guī)律

對立統(tǒng)一的規(guī)律是唯物辯證法的基本規(guī)律，揭示事物的本質(zhì)，人類社會(huì)和人的思想是相互聯(lián)系的，相互排斥的兩個(gè)方面，相互矛盾，相互接觸，這兩者是相互矛盾的。雙方的團(tuán)結(jié)和斗爭正在推動(dòng)事態(tài)的變化和發(fā)展。在微積分中，極限是最基本和最重要的概念之一。它充分體現(xiàn)了對立面的統(tǒng)一，通過有限的理解反映了人們的無限的辯證規(guī)律。具體來說，函數(shù)f（x）趨近于常數(shù)A的過程是一個(gè)無限接近的過程，但對于過程的每一步，這種方法都是有限的；f（x）a趨于零，趨于零的過程是一個(gè)無窮小的過程，但在過程的每一個(gè)階段，它的較小程度都是有限的。有限和無限是這樣的矛盾和統(tǒng)一，只有通過有限的認(rèn)識(shí)無限，從有限到無限。極限過程統(tǒng)一了有限與無限之間的矛盾。在計(jì)算曲邊梯形面積時(shí)，首先將未知曲線梯形劃分為多個(gè)小梯形，當(dāng)分割很細(xì)時(shí)，可將其彎曲成直邊，可以將這些小的直邊梯形面積和梯形面積作為大曲的近似值。也就是說，“以直線取代曲線”。其次，對分割結(jié)果進(jìn)行無限細(xì)化，取其和為極限。從而將小直邊梯形的面積之和轉(zhuǎn)換成大曲邊梯形的面積。這就是“以曲代直” 因此，“曲”與“直”之間的矛盾用極限法和諧統(tǒng)一。正如恩格斯所說，“直線和曲線最終等同于微積分?！?。矛盾是普遍存在的，矛盾的雙方彼此相互依賴并存，并存在著由此及彼的橋梁。微分與積分問題是微積分中的兩個(gè)對立統(tǒng)一的概念，是解決實(shí)際問題中的“變與不變”、“有限與無限”、“近似與精確”的有力數(shù)學(xué)工具，微分解決“局部”問題，而“定積分”解決的是“全局”問題，微分和積分是統(tǒng)一變量（增量與原函數(shù)）的不同反映（局部與全局），是對立統(tǒng)一下的互逆關(guān)系。著不僅是思維的巧妙，更是哲理的藝術(shù)。微積分充滿矛盾。常量與變量，有限和無限，連續(xù)和不連續(xù)，直線和曲線是兩個(gè)矛盾。它們相互對立，但在一定條件下相互依存，相互轉(zhuǎn)化。

二、質(zhì)量互變規(guī)律

辯證唯物主義認(rèn)為，一切物質(zhì)都是質(zhì)量和數(shù)量的統(tǒng)一。物質(zhì)交換規(guī)律表明，

事物的發(fā)展有兩種基本形式，即量變和質(zhì)變。前者代表物的增減，數(shù)量上的特點(diǎn)。是一種連續(xù)的、在度的范圍內(nèi)發(fā)生沒有重大的變化，后者是事物性質(zhì)的變化。進(jìn)步進(jìn)程的中斷，從一個(gè)種質(zhì)到另一個(gè)種質(zhì)的轉(zhuǎn)變。是對原有度的突破。微積分中常用的一種方法是求極限，極限實(shí)際上是無窮接近的過程，它是一個(gè)“度”。當(dāng)沒有達(dá)到這個(gè)程度時(shí)，它只是數(shù)量的積累（量變） 過程，一旦超出這個(gè)程度，就會(huì)發(fā)生近似精確的質(zhì)變。如在梯形面積計(jì)算中，通過分段、近似代換和求和得到梯形面積的近似值。這個(gè)過程是量變的過程，在這個(gè)過程中沒有質(zhì)的變化。然而，如果分割是無限加密的，且每個(gè)梯形邊緣的寬度趨于零，則將得到梯形的精確面積。這時(shí)，必然會(huì)發(fā)生從量變到質(zhì)變，這是定積分理論的基本思想。

三、否定之否定規(guī)律

否定規(guī)律揭示了事物發(fā)展的整個(gè)過程和總體趨勢，是唯物辯證法的基本規(guī)律的綜合體現(xiàn)。事物的發(fā)展是通過自身的辯證否定來實(shí)現(xiàn)的。微積分理論本身的產(chǎn)生和發(fā)展過程反映了否定的否定規(guī)律。從牛頓和萊布尼茨的獨(dú)立微積分的概念以來，數(shù)學(xué)的發(fā)展達(dá)到了一個(gè)新的高度，產(chǎn)生了許多新的思想和方法。然而，由于微積分理論在當(dāng)時(shí)還不完善，一些數(shù)學(xué)家和學(xué)者指出微積分缺乏必要的邏輯基礎(chǔ)。質(zhì)疑微積分，甚至否定它，造成數(shù)學(xué)世界的混亂，這也就是所謂的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。直到19世紀(jì)20年代，在微積分的數(shù)學(xué)家阿貝爾、柯西和后來的康托等微積分理論證明了這一點(diǎn)。才化解危機(jī)，并建立了微積分的重要地位。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)實(shí)際上是第一個(gè)否定演算理論，和數(shù)學(xué)家阿貝爾為微積分理論嚴(yán)格證明又是否定之否定，從而克服了積極和消極兩個(gè)階段的片面性，并積極和消極的統(tǒng)一，微積分理論推進(jìn)到了一個(gè)新的發(fā)展和更高的階段。此外，微積分中的許多概念也包含否定之否定法則。如學(xué)習(xí)定積分的概念，梯形面積不是直接計(jì)算曲邊，而是將其否定，來計(jì)算許多小矩形面積和。但這并不是最終的化整為零，于是再一次否定，將分割無限細(xì)化并對小矩形面積的和求極限。也就是“積零為整”，從而得到曲邊梯形的面積。

高等數(shù)學(xué)中微積分的許多內(nèi)容都與哲學(xué)存在著密切的聯(lián)系，研究微積分中的哲學(xué)和辯證法規(guī)律對理解微積分的方法和實(shí)質(zhì)都會(huì)有指導(dǎo)性的作用。同時(shí)，從哲學(xué)的角度來看待微積分，不僅是學(xué)習(xí)微積分的需要，也是教授和研究發(fā)展微積分的需要.在微積分的學(xué)習(xí)過程中，不僅要掌握這些數(shù)學(xué)分析的方法，我們必須理解這些數(shù)學(xué)方法背后的哲學(xué)。只有這樣，我們才能更好地掌握微積分的本質(zhì)，既能掌握知識(shí)，又能培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力。

參考文獻(xiàn)

[1]劉巍.牛頓與萊布尼茨創(chuàng)立微積分哲學(xué)思想之比較[J].中國農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2000（4）：1-3

[2]王德勝，李建會(huì)，董春雨.自然辯證法原理[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1997：82

[3]匡繼昌.微積分和無窮小量的哲學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007，16（2） ：1-3

[4]恩格斯.自然辯證法[M].北京：人民出版社，1972：3

[5]周東啟.第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是方法論的變革[J].自然辯證法研究，2006，22（6） ：105-109