基于Markov鏈修正的改進(jìn)熵值法組合模型及應(yīng)用

葉雪強(qiáng)，桂預(yù)風(fēng)

（武漢理工大學(xué)理學(xué)院，武漢430070）

0 引言

長江是我國內(nèi)河水運(yùn)最重要、運(yùn)輸規(guī)模最大的通航河流。自2003年三峽船閘投入運(yùn)行以來，過閘貨運(yùn)量快速增長，2014年三峽船閘過閘貨運(yùn)量達(dá)到近1.2億噸。長江三峽船閘過閘貨運(yùn)量常應(yīng)用于各種經(jīng)濟(jì)規(guī)劃分析中，并作為衡量內(nèi)河航運(yùn)發(fā)展程度的一項(xiàng)重要指標(biāo)[1]。

目前，貨運(yùn)量的預(yù)測方法主要有時(shí)間序列分析法，回歸分析法，彈性系數(shù)法，平均增長率法，灰色系統(tǒng)預(yù)測法等。杜嘉[1]采用彈性系數(shù)法、平均增長率法、回歸分析法、曲線擬合法分別預(yù)測三峽過閘貨運(yùn)量，并根據(jù)各種預(yù)測方法的特點(diǎn)及適用場合，最終確定四種過閘貨運(yùn)量預(yù)測方法的權(quán)重系數(shù)。趙奇志[2]采用回歸分析模型、二次指數(shù)平滑法、抽象方式選擇模型、增長系數(shù)法分別預(yù)測廣西內(nèi)河貨運(yùn)總量，最后通過綜合比較分析，最終預(yù)測出西津水利樞紐過閘貨運(yùn)量。馬海峰[3]采用平均增長率法預(yù)測三峽船閘過閘貨運(yùn)量。

本文根據(jù)三峽船閘過閘貨運(yùn)量的歷史數(shù)據(jù)，建立了GM（1,1）預(yù)測模型和線性回歸預(yù)測模型，并提出了熵值法組合預(yù)測模型。由于熵值法確定組合預(yù)測權(quán)系數(shù)不可避免地會碰到一些極端值，如相對誤差為零，或者數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常點(diǎn)等，而熵值法確定組合預(yù)測權(quán)系數(shù)要求相對誤差必須全部大于零，否則不能求相對誤差的熵值，從而提出了改進(jìn)熵值法組合預(yù)測模型，并對三峽船閘過閘貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測。

1 組合預(yù)測模型的基本原理

1.1 組合預(yù)測模型

1.2 組合預(yù)測模型權(quán)系數(shù)的確定

1.2.1 基于熵值法的組合預(yù)測模型權(quán)系數(shù)的確定方法[4]

組合預(yù)測綜合利用各種單項(xiàng)預(yù)測方法所提供的信息，以適當(dāng)?shù)募訖?quán)平均形式得出組合預(yù)測模型。組合預(yù)測核心的問題就是如何求出組合預(yù)測加權(quán)平均系數(shù)，使得組合預(yù)測模型更加有效地提高預(yù)測精度。本文從信息論的觀點(diǎn)出發(fā),根據(jù)各單項(xiàng)預(yù)測方法預(yù)測誤差序列的變異程度，利用信息熵的概念。計(jì)算出組合預(yù)測加權(quán)平均系數(shù)。

設(shè)第i種單項(xiàng)預(yù)測方法第t時(shí)刻相對誤差為：

用熵值法確定組合預(yù)測加權(quán)系數(shù)的步驟如下：

（1）將各種單項(xiàng)預(yù)測方法預(yù)測相對誤差序列歸一化。即計(jì)算第i種單項(xiàng)預(yù)測方法第t時(shí)刻的預(yù)測相對誤差的比重：

（2）計(jì)算第i種單項(xiàng)預(yù)測方法的預(yù)測相對誤差的熵值hi：

其中k＞0為常數(shù)。對第i種單項(xiàng)預(yù)測方法而言，如果pit全部相等，即，那么hi取得極大值klnN，這里取k=1 lnN，則有0≤hi≤1。

（3）計(jì)算第i種單項(xiàng)預(yù)測方法的預(yù)測相對誤差序列的變異程度系數(shù)：

（4）計(jì)算各種預(yù)測方法的加權(quán)系數(shù)：

（5）計(jì)算組合預(yù)測值：

1.2.2 基于改進(jìn)熵值法的組合預(yù)測模型權(quán)系數(shù)的確定方法

傳統(tǒng)的熵值法確定權(quán)系數(shù)不可避免地會碰到一些極端值，如相對誤差為零，或者數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常點(diǎn)等。而傳統(tǒng)的熵值法確定權(quán)系數(shù)要求相對誤差必須全部大于零，否則不能求相對誤差的熵值，或者人為主觀的定義0ln0=0，是為了保證數(shù)據(jù)的完整性和確定權(quán)系數(shù)的客觀性，等于零的數(shù)值又不能直接刪去，因此需要對該相對誤差進(jìn)行變換，從而對熵值法進(jìn)行改進(jìn)。為了縮小極端值對權(quán)系數(shù)的影響，并保證賦權(quán)的客觀性，可以對相對誤差序列進(jìn)行變換，然后再按照傳統(tǒng)熵值法的步驟（1）至步驟（5）進(jìn)行計(jì)算。相對誤差變換公式為：

