奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的魯棒同步:LMI法

張會(huì)珍,劉寶江,邵克勇,任偉建

0 引 言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)廣泛存在于現(xiàn)實(shí)生活中,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、電力網(wǎng)絡(luò)、社交網(wǎng)絡(luò)和交通網(wǎng)絡(luò)等實(shí)際問題都可抽象為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究。隨數(shù)學(xué)理論與非線性控制理論的快速發(fā)展,學(xué)者們發(fā)現(xiàn)許多復(fù)雜非線性系統(tǒng)都可通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行描述,將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分解成若干個(gè)節(jié)點(diǎn),而節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間展現(xiàn)非線性動(dòng)力學(xué)行為。雖然早在18世紀(jì)數(shù)學(xué)家Eüler提出的七橋問題的數(shù)學(xué)圖論可看做是最早復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),但復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的真正熱潮產(chǎn)生于20世紀(jì)末。Watts等[1]在Nature發(fā)表的文章提出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的小世界特性,Bαrαbα'si等[2]在Science提出的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型為新世紀(jì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究展現(xiàn)了更為廣闊的空間。國內(nèi)學(xué)者的研究在這段時(shí)期也取得了豐富的成果。汪小帆等[3]與何大韌等[4]的著作不僅促進(jìn)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的發(fā)展、傳播,更為以后中國學(xué)者的研究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性主要體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)、節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜以及不確定因素的影響。眾多學(xué)者不僅對(duì)其特有的屬性進(jìn)行研究,對(duì)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)特性也產(chǎn)生了濃厚的興趣,如網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)變化、加入控制器后網(wǎng)絡(luò)的影響變化以及同步變化[5-7]。尤其近幾年國內(nèi)外涌現(xiàn)了大量關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的優(yōu)秀論文,如完全同步、延遲同步、投影同步、自適應(yīng)同步以及脈沖同步等。文獻(xiàn)[8]基于線性耦合的網(wǎng)絡(luò)研究網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同步的穩(wěn)定性問題,并獲得了主穩(wěn)定函數(shù)判據(jù)。文獻(xiàn)[9]對(duì)具有相似節(jié)點(diǎn)的耦合時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性與同步控制進(jìn)行了分析。

隨近幾年復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的深入研究,傳統(tǒng)整數(shù)階微分方程建模已不能滿足目前需求,人們迫切需求更好的建模數(shù)學(xué)工具刻畫研究對(duì)象,這時(shí)分?jǐn)?shù)階微積分走入了眾多學(xué)者的視線。因?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)往往是非線性動(dòng)力系統(tǒng),系統(tǒng)可能具有混沌、分岔等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,這些系統(tǒng)用分?jǐn)?shù)階微積分描述更為準(zhǔn)確實(shí)際。盡管關(guān)于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步和控制已經(jīng)有了一些研究結(jié)果[10-12],但由于分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論遠(yuǎn)沒有整數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論成熟,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性以及結(jié)點(diǎn)行為的多樣性等因素,使關(guān)于分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步和控制的研究結(jié)果還很缺乏。文獻(xiàn)[13]根據(jù)最新的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論,通過LMI法給出了分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件。文獻(xiàn)[14,15]分別研究了星型耦合分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步與環(huán)狀分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步。文獻(xiàn)[16]基于分?jǐn)?shù)階線性微分系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性判別方法,研究了具有不確定性分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒同步等。

奇異系統(tǒng)又稱為廣義系統(tǒng)、隱式系統(tǒng)或微分代數(shù)系統(tǒng)。20世紀(jì)70年代初,Rosenbrock[17]首次提出線性廣義系統(tǒng),研究系統(tǒng)受限等價(jià)性,狀態(tài)空間模型的描述方式的提出使整數(shù)階奇異系統(tǒng)理論得到了長足的發(fā)展。作為與正常系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)的奇異系統(tǒng),因?yàn)槠洳粌H包含正常系統(tǒng)所具有的指數(shù)解還包含其不具有的脈沖解與靜態(tài)解。這為解決工程實(shí)際問題提供了更精確的模型同時(shí)在處理上也帶來了新的難度。張慶靈等[18]作為國內(nèi)奇異系統(tǒng)的先驅(qū),先后出版多部關(guān)于奇異系統(tǒng)專著,極大的促進(jìn)了奇異系統(tǒng)理論的發(fā)展。相較分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論,關(guān)于奇異分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析更是少之又少。文獻(xiàn)[19]給出了奇異分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)正則性,無脈沖性及容許性的定義,并提出線性奇異分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)容許性的充分必要條件。文獻(xiàn)[20]通過引用基本有界定理給出了帶有內(nèi)部擾動(dòng)非線性奇異分?jǐn)?shù)階不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性條件。文獻(xiàn)[21]通過李雅普諾夫直接法給出了非線性奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步條件。文獻(xiàn)[22]提出了一種頻率分布分?jǐn)?shù)階積分器等效模型,提出了針對(duì)線性、非線性、離散型微分方程的間接李雅普諾夫方法,避免計(jì)算李雅普諾夫函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。文獻(xiàn)[23]通過引用上述的非線性連續(xù)頻率分布等價(jià)模型,結(jié)合間接李雅普諾夫方法給出了不確定分?jǐn)?shù)階非線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在觀測器下的魯棒穩(wěn)定的充分條件。

