基于最小二乘法的電主軸回轉(zhuǎn)精度評(píng)價(jià)*

王立平 張彬彬 吳 軍

(清華大學(xué)機(jī)械工程系，北京100084)

高速、高精度、高可靠性是當(dāng)代數(shù)控機(jī)床的發(fā)展方向[1-4]。電主軸作為高檔數(shù)控機(jī)床的核心部件，其回轉(zhuǎn)精度直接影響機(jī)床的加工精度、性能穩(wěn)定性，因此需要深入研究電主軸回轉(zhuǎn)精度的測(cè)量和評(píng)定方法，分析電主軸的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和判斷誤差產(chǎn)生的原因，為提高電主軸的回轉(zhuǎn)精度奠定基礎(chǔ)。根據(jù)機(jī)床檢驗(yàn)通則第7部分：回轉(zhuǎn)軸線的幾何精度[5-6]，評(píng)定電主軸的回轉(zhuǎn)精度首先要找到電主軸高速轉(zhuǎn)動(dòng)下徑向位移信號(hào)的最小二乘圓圓心，才能實(shí)現(xiàn)電主軸的回轉(zhuǎn)精度評(píng)定。但基于最小二乘法的電主軸回轉(zhuǎn)精度計(jì)算方法不存在解析解，因此，在面對(duì)大量數(shù)據(jù)的情況下，只能采用假設(shè)近似解或者迭代算法實(shí)現(xiàn)，其存在計(jì)算精度低或者計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)等問題。

本文以應(yīng)用于五軸加工中心上的高速電主軸為研究對(duì)象，研究基于最小二乘法的電主軸回轉(zhuǎn)精度評(píng)定。首先建立電主軸工作狀態(tài)下的幾何誤差模型，對(duì)電主軸的常量信號(hào)、偏心信號(hào)等相關(guān)信號(hào)進(jìn)行研究和分離。其次采用標(biāo)準(zhǔn)球、高精密電容位移傳感器、高速采集卡等器件搭建電主軸回轉(zhuǎn)精度測(cè)量系統(tǒng)，并采集電主軸高速轉(zhuǎn)動(dòng)下的徑向位移信號(hào)。接著分別采用最小二乘牛頓迭代算法、最小二乘近似算法和平均值算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理與分析，并驗(yàn)證了3種算法的有效性。最后在分析對(duì)比3種算法結(jié)果后，設(shè)計(jì)了一種不同應(yīng)用背景下的電主軸回轉(zhuǎn)精度評(píng)價(jià)策略，并提出了一種兼顧計(jì)算精度和計(jì)算效率的電主軸回轉(zhuǎn)精度快速評(píng)價(jià)算法。

1 電主軸幾何誤差建模

首先對(duì)電主軸回轉(zhuǎn)幾何誤差進(jìn)行建模，電主軸檢測(cè)裝置如圖1所示，其原理為在電主軸前端安裝標(biāo)準(zhǔn)球，并在球的兩側(cè)安裝兩個(gè)相互垂直的位移傳感器，來采集電主軸徑向運(yùn)動(dòng)信號(hào)。

將電主軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行建模，并將電主軸與檢測(cè)裝置沿著回轉(zhuǎn)中心軸方向進(jìn)行投影，可得到如圖2所示的原理圖。圖中o點(diǎn)表示電主軸旋轉(zhuǎn)中心，O點(diǎn)表示標(biāo)準(zhǔn)球球心。一般來說，電主軸旋轉(zhuǎn)都存在偏心現(xiàn)象，因此在圖2中電主軸的旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)o和標(biāo)準(zhǔn)球心點(diǎn)O不重合。以o點(diǎn)為原點(diǎn)，位移傳感器1和位移傳感器2檢測(cè)的光線方向分別為x軸和y軸，建立坐標(biāo)系o-xy。

由勾股定理得到各點(diǎn)之間的位置關(guān)系：

yi=|P10y|-risinθi-

(1)

(2)

為了便于說明，設(shè)：

(3)

(4)

由式(1)～(4)得，yi是偏置信號(hào)|P10y|、正弦信號(hào)-risinθi以及余弦信號(hào)-C1i的疊加。對(duì)于高精密電主軸，|P11x|和ri基本為幾十微米，檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)球的半徑R1為幾厘米，即：

(5)

通過不等式分析可以得到C1i的峰峰值：

C1max-C1min?2ri

(6)

因此，余弦信號(hào)-C1i相對(duì)于正弦信號(hào)-risinθi來說，基本上為一恒定常值，則yi可改寫為：

yi=C3-risinθi

(7)

其中C3表示恒值，即：

C3=|P10y|-C1i

(8)

同理可得到：

xi=C4-ricosθi

(9)

其中C4表示恒值，即：

C4=|P20x|-C2i

(10)