其中：

2 Markov鏈模型

Markov鏈?zhǔn)且环N特殊的隨機(jī)過程[5]，其可以根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)推求下一時(shí)刻的狀態(tài)概率分布，進(jìn)而得到下一時(shí)刻的狀態(tài)。其基本原理是：每個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)可用隨機(jī)變量表示，并對應(yīng)一定的狀態(tài)概率，當(dāng)某一時(shí)刻狀態(tài)轉(zhuǎn)移到下一時(shí)刻狀態(tài)時(shí)，同時(shí)在這個(gè)過程中存在概率的轉(zhuǎn)移，即轉(zhuǎn)移概率[6]。

假設(shè)有個(gè)n狀態(tài)，并且狀態(tài)的個(gè)數(shù)是可數(shù)的，那么狀態(tài)Ei經(jīng)一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej都有可能發(fā)生，則這個(gè)過程可能發(fā)生的概率稱為一步轉(zhuǎn)移概率pij。所有的狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移概率構(gòu)成一步轉(zhuǎn)移矩陣P(1)。Markov鏈預(yù)測模型[7]可表示為：

其中，P0為初始時(shí)刻的概率分布，Pt+1是t+1時(shí)刻的概率分布，P(1)為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，其表達(dá)式為：

式中：pij為一步轉(zhuǎn)移概率，

根據(jù)改進(jìn)熵值法組合預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果，選擇適合的指標(biāo)（這里采用預(yù)測結(jié)果的相對誤差）劃分狀態(tài)空間；計(jì)算其一步轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣，求出其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣；利用Markov鏈預(yù)測模型對改進(jìn)熵值法的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行修正。

3 預(yù)測實(shí)例

本文根據(jù)三峽船閘過閘貨運(yùn)量2003—2014年數(shù)據(jù)的變化趨勢，先利用GM（1,1）模型和線性回歸預(yù)測模型分別進(jìn)行預(yù)測；之后再利用組合預(yù)測模型對年過閘貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測，并對各種方法的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比分析；最后通過Markov鏈模型對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行修正。三峽船閘過閘貨運(yùn)量2003—2014年數(shù)據(jù)（記為y，單位：萬噸）見表1所示。

表1 預(yù)測方法的預(yù)測擬合值

3.1 單項(xiàng)預(yù)測模型

3.1.1 GM（1,1）模型

灰色系統(tǒng)建模是通過數(shù)據(jù)序列建立微分方程來擬合給定的時(shí)間序列，從而對數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測[8]。

設(shè)為原始數(shù)據(jù)序列：

將原始序列進(jìn)行一次累加，得到：

GM（1，1）模型的時(shí)間響應(yīng)序列為：

還原值為：

利用GM（1,1）模型建?？梢缘贸鋈龒{船閘過閘貨運(yùn)量的GM（1,1）模型的時(shí)間響應(yīng)序列為：

利用GM（1,1）模型的時(shí)間響應(yīng)序列進(jìn)行預(yù)測并對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行一次累減后的數(shù)列即為運(yùn)用GM（1,1）模型對過閘貨運(yùn)量的預(yù)測估計(jì)值（記為x1），見表1所示。

通過對模型的檢驗(yàn)，得出以下結(jié)果：

（1）殘差檢驗(yàn)：相對殘差φˉ=6.94%＞10%，認(rèn)為其預(yù)測精度較高。

（2）關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)：關(guān)聯(lián)度r=0.7243＞0.6，認(rèn)為其模型可以接受。

（3）后驗(yàn)差檢驗(yàn)：小殘差概率p=1＞0.95，認(rèn)為其模型為小殘差概率合格模型。

3.1.2 線性回歸模型

一元線性回歸模型[9]的數(shù)學(xué)形式：

其中，ε是隨機(jī)誤差，通常假定ε～N(0,σ2)。

由于過閘貨運(yùn)量數(shù)據(jù)隨年份呈線性趨勢，故建立一元線性回歸模型：

通過對模型的檢驗(yàn)，得出以下結(jié)果：

（1）回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)：β1顯著性檢驗(yàn)的t值為t=13.6953，其對應(yīng)的p值p=0＜0.05，認(rèn)為β1顯著性不為零。

（2）線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)：線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)的F值為F=187.5624，其對應(yīng)的p值p=0＜0.05，認(rèn)為線性回歸方程顯著。

3.2 組合預(yù)測模型

3.2.1 基于熵值法確定權(quán)系數(shù)的組合預(yù)測模型

在利用以上兩種單項(xiàng)預(yù)測模型計(jì)算出預(yù)測擬合值后，根據(jù)熵值法來確定兩種單項(xiàng)預(yù)測模型的組合權(quán)系數(shù)，得到的權(quán)系數(shù)向量為：

ω=(0.4562,0.5438)

