“十字相乘法”在初高中數(shù)學中的銜接

洪貴興

摘 要：在初中、高中數(shù)學的銜接教育中，“十字相乘法”是一種不可忽略的數(shù)學知識點。借助“十字相乘法”的教學不僅可以讓學生更好地掌握計算技巧，同時還可以實現(xiàn)初中、高中數(shù)學的銜接學習。

關鍵詞：初高中數(shù)學；“十字相乘法”；銜接教學

一、 引言

“十字相乘法”是一種較為常用，同時也非常重要的因式分解方式之一。其主要是應用在二次三項式的分解當中，或者是應用在類似二次三項式的因式分解變形當中。對此，探討“十字相乘法”在初高中數(shù)學中的銜接具備顯著教育意義。

二、 “十字相乘法”

近些年來，“十字相乘法”一直都是廣大初中教師所喜愛的教學方式，其原因主要有兩點，一方面是教師為了讓學生可以更好的應對教輔材料當中的因式分解題目，另一方面是教師為了讓學生更好地理解一元二次方程。在教學過程中，“十字相乘法”在因式分解題目當中的應用效果相當突出，所以備受喜愛。但是，近些年“十字相乘法”已經(jīng)從教科書當中剔除，其主要原因在于“十字相乘法”的使用面較為狹窄，而求根公式法才是可以通用的法則，所以應當將教學重點放在通用性的方式教學中。對此，這也就導致教材與教師之間的矛盾。從理論上講，“十字相乘法”實際上就是觀察式算法，無法觀察試算的題目便無法使用“十字相乘法”。但是，也無法否認，“十字相乘法”本身具備一定的使用價值。

三、 “十字相乘法”在初高中數(shù)學中的銜接

（一） 以故事激發(fā)學生學習興趣

在課堂開始之前，需要先對所需要學習的知識點進行包裝和改進，例如以故事的方式，提高學生對于課堂參與的積極性，讓學生在第一時間被吸引到課堂學習中。例如，“在很久以前，一個智慧的山洞中藏著智慧鑰匙，其能夠給人富于無窮的智慧。下面將取鑰匙的方式告訴你們，看誰能夠取到鑰匙。首先，需要先進入山洞，此時需要打開四個門，每一個門需要兩把鑰匙才能夠打開，門前放著許多已經(jīng)標記號的鑰匙，每一個門都有兩個數(shù)字，但是這兩個數(shù)字并不是鑰匙的號碼，而是兩個鑰匙號碼的乘積與和，例如第一扇門標記著6與5，便是乘積為6，和為5，你能夠打開這一扇門嗎？”。對此，學生可以很快的反映出是2與3，這一種教學過程便是引出“十字相乘法”的教學方式，可以讓學生在初中階段就掌握關于“十字相乘法”的因式分解方法，也就是x2+5x+6=（x+2）（x+3）。與此同時，學生本身對于故事有著較高的興趣，并借助趣味性的故事引導，學生對于問題會形成激烈的反響。學生的積極性快速被調(diào)動起來，在課堂愉悅的氛圍當中，學生的思維更加活躍，此時教師再歸納總結其中的規(guī)律，讓學生進一步的掌握其中的符號改變情況，也就是x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b），其中ab>0，a、b同號，并且a、b的符號和a+b的符號相同。那么如果ab<0，則a，b為異號，同時a、b當中絕對值較大的那一個符號應當是和a+b符號相同。對此，借助這樣故事化的激發(fā)以及理性化的分析方式，可以讓學生對這一知識點形成更加深刻的認識，從而達到加深印象的目的。

（二） 從根本教學，從運算角度分析“十字相乘法”

眾所周知，因式分解的算法本質上是來源于乘法的運算規(guī)律，屬于乘法的逆運算過程。對此，在“十字相乘法”的教學過程中，便可以借助乘法運算的方式展現(xiàn)其應用實質，這樣的方式可以讓學生更加容易了解并掌握“十字相乘法”的方法，并從整體上掌握這一技巧。例如，如果兩個系數(shù)為1的一次二項式相乘，如（x+5）（x+3），便可以畫出相應的相乘圖，十字圖形的左邊為兩個x，右邊分別為3與5，其結果便是x2+（3x+5x）+3×5=x2+8x+15。這里所提出的x2為x和x的乘積，同時15是3與5的乘積，8x就是十字相乘之后所獲得的和。這一種方式具備常規(guī)性與普遍性。另外，如果兩個系數(shù)不是為1的一次二項式進行相乘，例如（5x+3）（2x+1），這一種也可以采用十字相乘的方式進行分析，在十字圖形的左邊寫出5x與2x，右邊寫出3與1，其結果便是10x2+（6x+5x）+3=10x2+11x+3，這一結果里面的10x2便是2x和5x的乘積，同時3是1與3的乘積，11x是交叉相乘之后所獲得的和。

