可控約束Hamilton系統(tǒng)的Lie對稱性與守恒量研究

鄭明亮

（浙江理工大學(xué) 機械與控制學(xué)院，浙江 杭州 310018）

力學(xué)系統(tǒng)的運動依賴于所受作用力和所加的約束，一般約束帶有控制參數(shù)、約束方程帶有伺服約束的，以及受迫控制系統(tǒng)，都統(tǒng)稱為可控力學(xué)系統(tǒng)[1]。力學(xué)系統(tǒng)的對稱性和守恒量在數(shù)學(xué)和物理上都具有很重要的意義?？煽亓W(xué)系統(tǒng)作為約束力學(xué)系統(tǒng)的一個重要擴充，相對于約束力學(xué)系統(tǒng)的其他方面來說，人們對其研究的并不十分充分，但也一直在不停地發(fā)展中，很多學(xué)者致力于這方面的理論研究。國外，對可控力學(xué)系統(tǒng)的具體應(yīng)用有學(xué)者Choi Seung-Bok[2]和Shinji Hara[3]等。國內(nèi)梅鳳翔教授在文獻[4-6]中對帶約束的可控力學(xué)系統(tǒng)的變分原理、運動方程和積分方法相關(guān)問題進行了比較全面的討論。在對稱性和守恒量方面，夏麗莉博士[7]給出了建立帶有控制參數(shù)的各種約束動力學(xué)的基本方程，并全面研究了系統(tǒng)的Noether對稱性、Lie對稱性和Mei對稱性理論。梅鳳翔教授[8-9]利用代數(shù)方程和微分方程在無限小變換下的不變性，研究帶有伺服約束的非完整系統(tǒng)的Lie對稱性，給出守恒量的形式以及系統(tǒng)對稱性攝動和絕熱不變量。丁寧和方建會[10]研究了非完整可控力學(xué)的Mei對稱性攝動導(dǎo)致的絕熱不變量。李元成和夏麗莉[11-13]在相對論轉(zhuǎn)動變質(zhì)量可控力學(xué)系統(tǒng)的對稱性方面取得了一些成果?，F(xiàn)代工程力學(xué)系統(tǒng)要想更加精密與靈巧的發(fā)揮工作，必然要結(jié)合控制理論和技術(shù)，從而這在很大程度上刺激了對可控力學(xué)系統(tǒng)要開展更深入研究。因此，研究可控力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量就有十分重要的理論和現(xiàn)實意義。

可控非奇異力學(xué)系統(tǒng)的對稱性和守恒量研究已經(jīng)得到若干結(jié)果。但在Legendre變換下，奇異Lagrange系統(tǒng)過渡到相空間用Hamilton正則變量描述時，其正則變量之間存在固有約束，稱之為約束Hamilton系統(tǒng)[14]?，F(xiàn)實中許多重要的動力學(xué)系統(tǒng)都是約束Hamilton系統(tǒng)[15]模型，有關(guān)約束Hamilton系統(tǒng)的對稱性和守恒量的研究也取得一定發(fā)展[16-21]。但目前來看，關(guān)于可控約束Hamilton系統(tǒng)變分問題及其對稱性和守恒量的研究未曾有報道，基本處于起步階段。文中將可控力學(xué)系統(tǒng)當(dāng)作包含外在約束系統(tǒng)來研究，重點探討了可控外在約束與奇異性導(dǎo)致的固有約束相容性和約束穩(wěn)定性自身結(jié)構(gòu)特點，根據(jù)全導(dǎo)數(shù)計算法則，進而建立可控約束Hamilton系統(tǒng)的Lie對稱性理論。

1 可控約束Hamilton系統(tǒng)的運動方程

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由 n 個廣義坐標 qs（s=1，…，n）來確定，系統(tǒng)的 Lagrange 函數(shù)為 L（t，p，q）=T-V，對于可控力學(xué)系統(tǒng)，不失一般性系統(tǒng)的運動還受g個Chetaev型包含控制輸入?yún)?shù)的外在一階非完整約束