從而得到相應(yīng)的熵值法組合模型為：

利用熵值法組合預(yù)測模型（記為組合模型1）得到的預(yù)測擬合值（記為x3）見表1所示。

3.2.2 基于改進(jìn)熵值法確定權(quán)系數(shù)的組合預(yù)測模型

根據(jù)改進(jìn)熵值法來確定兩種單項(xiàng)預(yù)測模型的組合權(quán)系數(shù)，得到的權(quán)系數(shù)向量為：

ω=(0.6054,0.3946)

從而得到相應(yīng)的改進(jìn)熵值法組合預(yù)測模型為：利用改進(jìn)熵值法組合模型得到的預(yù)測擬合值（記為x4）見表1所示。

3.3 預(yù)測模型精度比較

比較兩種單項(xiàng)預(yù)測模型和兩種組合模型的擬合精度，以預(yù)測誤差平方和作為反映預(yù)測精度的一個(gè)指標(biāo)。通過計(jì)算兩種單項(xiàng)預(yù)測模型和兩種組合模型的預(yù)測誤差平方和（結(jié)果見表2所示）可以得出，熵值法組合預(yù)測模型精度低于改進(jìn)熵值法組合預(yù)測模型精度，但高于兩種單項(xiàng)預(yù)測模型的精度，由此可見，改進(jìn)熵值法能有效的減少預(yù)測誤差，提高預(yù)測精度。預(yù)測誤差平方和公式為：

表2 各種預(yù)測模型的預(yù)測誤差平方和

3.4 基于Markov鏈模型修正的改進(jìn)熵值法組合預(yù)測模型

計(jì)算改進(jìn)熵值法組合預(yù)測模型對過閘貨運(yùn)量的預(yù)測相對誤差，計(jì)算結(jié)果見表3所示。根據(jù)預(yù)測相對誤差的具體數(shù)值，劃分的Markov狀態(tài)空間間為：（1）狀態(tài)空間E1為預(yù)測相對誤差ε∈[-18%,-6%)，屬于預(yù)測偏低狀態(tài)；（2）狀態(tài)空間E2為預(yù)測相對誤差ε∈[-6%,6%)，屬于預(yù)測正常狀態(tài)；（3）狀態(tài)空間E3為預(yù)測相對誤差ε∈[6%,18%)，屬于預(yù)測偏高狀態(tài)。并以此對改進(jìn)熵值法組合預(yù)測模型的預(yù)測相對誤差進(jìn)行狀態(tài)劃分，結(jié)果見表3所示。

表3 2003—2014年過閘貨運(yùn)量的預(yù)測相對誤差及狀態(tài)分類

由表3可計(jì)算出其一步轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣Q，從而計(jì)算出一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P(1)，其中：

同理，

轉(zhuǎn)移矩陣的不變分布為：

根據(jù)Markov鏈預(yù)測模型，由轉(zhuǎn)移概率矩陣可以得出預(yù)測值的狀態(tài)空間及其相對應(yīng)的概率，從而可以計(jì)算出基于Markov鏈修正的改進(jìn)熵值法組合預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果。由不變分布可以得出，若干年之后Markov鏈處于狀態(tài)E1，E2和E3的概率分別0.5455,0.2727和0.1818。表4（見下頁）列出了2015—2020年基于Markov鏈修正的改進(jìn)熵值法組合預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果。

4 結(jié)論

本文采用了熵值法組合預(yù)測模型對三峽船閘過閘貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測，針對熵值法確定組合預(yù)測權(quán)系數(shù)的不足，提出了改進(jìn)熵值法組合預(yù)測模型，并且預(yù)測精度比熵值法組合預(yù)測模型的預(yù)測精度更高。最后利用Markov鏈預(yù)測模型對改進(jìn)熵值法的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行修正，進(jìn)一步增加了預(yù)測的精度和可信度。

表4 改進(jìn)熵值法組合預(yù)測結(jié)果的Markov鏈修正值

[1]杜嘉.長江三峽樞紐水路客貨運(yùn)輸量預(yù)測[D].重慶：重慶交通大學(xué)碩士學(xué)位論文，2008.

[2]趙奇志.西津樞紐貨運(yùn)量預(yù)測及二線船閘通航條件研究[D].重慶：重慶交通大學(xué)碩士學(xué)位論文，2013.

[3]馬海峰.三峽樞紐過閘貨運(yùn)量預(yù)測分析及對策研究[J].中國水運(yùn)，2015，38（3）.

[4]陳華友.組合預(yù)測方法有效性理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

[5]朱新國，張展羽，祝卓.基于改進(jìn)型BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)馬爾科夫模型的區(qū)域需水量預(yù)測[J].水資源保護(hù)，2010，26（2）.

[6]景亞平，張鑫，羅艷.基于灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與馬爾科夫鏈的城市需水量組合預(yù)測[J].西北農(nóng)林科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，39（7）.

[7]付長賀，鄧甦.馬爾科夫鏈在傳染病預(yù)測中的應(yīng)用[J].沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，27（1）.

[8]許國根，賈瑛.模式識別與智能計(jì)算的MATLAB實(shí)現(xiàn)[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2012.

[9]何曉群，劉文卿.應(yīng)用回歸分析[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2011.