筆者通過設(shè)計(jì)同步控制器將奇異系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為正常系統(tǒng)。同樣引用文獻(xiàn)[22]的非線性連續(xù)頻率分布等價(jià)模型,結(jié)合間接李雅普諾夫方法,構(gòu)造了全新的李雅普諾夫函數(shù),并利用Matlab的LMI工具箱,給出奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)誤差系統(tǒng)(0＜α＜1)漸近穩(wěn)定的充分條件,從而得到奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的同步條件。

1 分?jǐn)?shù)階微積分定義及引用定理

下面給出一些應(yīng)用的定義及引理。

定義1 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的定義描述[24]

定義2 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為[24]

其中m∈Z+。

定義3 若h(t)是一個(gè)線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng),h(t)與其擴(kuò)散表達(dá)式μ(ω)有如下關(guān)系[21]

分?jǐn)?shù)階的積分算子t0D-αtf(t)可寫成

其中*表示卷積運(yùn)算。

h(t)的擴(kuò)散表達(dá)式為 μ(ω)=sin(απ)/πω-α。

引理1 分?jǐn)?shù)階線性微分方程[24]

等價(jià)于

引理2 對(duì)于任意適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣X,Y,有[24]

1)S＜0;

2)S11＜0,S22-ST12S-111S12＜0;

3)S22＜0,S11-S12S-122ST12＜0。

引理4 若A∈Cn×n是復(fù)矩陣。當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)對(duì)稱非奇異矩陣X∈Cn×n,使AX+X*A*＜0(*表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置),則A為非奇異矩陣[15]。

考慮如下奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)

其中0＜α＜1,x(t)=[xi1(t) xi2(t) … xin(t)]T∈Rn,是第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)向量。ΔA代表系統(tǒng)的參數(shù)擾動(dòng),ΔA=MΔN,Δ的元為Lebesgue可測且滿足ΔTΔ≤I。A,M,N是適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣,Γ為內(nèi)部耦合矩陣。 E∈Rn×n是奇異矩陣,rank(E)=r＜n。 f:Rn→Rn表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)函數(shù),G=(gij)∈Rn×n表示耦合網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),滿足gij=0(i=j),gij＞0(i≠j)。

對(duì)角元素定義為

假設(shè)系統(tǒng)(1)的輸出為s(xi(t)),根據(jù)非線性觀測器的設(shè)計(jì)方法[22],則傳遞同步信號(hào)形式如下

其中K∈Rn×n,L∈Rn是FO-PD控制器的增益,B是適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)系統(tǒng)為

第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的實(shí)時(shí)誤差為ei(t)=yi(t)-xi(t),若滿足, 則復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步。

定義奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)誤差系統(tǒng)

即

其中E1=E+BL。

式(1)中的E為非奇異矩陣,系統(tǒng)(5)可轉(zhuǎn)化為正常系統(tǒng)的充分條件是rank[E B]=n。將奇異系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為正常系統(tǒng)(即非奇異系統(tǒng))稱為系統(tǒng)的正?；?。任意正常系統(tǒng)都是正則的。

2 奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步分析

首先給出使系統(tǒng)正?；脑鲆婢仃嘗存在條件,然后求解增益K使正常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

定理1 若系統(tǒng)(5)可以轉(zhuǎn)換為正常系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)對(duì)稱非奇異矩陣P和任意矩陣Y滿足

其中Y=LP。

證明 若式(5)可轉(zhuǎn)化為正常系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)存在L使E1=E+BL是非奇異的。根據(jù)引理4,有

將Y=LP代入式(6),得證。證明完畢。

由于E1是非奇異的,即可逆,則誤差系統(tǒng)(5)等價(jià)于

通過kronecker積,可得到

其中A1=(E+BL)-1A,M1=(E+BL)-1M,G1=(E+BL)-1G,～A=IN?(A1-E-11K)+IN?(M1ΔN)+G1?Γ。

定理2 奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)與奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)系統(tǒng)(3)同步,當(dāng)且僅當(dāng)存在正定對(duì)稱矩陣P0,矩陣K以及ε＞0,滿足