其中ur為控制參數(shù)，是時間的顯示已知函數(shù)，系統(tǒng)的運動通過調(diào)節(jié)可控參數(shù)ur來控制。為方便，下文均采用Einstein求和約定?？煽丶s束方程（1）加在虛位移δqs上的Chetaev條件為

由D'Alembert-Lagrange原理和通常的Lagrange乘子法可得系統(tǒng)運動的Routh方程為[22]

此約束也必須滿足虛位移和等時變分的限制性條件

無論是正規(guī)系統(tǒng)或是奇異系統(tǒng)，正則Hamilton量均是正則變量p，q的函數(shù)[23]，對Hamilton函數(shù)取變分

于是利用廣義動量定義式，聯(lián)立（3）、（5）和（6）式，即可得

對于獨立和非獨立的qi，pi，只要合理選擇拉氏乘子λj，同時假定可控外在約束（1）與內(nèi)在固有約束（4）是約束相容的，即相互獨立，則可控約束Hamilton系統(tǒng)的運動正則方程可表示為

這里，借鑒Dirac-Bergmann算法，需要說明一下關(guān)于約束乘子λj和μβ的求解。將Φj，fβ都作為初級約束，并統(tǒng)一記 φa=（Φa，fa）[a=max（r，b）]，約束的自恰性要求為

令 HT=H+λjΦj為總能量函數(shù)，利用泊松括號則（9）式即為如下代數(shù)方程

文中僅考慮約束是第二類約束情況，即det|{φi，φj}|φ=0≠0，不存在導(dǎo)致次級約束產(chǎn)生，那么所有Lagrange乘子λj，μβ可由約束自恰性條件（10）式和約束穩(wěn)定性（1）、（4）式完全確定。

不同于通常的奇異系統(tǒng)的運動方程，需要說明的可控奇異力學(xué)系統(tǒng)的正則方程中約束乘子λj，μβ一般都是作為 t，qs，ps，ur，u˙r的函數(shù)以及 Hamilton 總函數(shù)也是控制參數(shù)的函數(shù)。

2 無限小變換和Lie對稱性

引入時間，廣義坐標和廣義動量的無限小群變換

根據(jù)沿系統(tǒng)運動軌線任意力學(xué)量的全導(dǎo)數(shù)計算法則，無限小生成元向量和其一次擴展為

根據(jù)力學(xué)系統(tǒng)的Lie對稱性定義，可控約束Hamilton系統(tǒng)的正則方程（8）在無限小變換（11）下的不變性歸結(jié)為如下確定方程

稱（13）式為無限小生成元的確定方程。

帶可控參數(shù)的外在約束方程（1）以及內(nèi)在固有約束方程（4）在無限小變換下保持不變性的確定方程為

稱（14）式為無限小生成元的限制方程。

同時考慮到微分方程的導(dǎo)出過程，則因?qū)o限小生成元還要施加另外的限制，則必須定義另外的確定方程。即稱式（15）為無限小生成元的附加限制方程。

定義1如果無限小生成元ξ0，ξs，ηs只滿足確定方程（13），則稱相應(yīng)的對稱性為可控約束Hamilton系統(tǒng)相應(yīng)的自由Hamilton系統(tǒng)的Lie對稱性。

定義2如果無限小生成元 ξ0，ξs，ηs同時滿足確定方程（13）和限制方程（14），則稱相應(yīng)的對稱性為可控約束Hamilton系統(tǒng)的弱Lie對稱性。

定義 3如果無限小生成元 ξ0，ξs，ηs同時滿足確定方程（13）、限制方程（14）以及附加限制方程（15），則稱相應(yīng)的對稱性為可控約束Hamilton系統(tǒng)的強Lie對稱性。

