基于振動頻率法的兩端固支拉索索力計算實用公式

甘 泉，黃永輝，王榮輝，甄曉霞

纜索支承體系是大跨度橋梁中常用的一種結(jié)構(gòu)體系，其拉索索力的準確測試對結(jié)構(gòu)狀態(tài)的評估具有重要作用。目前，拉索內(nèi)力識別方法主要有直接法和間接法，其中直接法可以直接測量拉索內(nèi)力如壓力傳感器法和油壓表法；間接法則通過間接物理量的測試來識別索力，包括頻率法和磁通量法。其中，直接法需要提前安裝傳感器于拉索錨固點，其造價高，且無法用于未預先安裝壓力傳感器的既有橋梁；間接法中的磁通量法是一種新技術，目前應用尚不廣泛，且成本高［1］，若應用于既有橋梁，需要采用其他方法進行標定?，F(xiàn)階段索力測試以基于振動測試的索力識別方法最為常用，該方法具有簡單易操作，成本低等優(yōu)點。

基于振動頻率的拉索索力計算方法主要有兩類：理論計算方法和數(shù)值模擬計算方法，其中數(shù)值模擬計算方法［2－4］可以準確的反映索結(jié)構(gòu)幾何特征和支撐情況等，還能對索結(jié)構(gòu)的幾何及邊界條件參數(shù)進行同步計算，但是，此類方法一般需要工程師有一定有限元理論基礎和編程基礎，工程上推廣應用不方便。

理論計算方法需要建立拉索振動與索力的關系表達式，對于簡支邊界條件，可以直接由拉索的頻率特征方程建立拉索頻率－索力的解析表達式。但對于復雜邊界條件，如兩端固支，難以求得力－頻率關系，這種情況下多采用數(shù)值模擬的方法擬合各類實用公式。如Zui H等［5］提出的索力計算實用公式，但該公式只能采用一階或者二階頻率來計算索力，其提出考慮拉索抗彎剛度影響的參數(shù)為拉彎比ξ。Mehrabi A B等［6］提出了另外一個實用公式，該公式可以同時考慮拉索垂度效應和抗彎剛度的影響，其不足在于該公式只適用于垂度小于3．1和拉彎比大于50的拉索。任偉新等［7］提出了采用基頻計算索力的實用公式，該公式可以考慮拉索垂度和抗彎剛度的影響。方志等［8］提出了兩端固支拉索采用多階頻率進行索力計算的實用公式，但該公式無法識別拉索的抗彎剛度。文獻［9］在振動微分方程的基礎上，提出了可以考慮彈性邊界條件和抗彎剛度影響的迭代公式。文獻［10］提出將拉索自由振動解析表達式由若干關鍵參數(shù)來表達。文獻［11］通過引入壓桿屈曲函數(shù)，提出了1階和2階固有振動頻率的解析表達式。文獻［12－13］提出可以將兩端固支歐拉梁和兩端固支拉索等效，其可以采用一樣的振型函數(shù)，在此基礎上提出了該類拉索的索力計算實用公式，但固支歐拉梁的振型函數(shù)未考慮軸力的影響，適用范圍有限。綜上，以上各類索力計算實用公式都存在一定的不足，如僅能采用基頻計算、索力求解過程復雜等。在實際工程的振動測試中，往往難以獲得拉索的基頻［14－17］，在該類情況下，以上各類實用公式均難以推廣應用。

為了解決上述問題本文直接從拉索橫向振動方程的通解出發(fā)，通過引入邊界修正系數(shù)，推導出適用于固支邊界拉索索力計算的實用公式，該公式與梁理論的索力計算公式一致。在頻率方程數(shù)值解的基礎上，采用擬合的方式，得到了兩端固支拉索的邊界條件修正系數(shù)表達式，并進行了誤差分析。最后通過有限元數(shù)值算例，對本文實用公式的準確性和可靠性進行了驗證。

1 索力計算實用公式的推導

1．1 公式的理論推導

如圖1所示的拉索，其橫向（y軸）運動方程如下：

圖1 拉索示意圖

式中：EI、T、h（t）分別為拉索的撓曲剛度、張力和由振動引起的索力的增量；v（x，t）為由振動引起的y方向上的撓度。當采用二階以上振型或者拉索垂度較小時，h（t）是 T的高階小量，可以忽略，因此有：

