初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用分析

摘要：作為中、小學(xué)階段學(xué)生的必修課程之一，數(shù)學(xué)自身具有的抽象性導(dǎo)致應(yīng)用傳統(tǒng)的教學(xué)方式無法實(shí)現(xiàn)提高教學(xué)質(zhì)量的目標(biāo)，因此，對能夠?qū)⒕呦髨D形和抽象數(shù)字進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的思想加以運(yùn)用，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。文章首先對數(shù)形結(jié)合的含義進(jìn)行了簡明扼要的概括，然后從教師的角度出發(fā)，分析了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法的有效策略，最后通過理論與實(shí)際相結(jié)合的方式，圍繞著“初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中數(shù)形結(jié)合方法的具體運(yùn)用”展開了討論，供各位教師參考。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)形結(jié)合方法；具體運(yùn)用

一、 引言

在傳統(tǒng)觀念中，開展教學(xué)活動的目的主要是提高學(xué)生成績，正是因?yàn)槿绱?，初中教師普遍忽略了對學(xué)生學(xué)習(xí)能力以及綜合素質(zhì)進(jìn)行提升的重要作用，數(shù)形結(jié)合的方法自然沒有引起數(shù)學(xué)教師的注意。但是隨著新課改的推行，教師的教學(xué)理念也出現(xiàn)了明顯的變化，數(shù)形結(jié)合的方法逐漸在初中數(shù)學(xué)課堂上得到了運(yùn)用，實(shí)踐結(jié)果表明，這樣做不僅能夠提高學(xué)生素質(zhì)，還能夠推動數(shù)學(xué)教學(xué)的進(jìn)步，由此可以看出，圍繞著數(shù)形結(jié)合方法的具體運(yùn)用展開討論是很有必要的。

二、 數(shù)形結(jié)合方法的概述

數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是一種將具象圖形和抽象數(shù)字進(jìn)行結(jié)合后得出的思想，作為能夠?qū)⒊橄笾R通過形象圖形加以表達(dá)的思想，數(shù)形結(jié)合常被用在闡述數(shù)學(xué)概念、解決數(shù)學(xué)問題的過程中。對于初中階段圍繞著數(shù)學(xué)這門學(xué)科所開展的教學(xué)活動而言，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法具有的意義是十分突出的。一方面，數(shù)形結(jié)合能夠?qū)⒊橄笾R以更加具象化的形式呈現(xiàn)在學(xué)生眼前。與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)的特點(diǎn)主要體現(xiàn)在其所具有的抽象性的方面，而在素質(zhì)教育取代應(yīng)試教育主體地位的當(dāng)今社會，綜合實(shí)踐能力成為衡量學(xué)生整體水平的主要依據(jù)，如果仍舊沿用傳統(tǒng)的教學(xué)方法，不僅會使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生恐懼心理，還會導(dǎo)致數(shù)學(xué)具有的價(jià)值和作用無法得到最大化實(shí)現(xiàn)。而將數(shù)形結(jié)合的方法運(yùn)用在教學(xué)過程中，能夠以更加形象并且直觀的方式將抽象的數(shù)學(xué)知識加以呈現(xiàn)，在降低課程難度的基礎(chǔ)上，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)這門學(xué)科具有的學(xué)習(xí)興趣，從而主動對相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行學(xué)習(xí)與應(yīng)用；另一方面，數(shù)形結(jié)合能夠加強(qiáng)學(xué)生具有的解題能力。數(shù)形結(jié)合能夠通過拓展學(xué)生思維的方式，使學(xué)生掌握更加豐富的解題技巧，并使其形成相應(yīng)的解題思路，使得學(xué)生在對數(shù)學(xué)題目進(jìn)行解答的準(zhǔn)確率和速度方面都能夠得到不同程度的提升。

