帶有信用風(fēng)險的鎖定期權(quán)定價

孫慧，李翠香

(河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050024)

0 引 言

期權(quán)是一種金融衍生產(chǎn)品，是指在未來的某一時間以特定的價格買入或賣出某種產(chǎn)品的權(quán)利.由于期權(quán)有杠桿效應(yīng)和規(guī)避風(fēng)險等特性，故期權(quán)越來越受到投資者的喜愛.隨著金融市場的不斷繁榮，普通期權(quán)遠遠不能滿足投資者的需求，從而出現(xiàn)了更多種類的期權(quán)，比如障礙期權(quán)，選擇期權(quán)，鎖定期權(quán)[1]等.鎖定期權(quán)在一定意義上可以看成是介于歐式期權(quán)和美式期權(quán)之間的一種期權(quán).標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)只可以在合約的到期日行權(quán)，設(shè)期權(quán)到期時刻為T，執(zhí)行價格為K，則歐式看漲期權(quán)在T時刻的收益為

max(ST-K，0).

美式期權(quán)則可以在合約到期日之前的任何時刻行權(quán)，美式看漲期權(quán)的收益可以表示為

而鎖定期權(quán)同樣只可以在到期日行權(quán)，但是在T時刻鎖定看漲期權(quán)的收益為

max(ST-K，ST1-K，0)，

其中T1(t≤T1≤T)為提前約定的時間點.

信用風(fēng)險指承約方未履行合約中規(guī)定的義務(wù)而造成經(jīng)濟損失的風(fēng)險.信用風(fēng)險既包括拒絕支付和破產(chǎn)等違約風(fēng)險，也包括借款人信用品質(zhì)變化的風(fēng)險.如今，場外市場交易越來越頻繁，而在場外市場交易很容易發(fā)生違約的情形，因此研究帶有信用風(fēng)險的期權(quán)定價問題具有十分重要的意義.1974年，Merton[2]首先提出信用風(fēng)險結(jié)構(gòu)化模型.2002年，付長青[3]解決了有信用風(fēng)險的美式期權(quán)的定價問題.2003年王保合、李時銀[4]應(yīng)用隨機工程中反射原理的思想，給出了允許提前違約的信用衍生產(chǎn)品的定價問題.2014年，呂利娟[5]基于結(jié)構(gòu)化模型，研究了單個跳和雙跳擴散過程下的和時間有關(guān)的脆弱期權(quán)定價公式.

本文研究帶有信用風(fēng)險的鎖定期權(quán)的定價問題.設(shè)鎖定期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價格為St，承約方的資產(chǎn)價格為Vt，當(dāng)帶有信用風(fēng)險時，鎖定看漲，看跌期權(quán)在T時刻的收益分別為

c(ST，VT，T1，D)=max(ST-K，ST1-K，0)(1{VT≥D}+δT1{VT

(1)

p(ST，VT，T1，D)=max(K-ST，K-ST1，0)(1{VT≥D}+δT1{VT

(2)

(3)

(4)

當(dāng)St，Vt滿足特殊的隨機微分方程時，可以得到封閉的解析解.

本文假設(shè)(Ω，F(xiàn)，{Ft}，Q)為帶有σ-域流{Ft}的概率測度空間，其中Ω為樣本集，F(xiàn)為由Ω生成的域，{Ft}為本文涉及到的布朗運動所生成的域流，Q為風(fēng)險中性概率測度.并假設(shè)，St，Vt分別服從如下隨機微分方程(以下簡稱SDE):

(5)

(6)

1 預(yù)備知識

其中α，β為常數(shù).

其中E[·]，E[·|Ft]分別表示期望和條件期望.

2 帶有信用風(fēng)險的鎖定看漲期權(quán)定價

由(1)(3)知

EQ[ST11{ST1>ST，ST1>K，VT≥D}|Ft]-KEQ[1{ST1>ST，ST1>K，VT≥D}|Ft]}+

EQ[ST1VT1{ST1>ST，ST1>K，VTST，ST1>K，VT

(7)

下面我們計算(7)式右邊的8個期望.為了方便，引入以下記號

a3(t，T)=a1(t，T)+φSV(t，T)，a4(t，T)=a2(t，T)+φSV(t，T)，

c3(t，T)=c1(t，T)+φSV(t，T)，c4(t，T)=c2(t，T)-φSV(t，T)，

c5(t，T)=c1(t，T)+φSV(t，T1)，c6(t，T)=c2(t，T)-φSV(t，T1)，

引理5若St，Vt分別滿足(5)(6)，則

(8)

(9)

證明：對任意常向量λ=(λ1，λ2，λ3)，由引理1，引理2知

證畢.

