關(guān)于參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)及其應(yīng)用

齊蓮敏

（襄陽汽車職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共課部， 湖北 襄陽 441021）

在汽車制造、檢測、維修、保養(yǎng)、理賠等領(lǐng)域常會(huì)碰到參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問題，解決這類問題的主要方法是：先對(duì)具體問題建立數(shù)學(xué)模型，提出零假設(shè)、備擇假設(shè)，選取合適的統(tǒng)計(jì)量，由統(tǒng)計(jì)量的分布以及顯著性水平確定否定域、接受域及臨界值，然后由樣本觀察值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的觀察值，最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)量觀察值是否落入否定域來推斷零假設(shè)是否成立。以下分兩個(gè)方面來討論。

一、一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

（一）已知總體方差 σ2，檢驗(yàn) H0：μ=μ0

當(dāng)檢驗(yàn)只涉及一個(gè)總體時(shí)，可能需要對(duì)總體的期望μ或總體的方差σ2進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì)于這種檢驗(yàn)我們要用到以下抽樣分布定理。

定理 1.[1]總體服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，（X1，X2，L，Xn）是容量為n的樣本，且Xi（i=1,2,L,n）相互獨(dú)立，則服從N（0，1）。 （其中為樣本均值）

例1.已知某汽車制造廠舊機(jī)床加工零件的橢圓度近似服從正態(tài)分布，其總體均值為μ0=0.064mm，總體標(biāo)準(zhǔn)差為σ0=0.016mm。現(xiàn)在換一種新機(jī)床進(jìn)行加工，抽取n=100個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，得到的橢圓度均值為0.06 mm。問：新機(jī)床加工零件的橢圓度均值與以前相比有無顯著差異？（α=0.05）

[分析]在這個(gè)問題中，機(jī)床廠加工零件的橢圓度看成是總體X，由實(shí)踐和理論知道，總體X服從正態(tài)分布 N(μ0，σ20)。

現(xiàn)在換一種新機(jī)床進(jìn)行加工，作為生產(chǎn)者，我們想知道：新機(jī)床加工零件的橢圓度均值與以前相比有無顯著差異？

為了計(jì)算簡便，可認(rèn)為新機(jī)床加工零件的方差仍為σ20，此時(shí)問題歸結(jié)為：在方差σ2=σ20已知條件下，檢驗(yàn)現(xiàn)在的均值μ與過去的均值μ0相比有無顯著差異。

通過以上分析，下面給出解答。

解：第一步，提出假設(shè)H0：μ=μ0（=0.064），備擇假設(shè)：H1：μ≠μ0。

第四步，作出結(jié)論：由于u∈U*，所以拒絕H0，即不能認(rèn)為新機(jī)床加工零件的橢圓度均值與以前比沒有顯著差異，說明存在系統(tǒng)誤差，需要對(duì)新機(jī)床重新進(jìn)行調(diào)試然后再檢測。

（二）未知總體方差 σ2，檢驗(yàn) H0：μ=μ0

在工程實(shí)際中，總體的方差σ2往往是未知的，可以用樣本方差s2來替代，先看下一個(gè)定理。

定理 2.[2]設(shè)X1，X2，L，Xn（n≥2）相互獨(dú)立，且都服從N（μ，σ2），則統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n-1 的t分布，即T～t（n-1）。

例2.某汽車輪胎制造廠家宣稱：在一定的汽車重量和行駛條件下，其生產(chǎn)的輪胎的平均壽命大于40 000 km，現(xiàn)抽取50個(gè)輪胎，測得壽命均值為43 000 km，標(biāo)準(zhǔn)差為5 000 km。問：該廠生產(chǎn)的輪胎與其所宣傳的標(biāo)準(zhǔn)相符嗎？（α=0.01）

[分析]設(shè)總體近似服從正態(tài)分布。已知總體的均值μ0=40000，樣本均值的觀察值x=43000，樣本標(biāo)準(zhǔn)差的觀察值s=5000，要檢驗(yàn)樣本所代表總體的均值μ是否大于40 000。假設(shè)H0：μ≤μ0=40000成立，則；若在一次實(shí)驗(yàn)中“小概率事件”發(fā)生了，那就應(yīng)該否定所作出的假設(shè)。

解：第一步，提出零假設(shè)H0：μ≤μ0，備擇假設(shè)H1：μ〉μ0。

第四步，作出結(jié)論：該廠家生產(chǎn)的輪胎與其所宣傳的標(biāo)準(zhǔn)相符。

二、多個(gè)總體的參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

例3.有三種牌號(hào)的輪胎，從中隨機(jī)抽取6個(gè)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到輪胎使用壽命的數(shù)據(jù)如表1。

表1 三種牌號(hào)輪胎使用壽命調(diào)查表（單位：千公里）

問：可以認(rèn)為這三種牌號(hào)的輪胎使用壽命相同嗎？ （α=0.05）

[分析]影響輪胎的使用壽命有多種因素，在這個(gè)問題中，只考察牌號(hào)的影響，是單因素。有三種牌號(hào)，即有三種處理，用A1，A2，A3表示。 處理的個(gè)數(shù)用r表示，則r=3。三種處理所取樣本的大小相同，均為n=6。

設(shè)在處理Ai下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Xi是相互獨(dú)立的正態(tài)總體，分別服從N（μi，σ2），i=1，2，3，第i種處理的第j個(gè)結(jié)果Xij（j=1，2，…，6）是總體Xi的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，服從N（μi，σ2），即Xij=μi+εij，其中 εij服從N（0，σ2）。

由于不同的處理產(chǎn)生的效應(yīng)可能不同，把第i種處理產(chǎn)生的效應(yīng)記作αi，i=1，2，3，那么Xij=u+αi+εij，其中，εij服從N（0，σ2）。

當(dāng)假設(shè)H0為真時(shí)，三種處理的均值相同，即μ1=μ2=μ3（等價(jià)于a1=a2=a3=0）。

三者的關(guān)系式為SST=SSA+SSE。

即當(dāng)假設(shè)H0不成立時(shí)，有；當(dāng)假設(shè)H0成立時(shí)，有。

解：⑴提出零假設(shè)H0：μ1=μ2=μ3（等價(jià)于 a1=a2=a3=0）；

備擇假設(shè)H1：μ1，μ2，μ3不完全相同 （等價(jià)于a1，a2，a3中至少一個(gè)不為 0）。

⑵計(jì)算 T1*=235，T2*=268，T3*=219，得到 T**=722；

組內(nèi)離差平方和SSE=SST-SSA=319.8-208.1=111.7。

⑶列出方差分析表

方差來源 離差平方和 自由度 均方 F值組間方差SSA E=14.06組內(nèi)方差SSE 208.1 r-1=2 MSA=104.05 MSA MS 111.7 Σni-r=15 MSE=7.4合計(jì) 319.8 17

⑷求臨界值

顯著性水平α=0.05，臨界值 Fα（r-1，Σni-r）=F0.05（2,15）=3.68。

最后結(jié)論是：不能認(rèn)為這三種牌號(hào)的輪胎使用壽命相同。

[1]李林曙，施光燕.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：中央廣播電視大學(xué)出版社，2002：8.

[2]劉婉如，徐信之，高尚華.概率與統(tǒng)計(jì)（第2版）[M].北京：高等教育出版社，1996.