廣義Birkhoff系統(tǒng)的分離變量與局部能量積分

張 毅

（蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011）

研究動力學(xué)方程的第一積分有重要意義。如果能夠找到若干積分，便對力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)行為有所了解；如果能夠找到全部積分，也就找到了問題的解。Whittaker在其著作[1]中討論了一類完全可積的完整保守系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)全部為分離坐標(biāo)，相應(yīng)地系統(tǒng)有n個局部能量積分。Liouville將結(jié)果進行了推廣：凡力學(xué)系統(tǒng)的動能和勢能可以寫成某種形式，則該力學(xué)系統(tǒng)可以分成單積分的形式來求解[1-3]。文獻[4]從廣義Chaplygin方程出發(fā)，將局部能量積分的理論推廣到一類非完整保守系統(tǒng)。文獻[5]初步研究了Birkhoff系統(tǒng)的局部能量積分。關(guān)于約束力學(xué)系統(tǒng)的分離變量和局部能量積分的研究尚不多見。

廣義Birkhoff系統(tǒng)是Birkhoff系統(tǒng)的推廣。在Birkhoff方程的右端增加一個附加項成為廣義Birkhoff方程。由于附加項的調(diào)節(jié)作用，構(gòu)造廣義Birkhoff系統(tǒng)比Birkhoff系統(tǒng)更容易，非保守和非完整力學(xué)系統(tǒng)都可以直接納入廣義Birkhoff系統(tǒng)，因此，對廣義Birkhoff系統(tǒng)動力學(xué)的研究具有重要意義[6-16]。筆者將研究廣義Birkhoff系統(tǒng)的分離變量與局部能量積分問題，分別討論分離變量為單變量和耦合的兩個變量情形下，存在局部能量積分的條件及其形式，并將結(jié)果應(yīng)用于Birkhoff系統(tǒng)。文中給出相應(yīng)的算例以說明結(jié)果的應(yīng)用。

1 分離變量為單變量時系統(tǒng)的局部能量積分

研究由 2n 個變量 aμ（μ=1，2，…，2n）描述的廣義 Birkhoff系統(tǒng)。 設(shè) Birkhoff函數(shù)為 B=B（t，av），Birkhoff函數(shù)組為 Rμ=Rμ（t，av），附加項為 Λμ=Λμ（t，av），則廣義 Birkhoff方程為[6]

如果有一個Birkhoff變量，例如aj，可在Birkhoff函數(shù)B中被分離出來，即

則aj稱為廣義Birkhoff系統(tǒng)（1）的分離變量。由方程（1），關(guān)于aj的廣義Birkhoff方程為

因此，有

于是有如下命題：

命題1對于廣義Birkhoff系統(tǒng)（1），設(shè)aj為系統(tǒng)的分離變量，如果滿足條件

則系統(tǒng)有第一積分

積分（6）可稱為廣義Birkhoff系統(tǒng)（1）的局部能量積分。

例1 四階廣義Birkhoff系統(tǒng)為[6]

試研究其局部能量積分。

廣義 Birkhoff方程（1）給出

將Birkhoff函數(shù)表示為

利用方程（8），易驗證

因此，a3是分離變量，而局部能量積分

如果系統(tǒng)有m個獨立的分離變量，則對每一個分離變量應(yīng)用命題1，因此，系統(tǒng)存在m個獨立的局部能量積分。

例2 四階廣義Birkhoff系統(tǒng)為

廣義 Birkhoff方程（1）給出

將Birkhoff函數(shù)表示為

易驗證

因此，a3和a4是獨立的分離變量。應(yīng)用命題1，得到

式（17）和（18）是相應(yīng)于分離變量a3和a4的獨立的局部能量積分。

2 分離變量為耦合的兩個變量時系統(tǒng)的局部能量積分

如果有兩個Birkhoff變量，例如aj和ak，可在Birkhoff函數(shù)B中被分離出來，即

這里 BL（aj，ak）不能表示為 BL1（aj）和 BL2（ak）之和，則 aj和 ak稱為廣義 Birkhoff系統(tǒng)（1）的兩個耦合的分離變量。由方程（1），關(guān)于aj和ak的廣義Birkhoff方程分別為

因此，有

于是有如下命題：

命題2對于廣義Birkhoff系統(tǒng)（1），設(shè)aj和ak是該系統(tǒng)的兩個耦合的分離變量，如果滿足條件

則系統(tǒng)有第一積分

積分（24）可稱為廣義Birkhoff系統(tǒng)（1）的局部能量積分。

例3研究Hojman-Urrutia問題，其方程為[17]

令 a1＝x，a2=y，a3=x˙，a4=y˙，方程（25）可化為廣義 Birkhoff系統(tǒng)，其中

廣義 Birkhoff方程（1）給出

將Birkhoff函數(shù)表示為

利用方程（27），易驗證

因此，a2和a3是該系統(tǒng)的兩個耦合的分離變量。根據(jù)命題2，得到

式（30）是與分離變量a2和a3相應(yīng)的局部能量積分。

如果系統(tǒng)有m對耦合的分離變量，則對每一對分離變量應(yīng)用命題2，因此，系統(tǒng)存在m個獨立的局部能量積分。此外，上述方法可進一步拓展到分離變量是由l個變量耦合的情形（l＜2n）。

3 Birkhoff系統(tǒng)的分離變量與局部能量積分

對于Birkhoff系統(tǒng)，其方程為

于是有

命題3對于廣義Birkhoff系統(tǒng)（31），設(shè)aj為系統(tǒng)的分離變量，如果滿足條件

則系統(tǒng)存在局部能量積分

命題3是命題1的推論。

命題4對于廣義Birkhoff系統(tǒng)（31），設(shè)aj和ak是該系統(tǒng)的兩個耦合的分離變量，如果滿足條件

則系統(tǒng)存在局部能量積分

命題4是命題2的推論。

例4研究一類動力學(xué)系統(tǒng)[1]，其動能為

勢能為

其中 v1，v2，…，vn，w1，w2，…，wn是其相應(yīng)變量的任意函數(shù)。

引進廣義動量

令

于是有

其中

由于

因此，對每一個s，as和an+s是該系統(tǒng)的兩個耦合的分離變量，由命題4，得到

式（45）是系統(tǒng)相應(yīng)于耦合分離變量as和an+s的局部能量積分。

4 結(jié)語

研究動力學(xué)系統(tǒng)的積分是分析力學(xué)研究的一個重要方面。文章研究了廣義Birkhoff系統(tǒng)的分離變量與局部能量積分，給出了局部能量積分存在的條件及其形式，將局部能量積分理論推廣到廣義Birkhoff系統(tǒng)。文章的主要結(jié)果是其中的4個命題。命題1和命題2是一般廣義Birkhoff系統(tǒng)的，命題3和命題4是Birkhoff系統(tǒng)的。文章討論了分離變量為單變量和兩個耦合變量情形，這一思路同樣適用于多個變量耦合的情形。由于廣義Birkhoff系統(tǒng)的一般性，文章給出的方法和結(jié)果可進一步推廣和應(yīng)用。

[1]WHITTAKER E T.A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles&Rigid Bodies[M].4th ed.Cambridge：Cambridge University Press，2016.

[2]梅鳳翔，劉桂林.分析力學(xué)基礎(chǔ)[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，1987.

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[6]梅鳳翔.廣義Birkhoff系統(tǒng)動力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社出版，2013.

[7]梅鳳翔，張永發(fā)，何光，等.廣義Birkhoff系統(tǒng)動力學(xué)的基本框架[J].北京理工大學(xué)學(xué)報，2007，27（12）：1035-1038.

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