三、 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法的有效策略

（一） 在解題過程中對數(shù)形結(jié)合方法加以滲透

如果想要使學(xué)生養(yǎng)成見數(shù)想形、見形思數(shù)的習(xí)慣，關(guān)鍵是在解題過程中對數(shù)形結(jié)合方法加以滲透，這一策略的提出是因?yàn)榻忸}方法的運(yùn)用始終建立在對知識進(jìn)行準(zhǔn)確掌握的基礎(chǔ)上，也就是說，方法是無法脫離知識或問題而獨(dú)立存在的?；诖耍踔袛?shù)學(xué)教師在開展教學(xué)活動時(shí)，應(yīng)當(dāng)將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力作為主要目標(biāo)，引導(dǎo)并鼓勵(lì)學(xué)生將圖形應(yīng)用在解題的過程中，只有這樣，才能使他們真正體會到數(shù)形結(jié)合帶來的便利。例如，在對一元二次方程所對應(yīng)求根公式進(jìn)行講解時(shí)，大多數(shù)學(xué)生都會以現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)為依據(jù)，對與ax2-b=0相似的ax2+bx+c=0這一方程進(jìn)行解答，此時(shí)，教師需要做的就是引導(dǎo)學(xué)生圍繞以下內(nèi)容展開探索：已知未知數(shù)x和常數(shù)c之間不存在關(guān)系，因此，將常數(shù)c向等號右端進(jìn)行移動是可行的，那么，ax2+bx=-c成立，接下來需要進(jìn)行的環(huán)節(jié)是去除二次項(xiàng)系數(shù)，得出x2+ba·x=-ca，再將左端延伸成為完全平方公式，就實(shí)現(xiàn)了將其向一元二次方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，式中的x2可以被看作邊長是x的正方形，ba·x可以被看作邊長是x和ba的矩形，將該矩形分割成兩個(gè)不同的矩形，邊長分別是x和b2a，再將這兩個(gè)矩形與邊長是x的正方形進(jìn)行結(jié)合，可以發(fā)現(xiàn)所得出圖形與正方形的區(qū)別在于缺少一個(gè)以b2a為邊長的正方形，最后需要注意減去補(bǔ)上的面積。通過對上文所敘述的全過程進(jìn)行總結(jié)，可得表達(dá)式如下：

x2+x+（）2=（）2-

（x+）2=

x=（a≠0）

（二） 借助多媒體技術(shù)對數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行展現(xiàn)

多媒體技術(shù)的作用主要是通過動態(tài)變化過程對問題進(jìn)行驗(yàn)證，將立體圖形向平面圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)變的過程以直觀的方式呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，使學(xué)生掌握利用動態(tài)眼光分析、解決問題的方法。例如，教師可以通過幻燈片對圓錐體、圓柱體或其他立體幾何圖形的展開圖進(jìn)行演示，并使學(xué)生明確不同立體圖形都是哪些平面圖形通過旋轉(zhuǎn)的方式得出的。由于在黑板上無法對動態(tài)的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行直觀表達(dá)，因此，在傳統(tǒng)理念指導(dǎo)下所開展的教學(xué)活動中，學(xué)生只能通過想象的方式對教師傳授的內(nèi)容進(jìn)行領(lǐng)悟，以多媒體為工具，則能夠?qū)D形運(yùn)動的全過程進(jìn)行生動、形象的表現(xiàn)。也就是說，多媒體技術(shù)不僅對呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的方式進(jìn)行了優(yōu)化，還通過數(shù)形結(jié)合的方式實(shí)現(xiàn)了知識的動態(tài)處理，在減弱數(shù)學(xué)所具有抽象性的基礎(chǔ)上，為學(xué)生提供了廣闊的想象空間。當(dāng)然需要教師注意一點(diǎn)，并非全部的數(shù)學(xué)課程都可以通過多媒體演示的方式得到事半功倍的效果，因此，教師應(yīng)當(dāng)以學(xué)生的實(shí)際情況和教學(xué)內(nèi)容為依據(jù)，對多媒體技術(shù)進(jìn)行有選擇性的應(yīng)用。