其中 Ω =sym{IN?P0A1}-sym{IN?P0E-11K}+sym{G1?P0Γ}+ε(IN?P0M1)(IN?P0M1)T,A1=(E+BL)-1A, M1=(E+BL)-1M, G1=(E+BL)-1G。

證明 根據(jù)引理1,系統(tǒng)(7)可轉(zhuǎn)化為

考慮兩個(gè)李雅普諾夫函數(shù):v(ω,t)是對(duì)應(yīng)于基本頻率ω的單邊李雅普諾夫函數(shù),v(t)是所有李雅普諾夫函數(shù)v(ω,t)=ZT(ω,t)PZ(ω,t)和權(quán)重函數(shù)μ(ω)的集合。因此,可定義單邊李雅普諾夫函數(shù)

上述函數(shù)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)

若eT(t)～ATPe(t)+eT(t)P～Ae(t)＜0,則˙V(t)＜0稱閉環(huán)誤差系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定,即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)與響應(yīng)系統(tǒng)(3)同步。

將～A展開得到

設(shè)P=IN?P0,代入式(12)化簡得

根據(jù)引理2,有

則式(13)化為

根據(jù)引理3得到不等式(9),證畢。

因定理2中包含P0E-11K的非線性項(xiàng)不能通過LMI工具箱直接求得,因此通過進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到以下定理。

定理3 奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)與奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)系統(tǒng)(3)同步,當(dāng)且僅當(dāng)存在正定對(duì)稱矩陣X,適當(dāng)維數(shù)矩陣Q以及ε＞0,滿足

其中

證明 對(duì)式(14)左右兩邊同時(shí)乘以IN?P-10,經(jīng)過化簡得

設(shè)X=P-10,Q=KX,得到式(16),證畢。

3 仿真算例

例1 考慮一個(gè)具有如下參量的非線性分?jǐn)?shù)階奇異系統(tǒng)

其中α=0.95。

對(duì)于奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

為了方便,取含3個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真。

根據(jù)定理1,通過Matlab的LMI工具箱,分別得到P和Y

則增益

這表明系統(tǒng)(4)可正?；?。根據(jù)此增益,可獲得滿足系統(tǒng)(7)的新矩陣

由定理3,通過Matlab的LMI工具箱,可分別得

取節(jié)點(diǎn)初值xi0=[0 1 0],yi0=[-1 1 1],i=1,2,3。而完整的閉環(huán)奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)誤差系統(tǒng)ei1(t),ei2(t),ei3(t)隨時(shí)間變化的狀態(tài)軌跡曲線如圖1～圖3所示。從仿真結(jié)果可看出,奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)誤差系統(tǒng)達(dá)到漸近穩(wěn)定,即奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)與奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)系統(tǒng)(3)同步。

圖1 誤差系統(tǒng)ei1(t)狀態(tài)響應(yīng)圖Fig.1 State response ei1(t)of errors system

圖2 誤差系統(tǒng)ei2(t)狀態(tài)響應(yīng)圖Fig.2 State response ei2(t)of errors system

圖3 誤差系統(tǒng)ei3(t)狀態(tài)響應(yīng)圖Fig.3 State response ei3(t)of errors system

4 結(jié) 語

筆者通過引入連續(xù)頻率分布等價(jià)模型,應(yīng)用間接李雅普諾夫方法,構(gòu)造了一個(gè)新的李雅普諾夫函數(shù),給出了非線性奇異分?jǐn)?shù)階復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(0＜α＜1)魯棒同步的全新方法。設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階同步控制器,將奇異系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為正常系統(tǒng),利用Matlab的LMI工具箱求出控制器的增益。最后通過數(shù)值仿真驗(yàn)證所提方法的有效性。

[1]WATTSD J,STROGATZ S H.Collective Dynamics of‘Small-World'Networks[J].Nature,1998,393(6684):440-442.

[2]BARABáSI A L,ALBERT R.Emergence of Scaling in Random Networks[J].Science,1999,286(5439):509.

[3]汪小帆,李翔,陳關(guān)榮.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及其應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2006.WANG Xiaofan,LIXiang,CHEN Guanrong.Complex Network Theory and Its Application[M].Beijing:Tsinghua University Press,2006.

[4]何大韌,劉宗華,汪秉宏.復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[M].北京:高等教育出版社,2009.HE Daren,LIU Zonghua,WANG Binghong.The Complex Systems and Complex Networks[M].Beijing:Higher Education Press,2009.