“十字相乘法”在整式的因式分解教學當中的應用相當靈活，同時對于學生的感覺要求比較高，需要學生能夠感覺到其能夠應用“十字相乘法”方式，所以對于學生的分類、試驗、猜想、嘗試等直覺性的培養(yǎng)非常重要。因為當前的初中數(shù)學教育對于“十字相乘法”的重視度比較低，實行了淡化處理的方式，所以需要在實際教學中做好相應的銜接教育處理，促使學生能夠及時掌握這一種有效的分析方式，為后續(xù)的高中數(shù)學提供基礎。另外，“十字相乘法”在二次三項式的式例當中的應用，主要是將上述的過程以逆變形的方式進行分析，例如x2+8x+15，這一方式便是尋找了兩個數(shù)相乘為15的數(shù)據(jù)進行相加，也就是8，此時便需要從15的因數(shù)當中進行分解，其結果主要有1×15與3×5，但是只有3+5=8，所以在繪畫十字時只能夠采用3與5。通過這樣的方式，可以快速根據(jù)一次二項式繪畫出相應的十字相乘圖，但是對于二次三項式的因式分解，因為其結果不唯一，所以變形結果也不可能唯一，這也就需要對首尾兩項因素進行分解，并探討分解是否可行，依賴于交叉相乘之后的和是否等同于一次項，這就需要不斷的嘗試與取舍。

（三） 應用歸納總結口訣，改進“十字相乘法”應用能力

借助上述的分析過程，學生對于“十字相乘法”以及其應用實質已經(jīng)形成了基本的掌握。但是，仍然需要在操作過程中進行實踐。只有這樣才可以幫助學生克服艱難，在操作過程中有依據(jù)可遵循。“十字相乘法”的口訣主要是四句話，分別為“首位分解、交叉相乘、觀察分析、求合湊中”。對于這四句話而言，其最為困難的便是首位分解。對此，在教學過程中，教師可以讓學生先將所有的分解步驟都寫出來，例如在3x2+14x+16的例子中，3x2能夠分解成為3x與x的和，但是16可以劃分的方式就有點多，例如16×1、8×2、4×4、2×8、1×16五種。然后根據(jù)五種結果分別繪畫出相應的5個圖形，圖形1左邊為3x與x，右邊為1與16，圖形2左邊為3x與x，右邊為2與8，圖形3左邊為3x與x，右邊為4與4，圖形4左邊為3x與x，右邊為8與2，圖形5左邊為3x與x，右邊為16與1。通過觀察分析與求和湊中后，只有圖形4能夠滿足要求，也就是（3x+8）（x+2）。對此，求和湊中便是觀察分析的同等階段，也就是這一階段對于學生直覺的要求比較高，如果直覺能力較強，便可以快速得出答案。

（四） 提高對符號的重視，實現(xiàn)準確分解

在上述所提出的多種例子中，都是以系數(shù)為正數(shù)作為案例，所以一般不會存在符號方面的錯誤。但是，仍然有大多數(shù)的例子系數(shù)并不是正數(shù)，這也就提出了關于預防符號方面的錯誤方法。在具體應用中，實際上的方式是一樣的，只需要注意對符號的處理而已。例如，在3x2-14x+16的例子中，需要注意的是中間項為-14，所以只需要將16劃分為兩個負數(shù)因數(shù)便可以解題。具體而言就是將上述的案例劃分為3x與x和-8與-2，從而得出結果（3x-8）（x-2）。對此，通過多個題目分析后總結出相應的處理規(guī)律：1. 如果二次項的系數(shù)是負數(shù)，那么需要先提出符號，并保障二次項分解的兩個正因數(shù)的和，并確保分解結果的正確性；2. 如果常數(shù)項是正數(shù)，那么便可以將其分解成為同號的兩個因數(shù)，此時便需要在此觀察一次項系數(shù)，如果一次項系數(shù)是正數(shù)，那么這兩個因數(shù)應當是同為正，如果一次項系數(shù)為負數(shù)，那么這兩個因數(shù)應當同為負數(shù)；3. 常數(shù)項如果是負數(shù)，那么便可以將其分解成為異號的兩個因數(shù)，對于負號具體在哪一個因數(shù)上，其主要取決于中間項的符號，以絕對值大一些的因數(shù)作為同號。

四、 結語

綜上所述，“十字相乘法”在整式的因式分解變形計算分析當中的應用相當靈活且高效，同時對于學生的直覺、感覺要求比較高，是培養(yǎng)學生良好分類、猜想、試驗、嘗試等直覺感受的有效方式之一。在分式的運算過程中，二次不等式的求解以及解決實際應用題方面均有著較為突出的應用價值。因為當前的初中數(shù)學教育對“十字相乘法”實行了淡化的處理，所以在初中教育中并不常見，但是因為高中數(shù)學當中對于“十字相乘法”的依賴性較高，所以有必要在初中教育中就重視“十字相乘法”的能力培養(yǎng)，促使學生更好的掌握這一計算方式，從而為高中數(shù)學的學習奠定基礎。

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