3 結(jié)構(gòu)方程與守恒量

對于約束力學(xué)系統(tǒng)，系統(tǒng)Lie對稱性不一定直接導(dǎo)致守恒量。在特殊無限小變換下可直接導(dǎo)致Hojman型守恒量。下面的定理給出可控約束Hamilton系統(tǒng)的Lie對稱性導(dǎo)致守恒量的條件以及守恒量的形式。

定理 1對于滿足確定方程（13）的無限小生成元 ξ0，ξs，ηs，如果還存在規(guī)范函數(shù) G=G（t，q，p，ur，u˙r）滿足如下結(jié)構(gòu)方程

則可控約束Hamilton系統(tǒng)存在如下形式的Lie對稱性守恒量

由于方程（16）和（17）中還包含控制參數(shù)ur及其關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)u˙r，可以通過改變非完整可控外在約束（1）式中的參數(shù)ur得到不同形式的守恒量。

證明對（17）式關(guān)于時間求全導(dǎo)

結(jié)合結(jié)構(gòu)方程（16），化簡得

利用非保守可控約束Hamilton正則方程（8），得

定理2對于滿足確定方程（13）和限制方程（14）的無限小生成元 ξ0，ξs，ηs，如果還存在規(guī)范函數(shù) G=G（t，q，p，ur，u˙r）滿足結(jié)構(gòu)方程（16），則可控約束 Hamilton 系統(tǒng)存在如形式（17）的弱 Lie 對稱性守恒量。

定理 3對于滿足確定方程（13）、限制方程（14）和附加限制方程（15）的無限小生成元 ξ0，ξs，ηs，如果還存在規(guī)范函數(shù) G=G（t，q，p，ur，u˙r）滿足結(jié)構(gòu)方程（16），則可控約束 Hamilton 系統(tǒng)存在如形式（17）的強 Lie 對稱性守恒量。

很明顯，定理2和定理3是定理1的更特殊情形，其定理1若成立，定理2和定理3自然成立，故定理2和定理3的證明與定理1一樣。

4 算例

設(shè)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

其中非勢廣義力為

系統(tǒng)所受的可控非完整約束力為

其中u（t）為控制參數(shù)，u（t）是t的顯示函數(shù)。試研究相空間中系統(tǒng)Lie對稱性和守恒量。系統(tǒng)的廣義動量和哈密頓函數(shù)為

系統(tǒng)Lagrange函數(shù)的Hess矩陣的秩為r=0，從而系統(tǒng)正則變量之間存在兩個約束

根據(jù)Lagrange乘子計算式（10），得到

系統(tǒng)的運動正則方程為

Lie對稱性的確定方程（13）給出

方程組有如下幾組解

限制方程（14）給出

附加限制方程（15）給出

結(jié)構(gòu)方程（16）給出與生成元相對應(yīng)的規(guī)范函數(shù)分別為

因此，系統(tǒng)存在對應(yīng)形如（17）式的守恒量

容易驗證確定方程組只有第二組生成元才同時滿足限制方程組和附加限制方程組。因此，該組無限小生成元對應(yīng)可控約束Hamilton系統(tǒng)的強Lie對稱性，第二組守恒量是系統(tǒng)的強Lie對稱性導(dǎo)致的守恒量。

5 結(jié)語

對于可控約束Hamilton系統(tǒng)，在一定條件基礎(chǔ)上如可控非完整約束中出現(xiàn)的q˙i可由正則動量和廣義坐標ps，qs的完全替代，以及可控約束與固有內(nèi)在約束相容（彼此獨立），得到了系統(tǒng)相空間的正則運動方程，也得到了系統(tǒng)Lie、弱Lie、強Lie三種相對而言的對稱性判據(jù)方程和導(dǎo)致的守恒量條件和表達式，文中實際上給出了可控約束Hamilton系統(tǒng)的一個積分理論。對于受完整可控的奇異力學(xué)系統(tǒng)以及非完整可控非奇異力學(xué)系統(tǒng)，文中的研究方法同樣適用，會得到一些類似形式和結(jié)果。

[1]梅鳳翔，劉端，羅勇.高等分析力學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，1991：237-239.