[5]GU Y Q,SHAO C,FU X C.Complete Synchronization and Stability of Star-Shaped Complex Networks[J].Chaos Solitons&Fractals,2006,28(2):480-488.

[6]FENG J,SUN S,XU C,et al.The Synchronization of General Complex Dynamical Network via Pinning Control[J].Nonlinear Dynamics,2011,67(2):1623-1633.

[7]WU X,LU H,LU H.Generalized Projective Synchronization between Two Different General Complex Dynamical Networks with Delayed Coupling[J].Physics Letters A,2010,374(38):3932-3941.

[8]PECORA L M,CARROLL T L.Master Stability Functions for Synchronized Coupled Systems[J].Physical Review Letters,1998,80(10):2109-2112.

[9]范永青,王銀河,王青云,等.具有相似節(jié)點(diǎn)的耦合時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性與同步控制分析[J].控制與決策,2013,28(2):247-252.FAN Yongqing,WANG Yinhe,WANG Qingyun,et al.Control Analysis of the Stabilization and Synchronization of Coupling Time-Delay Complex Dynamical Networks with Similar Nodes[J].Control and Decision,2013,28(2):247-252.

[10]ZHU H,ZHOU S,HE Z.Chaos Synchronization of the Fractional-Order Chen's System[J].Chaos Solitons&Fractals,2009,41(5):2733-2740.

[11]TAVAZOEI M S,HAERI M.Synchronization of Chaotic Fractional-Order Systems via Active Sliding Mode Controller[J].Physica A Statistical Mechanics&Its Applications,2008,387(1):57-70.

[12]JIAO Z,ZHONG Y.Robust Stability for Fractional-Order Systems with Structured and Unstructured Uncertainties[J].Computers&Mathematics with Applications,2011,64(10):3258-3266.

[13]ZHANG H,WANG X,LIN X.Stability and Control of Fractional Chaotic Complex Networks with Mixed Interval Uncertainties[J].Asian Journal of Control,2017,19(1):106-115.

[14]WANG J,ZHANG Y.Network Synchronization in a Population of Star-Coupled Fractional Nonlinear Oscillators[J].Physics Letters A,2010,374(13/14):1464-1468.

[15]DELSHAD S S,ASHEGHAN M M,BEHESHTI M H.Synchronization of Non-Coupled Incommensurate Fractional Order Chaotic Systems with Ring Connection[J].Communications in Nonlinear Science&Numerical Simulation,2011,16(9):3815-3824.

[16]WONG W K,LI H,LEUNG SY S.Robust Synchronization of Fractional-Order Complex Dynamical Networks with Parametric Uncertainties[J].Communications in Nonlinear Science&Numerical Simulation,2012,17(12):4877-4890.

[17]ROSENBROCK H H.Structural Properties of Linear Dynamical Systems[J].International Journal of Control,1974,20(20):191-202.

[18]張慶靈,楊冬梅.不確定廣義系統(tǒng)的分析與綜合[M].沈陽:東北大學(xué)出版社,2003.ZHANG Qingling,YANG Dongmei.Uncertainty Analysis and Synthesis of Generalized Syste[M].Shenyang:Northeastern University Press,2003.

[19]YAO Y U,JIAO Z,SUN CY.Sufficient and Necessary Condition of Admissibility for Fractional-Order Singular System[J].Acta Automatica Sinica,2013,39(12):2160-2164.

[20]YIN C,ZHONG SM,HUANG X,et al.Robust Stability Analysis of Fractional-Order Uncertain Singular Nonlinear System with External Disturbance[J].Applied Mathematics&Computation,2015,269(C):351-362.

[21]LIU S,ZHOU X F,LI X,et al.Stability of Fractional Nonlinear Singular Systems and Its Applications in Synchronization of Complex Dynamical Networks[J].Nonlinear Dynamics,2016,84(4):1-9.

[22]TRIGEASSOU J C,MAAMRI N,SABATIER J,et al.A Lyapunov Approach to the Stability of Fractional Differential Equations[J].Signal Processing,2011,91(3):437-445.

[23]LAN Y H,GU H B,CHEN C X,et al.An Indirect Lyapunov Approach to the Observer-Based Robust Control for Fractional Order Complex Dynamic Networks[J].Neuro-Computing,2014,136(8):235-242.

[24]張會(huì)珍,劉寶江,邵克勇,等.不確定分?jǐn)?shù)階奇異系統(tǒng)魯棒控制及穩(wěn)定性分析 [J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版,2017,35(4):392-397.ZHANG Huizhen,LIU Baojiang,SHAO Keyong,et al.Robust Control and Stability Analysis of Uncertain Descriptor Fractional Order System[J].Journal of Jilin University:Information Science Edition,2017,35(4):392-397.