（三） 通過反思的方式，對數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行提煉

由于初中階段接觸到的大量數(shù)學(xué)知識點(diǎn)都與數(shù)形結(jié)合方法存在一定的聯(lián)系，如果數(shù)學(xué)教師只有在遇到相關(guān)問題時(shí)，才對數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行傳授，會顯得過于雜亂，學(xué)生自然無法對這一思想和方法的應(yīng)用加以掌握。想要避免上述情況的出現(xiàn)，需要教師進(jìn)行的工作就是對教材中與數(shù)形結(jié)合相關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行挖掘、歸納和整理，并結(jié)合不同知識點(diǎn)選取例題，通過在課堂上進(jìn)行分析和講解的方式，使學(xué)生能夠在短時(shí)間內(nèi)了解能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解答的題目類型以及解題思路。

四、 初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中數(shù)形結(jié)合方法的具體運(yùn)用

（一） 以形助數(shù)

以形助數(shù)是初中階段所開展數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合最多的一種方法，其關(guān)鍵在于通過形對相對抽象的數(shù)進(jìn)行直觀展示，在對代數(shù)問題進(jìn)行解決時(shí)，學(xué)生往往無法在第一時(shí)間想到通過數(shù)形結(jié)合的方法完成相關(guān)計(jì)算，因此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)有針對性地對學(xué)生在數(shù)形轉(zhuǎn)化方面具有的思想和能力進(jìn)行培養(yǎng)，例如，在對“冪的乘除與因式分解”的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，利用長方形面積完成對平方差、完全平方公式進(jìn)行推導(dǎo)的工作；在對“絕對值”的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，將數(shù)軸作為教學(xué)內(nèi)容的一部分……總的來說，以形助數(shù)可以被概括為以下兩方面：其一，在數(shù)軸、直角坐標(biāo)系的幫助下完成對幾何圖形的構(gòu)造，解決代數(shù)問題；其二，通過對幾何圖形加以運(yùn)用的方式，理解不同公式表達(dá)的內(nèi)容。

例1下圖是y=ax2+bx+c這一函數(shù)的圖像，那么以下結(jié)論中正確的是（）

A. a+c>b

B. abc>0

C. b2-4ac<0

D. 4a+2b+c>0

解析：由圖像可知a<0，-b2a=1，c>0，Δ= b2-4ac>0，故排除選項(xiàng)C；由于b=-2a>0，abc<0，故排除選項(xiàng)B；若x=-1，y=a-b+c<0，a+c0，故選項(xiàng)D正確。

例2在y=-3x-5這一函數(shù)圖像上存在點(diǎn)A坐標(biāo)為（-3，4），設(shè)該一次函數(shù)和y軸相交的點(diǎn)為B，那么，點(diǎn)A、點(diǎn)B與原點(diǎn)O形成的△ABO的面積是多少？

解析：由于點(diǎn)B是y=-3x-5和y軸的交點(diǎn)，因此，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是0，縱坐標(biāo)是-5，也就是說點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-5），則S△ABO=12·|-3|·|-5|=7.5。

例3對x-1≥-x2+2x+1進(jìn)行求解。

解析：由于學(xué)生在此前尚未接觸過一元二次不等式的解法，因此，在計(jì)算該題時(shí)可以選擇數(shù)形結(jié)合的思想加以運(yùn)用，首先在數(shù)軸上畫出y1=x-1的函數(shù)圖像，然后再在同一個(gè)數(shù)軸上畫出y2=-x2+2x+1的函數(shù)圖像，并對處于y2上方的y所對應(yīng)x的具體范圍進(jìn)行計(jì)算，最終得出的結(jié)論即為該不等式的解。