上式可采用分離變量法求解，其通解為：

式中：

令：

則式（3）可轉(zhuǎn)換為：

由式（4）～ 式（8）可得：

聯(lián)立式（10）和式（11），可解得：

上式即為基于振動頻率法的拉索索力計算統(tǒng)一實用公式。

其中：

式中：Ts為基于弦理論計算的拉索索力；Kn表示修正系數(shù)。實用公式的本質(zhì)即是根據(jù)拉索的剛度對弦理論索力計算公式進行修正。

1．2 剛度系數(shù)的擬合

當拉索兩端為固定邊界條件時，頻率方程為：

此方程為超越方程，α的值無法直接求得，必須通過數(shù)值迭代算法計算。由牛頓迭代法求解得到的公式（15）的前10組解如圖2所示。

圖2 兩端固支拉索α和β關系曲線

將數(shù)值迭代得到的α和β的結(jié)果代入式（13）和式（14），可以得到 Kn－λn關系曲線如圖3所示。

圖3 兩端固支拉索 Kn－λn關系曲線

由圖3曲線特征，可由最小二乘法擬合成二次多項式如下：

其中：

經(jīng)比較，擬合曲線與理論曲線吻合良好，相關系數(shù)均高達99%以上。

1．3 誤差分析

定義計算索力的誤差公式如下：

式中：Kthe為K的理論值即圖3中的計算值；Kfit為K的擬合值即由擬合公式（16）計算得到。由圖3可以看出，λmax隨著頻率階次的增大而增大，為便于對橫坐標進行歸一化，定義無量綱參數(shù)：

將η作為橫坐標，即可以實現(xiàn)橫坐標的歸一化。采用各階模態(tài)頻率計算的索力與實際索力之間的誤差與歸一化坐標η之間的關系如圖4所示。由圖4可知：（1）當η≤ 0．8，n≥ 2時，ΔT／T ≤ 1%，即采用2階以上頻率計算得到的拉索索力誤差小于1%；（2）當η≤0．95時，采用1階頻率計算得到的拉索索力誤差小于3%；（3）總體而言，本文統(tǒng)一公式的索力識別結(jié)果精度較高，只有當η ＞0．95時索力計算誤差才會超過3%；（4）該統(tǒng)一公式可以采用實測得到的多階拉索頻率來計算拉索的索力，特別適合用于識別拉索的低階頻率無法測量的情況。

大量的既有文獻多采用拉彎比ξ來表征拉索截面剛度的影響，本文提出了新的思路，即采用λ和η來表征拉索的綜合剛度。傳統(tǒng)的拉彎比ξ的表達式如下：

對于任何階次的模態(tài)頻率，ξ與λ也存在如圖5所示的對應關系。由于λ和η又存在式（18）所示的關系，因此可以得到ξ和η之間的關系，如表1所示。

圖4 索力計算誤差與η關系曲線

圖5 兩端固支拉索ξ－λ曲線

表1 ξ－η數(shù)值對比表

2 抗彎剛度的識別

拉索的抗彎剛度對于索力的精確識別具有重要的影響，由于拉索的抗彎剛度與索力計截面特性均有關系，其數(shù)值難以準確得到。在以往的研究中，對于具有兩端鉸接的拉索，多采用實測得到的任意兩階頻率來直接求解拉索的抗彎剛度，但對于具有兩端固支邊界的拉索，則無法直接求解，需要采用有限元的方法進行數(shù)值迭代求解。采用本文提出的統(tǒng)一實用公式，可以根據(jù)實際測量得到的任意兩階拉索頻率對其抗彎剛度進行直接求解，其計算方法和過程如下：

對于同一根拉索，其索力是恒定的，因此采用任意一階頻率計算，其索力都是相等的，則有：

將式（25）代入式（23），得：

由此則可以得到抗彎剛度EI，本文方法不需要數(shù)值迭代，較傳統(tǒng)方法更為方便。

3 算例驗證

3．1 數(shù)值算例

為對本文公式進行驗證，選取如表2所示的中、短2根拉索進行數(shù)值算例分析，拉索的邊界條件均為兩端固支。由1．3節(jié)的誤差分析可知，對于長索，本文公式精度很高，無需驗證。