[2]CHOI SEUNG-BOK，WERELEY N M，LI Weihua.Applications of controllable smart fluids to mechanical systems[J].Advances in Mechanical Engineering，2014，25（4）：864-870.

[3]SHINJI HARA，TETSUYA LWASAKI，F(xiàn)UMIHIRO SHIMIZU.Finite frequency characterizatin of easily controllable mechanical systems under control effort constraint[J].IFAC Proceedings Volumes，2002，35（1）：509-514.

[4]梅鳳翔.可控力學(xué)系統(tǒng)的Jourdain原理和Nielsen方程[J].北京理工大學(xué)學(xué)報，1983（2）：22-35.

[5]MEI F X.On the problems of control over forced motion with constraint[J].Journal of Beijing Institute of Technology，1988，8（4）：17-23.

[6]梅鳳翔.積分非完整可控力學(xué)系統(tǒng)運動方程的場方法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，1992，13（2）：165-171.

[7]夏麗莉.可控力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量[D].東營：中國石油大學(xué)（華東），2007.

[8]梅鳳翔.包含伺服約束的非完整系統(tǒng)的Lie對稱性與守恒量[J].物理學(xué)報，2000，49（7）：1207-1210.

[9]陳向煒，梅鳳翔.包含伺服約束的非完整系統(tǒng)攝動和絕熱不變量[J].力學(xué)季刊，2001，22（2）：204-209.

[10]DING Ning，F(xiàn)ANG Jianhui.Mei adiabatic invariants induced by perturbation of Mei symmetry for nonholonomic controllable mechanical systems[J].Communications in Theoretical Physics，2010，54（5）：785-791.

[11]XIA Lili，LI Yuancheng，WANG Xianjun.Mei symmetries and Lie symmetries for nonholonomic controllable mechanical systems with relativistic rotational variable mass[J].Communications in Theoretical Physics，2009，51（6）：1073-1077.

[12]XIA Lili，LI Yuancheng.Non-Noether conserved quantity for relativistic nonholonomic controllable mechanical system with variable mass[J].Acta Physica Sinica，2008，57（8）：4652-4656.

[13]XIA Lili，LI Yuancheng.Perturbation to symmetries and adiabatic invariant for nonholonomic controllable mechanical system in phase place[J].Acta Physica Sinica，2007，56（11）：6183-6187.

[14]李子平.約束哈密頓系統(tǒng)及其對稱性質(zhì)[M].北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，1999：4-6.

[15]DIRAC P A M.Lecture on Quantum Mechanics[M].New York：Yeshi-va University Press，1964：10-15.

[16]LI Z P，JIANG J H.Symmetries in Constrained Canonical System[M].Beijing：Science Press，2002：20-25.

[17]張毅，薛紜.僅含第二類約束的約束Hamilton系統(tǒng)的Lie對稱性[J].物理學(xué)報，2001，50（5）：816-819.

[18]羅紹凱.奇異系統(tǒng)Hamilton正則方程的Mei對稱性、Noether對稱性和Lie對稱性[J].物理學(xué)報，2004，53（1）：5-11.

[19]李元成，張毅，梁景輝.一類非完整奇異系統(tǒng)的Lie對稱性與守恒量[J].物理學(xué)報，2002，51（10）：2186－2190.

[20]梅鳳翔.具有非Chetaev型非完整約束的奇異系統(tǒng)的形式不變性[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報，2001，5（2）：1-5.

[21]張毅.基于聯(lián)合Caputo導(dǎo)數(shù)的分數(shù)階Hamilton力學(xué)和分數(shù)階正則變換[J].蘇州科技學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，31（1）：1-9.

[22]梅鳳翔.非完整系統(tǒng)力學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：北京理工學(xué)院出版社，1985：67-78.

[23]李子平.非完整奇異系統(tǒng)正則形式的廣義Noether定理及其逆定理[J].黃淮學(xué)刊，1992，3（1）：8-16.