（二） 以數(shù)解形

以數(shù)解形的關(guān)鍵是通過數(shù)對蘊(yùn)含于形中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行揭示，達(dá)到反映圖形屬性的效果。作為初中數(shù)學(xué)的主要構(gòu)成部分，在對與幾何圖形相關(guān)的問題進(jìn)行求解時(shí)，學(xué)生均可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式，將圖形性質(zhì)問題向數(shù)量關(guān)系問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在保證解題準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)上提高解題速度。目前，數(shù)形結(jié)合的方法已經(jīng)在初中數(shù)學(xué)課堂上得到了廣泛應(yīng)用，例如，在對“數(shù)軸”的有關(guān)知識進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，教師往往會通過溫度計(jì)示數(shù)引出“數(shù)軸”這一概念；在對“一次函數(shù)”的有關(guān)知識進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，教師又會將其與函數(shù)圖像進(jìn)行結(jié)合，保證學(xué)生能夠通過函數(shù)圖像對一次函數(shù)的性質(zhì)具有更加清晰的認(rèn)識……總的來說，以數(shù)解形可以被概括為以下兩方面：其一，利用角度、面積等因素，對幾何問題進(jìn)行解答；其二，利用數(shù)軸、直角坐標(biāo)系等因素，將最初的幾何問題向代數(shù)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

例4已知y=kx這一正比例函數(shù)的圖像和y=5-kx（k≠0，且k為常數(shù)）這一反比例函數(shù)的圖像存在一個(gè)橫坐標(biāo)是2的交點(diǎn)，請計(jì)算出這兩個(gè)函數(shù)之間所有交點(diǎn)坐標(biāo)。

解析：在對該類題解答時(shí)應(yīng)用以數(shù)助形的思想，往往可以取得良好的效果。已知這兩個(gè)函數(shù)圖像存在一個(gè)橫坐標(biāo)是2的交點(diǎn)，那么可得出方程組如下：

y=2ky=5-k2

簡化后得出：2k=5-k2，k=1，滿足k≠0且k為常數(shù)這一條件，那么題中所給一次函數(shù)的表達(dá)式就應(yīng)當(dāng)是y=x，而反比例函數(shù)的表達(dá)式則應(yīng)當(dāng)是y=4x，若交點(diǎn)1的橫坐標(biāo)x是2，那么該交點(diǎn)的縱坐標(biāo)同樣是2，即交點(diǎn)1坐標(biāo)（2，2），此時(shí)，再以“圖像成中心對稱”這一定理為依據(jù)，可得出交點(diǎn)2坐標(biāo)（-2，-2）。

例5對y1=k1x+a，y2=k2x+b這兩條直線所處位置具有的關(guān)系進(jìn)行探究。

解析：在對直線位置關(guān)系進(jìn)行研究時(shí)，可以將方程組的解作為依據(jù)，根據(jù)題目所給的已知條件，可得出方程組：y1=k1x+ay2=k2x+b

該方程組所具有的幾何意義即為題目中所給出兩條直線在位置上的關(guān)系，對方程組進(jìn)行求解時(shí)，可能出現(xiàn)的情況共有三種，分別是有且只有一個(gè)解、無解以及有無數(shù)個(gè)解，而這三種情況對應(yīng)的直線位置關(guān)系分別是相交、平行以及重合。

五、 結(jié)論

通過對上文所敘述的內(nèi)容進(jìn)行分析可以看出，數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)知識間存在著密不可分的關(guān)系，具體來說，數(shù)形結(jié)合就是將數(shù)學(xué)知識作為基礎(chǔ)，通過將空間形式與數(shù)量關(guān)系進(jìn)行結(jié)合的方式，達(dá)到對不同數(shù)學(xué)問題進(jìn)行高效解決的目標(biāo)的方法。本文主要從以形助數(shù)與以數(shù)解形兩個(gè)方面，對數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的實(shí)際運(yùn)用進(jìn)行了討論，希望可以在某些方面為初中數(shù)學(xué)教師提供幫助，提高教學(xué)的質(zhì)量和水平。

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳文光.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的實(shí)際應(yīng)用[J].考試周刊，2017（A2）：97.

[2] 陳仲杰.試論初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用[J].考試周刊，2016（61）：76-77.

作者簡介：田然，浙江省寧波市，浙江省寧波市象山縣城南學(xué)校。