表2 算例拉索的計算參數(shù)表

索1和索2的計算索力與真實索力的對比如表3、表4所示。由表3可知，梁理論公式的誤差很大，索力計算誤差隨著頻率階次的增加逐漸增大。本文公式的索力計算誤差較小，當采用前4階頻率進行索力計算時，計算值與真實值的差異均小于4%。由表4可知，采用本文公式計算得到的拉索2的索力誤差不超過1%。雖然采用Mehrabi公式［6］計算得到的拉索2的索力誤差也都不超過1%，但采用Mehrabi公式計算得到的拉索1的索力誤差很大，這表明本文公式的適用范圍比Mehrabi公式要廣。

表3 拉索1的內(nèi)力識別結(jié)果對比

表4 拉索2的內(nèi)力識別結(jié)果對比

假定實測得到了拉索的前1～10階頻率，拉索的抗彎剛度未知，采用第2節(jié)提出的方法對其抗彎剛度進行識別。識別結(jié)果如表5所示，由表5可知：（1）拉索抗彎剛度的識別誤差最大為5．5%，大部分識別誤差不超過2%，表明本文方法具有很高的精度；（2）中長索的剛度識別誤差大于短索，這主要是因為拉索長度越大，抗彎剛度對索力的影響越小。

表5 兩端固支拉索的EI 識別結(jié)果對比

3．2 實際工程算例

某系桿拱橋布置如圖6所示，為單跨外傾式空間異型拱橋，計算跨徑90 m，矢高21．43 m，全橋吊桿共計17對。限于篇幅，本文僅對其中的上游側(cè)12號吊桿DG12進行分析，吊桿型號為PES7－55，其計算參數(shù)為 l＝22．158 m，m ＝ 16．6 kg／m，吊桿的張拉力為380 kN，實測DG12的頻譜曲線如圖7所示。

由圖7可知，對于吊桿DG12，在自然脈動下的加速度信號能夠完整的識別出其前9階自振頻率。該吊桿的抗彎剛度識別結(jié)果如表6所示。由表6可知，采用不同階次頻率識別的吊桿抗彎剛度具有較好的一致性，數(shù)值相差不大，可采用其平均值作為抗彎剛度實際值。表7為不同公式計算得到的吊桿內(nèi)力，由表7可知，由于DG12的長度較長，拉彎比ξ達到了46．4，各方法的誤差都不太大，但相對而言，本文方法的精度最高，文獻［8］的次之，而梁理論的誤差最大，且隨著頻率階次的提高，其索力誤差有增大的趨勢。

圖6 某外傾式空間異型拱橋

圖7 頻譜曲線

表6 吊桿的抗彎剛度識別結(jié)果

表7 吊桿的抗彎剛度識別結(jié)果

4 結(jié) 論

（1）本文提出了一個固支邊界條件拉索的索力計算實用公式，該公式通過在弦理論索力計算公式的基礎上乘以修正系數(shù) Kn來考慮剛度和邊界條件的影響，其表達式簡潔，且能夠根據(jù)實測得到的多階頻率進行拉索內(nèi)力計算，大大提高了頻率法的適用范圍，可應用于拉索低階頻率無法測量的情況。

（2）本文公式引入無量綱參數(shù)η來表征拉索的抗彎剛度影響，與傳統(tǒng)方法的拉彎比參數(shù)ξ不同，η的計算無需預知拉索索力，其只與實測頻率有關，在實際操作時，由于拉索索力 T本身為之，采用η來表征拉索抗彎剛度影響比拉彎比ξ更為合理。

（3）誤差分析表明，當η≤0．95，即對應于ξ≥12．1時，采用1～10階頻率計算得到的索力誤差均不超過 5%；當η≤0．88，即對應于ξ≥18．9時，采用實測的前10階頻率計算索力時，其結(jié)果誤差均小于3%。尤其是當采用拉索的基頻進行索力計算時，當η≤0．95，即對應于ξ≥2．2時，其索力計算誤差不超過3%。

（4）采用本文統(tǒng)一實用公式，根據(jù)實測得到的多階拉索自振頻率，推導了可用于拉索抗彎剛度計算的顯式公式，該公式通過求解一元二次方程直接得到，精度可靠，可推廣于實際工程。

（5）通過數(shù)值算例和實際工程案例對本文公式的正確性和有效性進行了驗證。對比結(jié)果表明，該實用公式能夠同時對拉索索力和抗彎剛度進行準確的識別，相比于既有的索力計算實用公式，本文公式具有更高的精度。

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