引理7設(shè)St，Vt分別服從SDE(5)(6)，且t≤T1≤T，則

EQ[1{ST>ST1，ST>K，VT≥D}|Ft]=Na1(T1，T)，b1(t，T)，c1(t，T);∑1，

(10)

EQ[1{ST1>ST，ST1>K，VT≥D}|Ft]=N-a1(T1，T)，b1(t，T1)，c1(t，T);∑2，

(11)

其中N(a，b，c;∑)表示均值為0，協(xié)方差矩陣為∑的三維正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù).

證明：令

則由(8)(9)知

ST>ST1?S(T1，T)

ST>K?S(t，T)

VT≥D?V(t，T)≤c1(t，T).

注意S(T1，T)，S(t，T)，V(t，T)都與Ft獨立，所以由引理6可得

EQ[1{ST>ST1，ST>K，VT≥D}|Ft]=EQ[1{S(T1，T)

Q(S(T1，T)

同理

EQ[1{ST1>ST，ST1>K，VT≥D}|Ft]=Q(-S(T1，T)<-a1(T1，T)，S(t，T)

N-a1(T1，T)，b1(t，T1)，c1(t，T);∑2.

引理7得證.

引理8在引理7的條件下

EQ[ST1{ST>ST1，ST>K，VT≥D}|Ft]=SteμS(t，T)Na2(T1，T)，b2(t，T)，c3(t，T);∑1，

(12)

EQ[ST11{ST1>ST，ST1>K，VT≥D}|Ft]=SteμS(t，T1)N-a1(T1，T)，b2(t，T1)，c5(t，T);∑2，

(13)

EQ[VT1{ST>ST1，ST>K，VT

(14)

EQ[VT1{ST1>ST，ST1>K，VT

(15)

證明：由(8)知

取

則

由引理3知

EQ[ST11{ST1>ST，ST1>K，VT≥D}|Ft]=SteμS(t，T1)EQ1[1{ST1>ST，ST1>K，VT≥D}|Ft].

類似于引理7的證明，可得(13).同理知(12)(14)(15)成立.引理8得證.

引理9在引理7的條件下

EQ[STVT1{ST>ST1，ST>K，VT

Na4(T1，T)，b4(t，T)，c4(t，T);∑3，

(16)

EQ[ST1VT1{ST1>ST，ST1>K，VT

N-a3(T1，T)，b4(t，T1)，c6(t，T);∑4.

(17)

證明：下面證明(17).由(8)(9)知

取

則

由引理3知

類似于引理7的證明可知(17)成立.同理可得(16).引理9證畢.

定理1設(shè)St，Vt分別滿足SDE(5)和(6)，則約定的時間點為T1，到期日為T的帶有信用風(fēng)險的鎖定看漲期權(quán)在t(t≤T1≤T)時刻的價格為

證明：由引理7可得第2項和第4項；由引理8可得第一，三，六，八；由引理9可得第5項和第7項.定理1證畢.

3 帶有信用風(fēng)險的鎖定看跌期權(quán)定價

由(4)式類似于定理1的證明可得下面的定理2.

定理2在定理1的條件下，帶有信用風(fēng)險的鎖定看跌期權(quán)在t時刻的價格為

[1]Peter G.Zhang.Exotic options[M].北京：機械工業(yè)出版社，2014.

[2]Merton R.On the pricing of corporate debt：the risk structure of interest rates[J].Journal of Finance，1974，29(2)：449-470.

[3]付長青，張世斌.具有違約風(fēng)險的美式買權(quán)的定價問題[J].復(fù)旦學(xué)報(自然科學(xué)版)，2002，41(5)：535-541.

[4]王保合，李時銀.允許提前違約的信用衍生品定價模型[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2003，33(9)：38-44.

[5]呂利娟.跳擴散過程下時間依賴型的脆弱期權(quán)定價[D].中國礦業(yè)大學(xué)，2014.

[6]Fima C.Klebaner.Introduction to Stochastic Calculus with Applications[M].北京：人民郵電出版社，2008.