通過上式，可以發(fā)現(xiàn)xi和yi是兩個(gè)正弦信號(hào)。但由于電主軸在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，實(shí)際轉(zhuǎn)速不一定與指令轉(zhuǎn)速恒等，而是一個(gè)在設(shè)定轉(zhuǎn)速上下波動(dòng)的變量，無法直接求解轉(zhuǎn)速與旋轉(zhuǎn)角度θi。因此可以轉(zhuǎn)換為如下求解方式：

(11)

(12)

綜合式(11)和(12)可得到主軸徑向回轉(zhuǎn)曲線：

(13)

2 電主軸回轉(zhuǎn)精度常用評(píng)定算法分析

參考國(guó)標(biāo)，電主軸回轉(zhuǎn)精度一般采用最小二乘圓評(píng)定方法進(jìn)行評(píng)定，其原理圖如圖3所示。

最小二乘圓計(jì)算公式為：

(14)

但由于最小二乘圓計(jì)算方法無解析解，若要獲得精確解，一般需要采用迭代算法。下面將對(duì)最小二乘牛頓迭代算法、最小二乘近似算法和平均值算法分別展開進(jìn)行分析。

2.1 最小二乘牛頓迭代算法

首先采用牛頓迭代法求解最小二乘圓。為了方便計(jì)算，不妨設(shè)：

(15)

對(duì)f(x0,y0,rlms)求偏導(dǎo)得到：

(16)

再對(duì)f(X)′求偏導(dǎo)，可得到Jacobi矩陣：

(17)

因此得到牛頓歐拉迭代函數(shù)：

X(k+1)=X(k)-[J(X(k))]-1f(X(k))

(18)

其初值設(shè)置可設(shè)置為平均值，即：

(19)

2.2 最小二乘近似算法

由于最小二乘法無法得到解析解來直接求解精度，因此可對(duì)最小二乘法進(jìn)行一定的近似，采用近似函數(shù)來進(jìn)行求解。該近似函數(shù)為：

(20)

由于H的最大值是無窮大，因此當(dāng)H的梯度為0時(shí)，H為最小值，即：

(21)

將t3消去后，可得到：

(22)

(23)

化簡(jiǎn)后可得到：

A1+A2t1+A3t2=0

(24)

A4+A3t1+A5t2=0

(25)

其中：

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

聯(lián)立式(24)～(30)可得到：

(31)

(32)

將式(31)和(32)代入式(21)可得到：

(33)

最終得到x0、y0和rlms的近似解，即：

(34)

(35)

(36)

2.3 平均值算法

最后給定一種最常見的平均值計(jì)算方法，即直接求平均值作為最小二乘圓，即

(37)

(38)

(39)

3 電主軸回轉(zhuǎn)精度信號(hào)采集與分析

電主軸回轉(zhuǎn)精度檢測(cè)試驗(yàn)臺(tái)如圖4所示，主軸采用博特精工的JSZD170C-12/15XJ型號(hào)電主軸，通過在主軸前端夾持一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球，并同時(shí)在標(biāo)準(zhǔn)球的XYZ三方向上分別放置3個(gè)高精密電容位移傳感器，用于檢測(cè)電主軸的徑向跳動(dòng)和軸向跳動(dòng)。

由于電主軸在低轉(zhuǎn)速下，容易出現(xiàn)過流報(bào)警而無法轉(zhuǎn)動(dòng)，因此首先通過實(shí)驗(yàn)的方法，找到電主軸的最低轉(zhuǎn)速180 r/min。接著從600 r/min轉(zhuǎn)速開始，依次以600 r/min的幅值增加電主軸轉(zhuǎn)速，直至達(dá)到最高轉(zhuǎn)速10 200 r/min。保持每種轉(zhuǎn)速下工作3 min，用NI采集卡以8 kHz的采樣頻率對(duì)徑向位移信號(hào)進(jìn)行采集，記錄下18組采集數(shù)據(jù)。選取其中典型的3組信號(hào)，畫出徑向運(yùn)動(dòng)軌跡圖，如圖5～7所示。由圖可得，主軸在低轉(zhuǎn)速(180 r/min)和高轉(zhuǎn)速(10 200 r/min)下，其運(yùn)動(dòng)軌跡是規(guī)則圓形，當(dāng)處于中間轉(zhuǎn)速(5 400 r/min)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生突變。

通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，最小二乘牛頓迭代算法的最小二乘圓與各點(diǎn)的距離之和最小，即計(jì)算精度最高，但所需計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)大于最小二乘近似算法和平均值算法的計(jì)算時(shí)間。比對(duì)各組轉(zhuǎn)速的結(jié)果后，最小二乘近似算法和平均值算法在低轉(zhuǎn)速時(shí)，精度差距不大，當(dāng)轉(zhuǎn)速升高后，最小二乘近似算法精度高于平均值算法，與最小二乘牛頓迭代法精度差不多。

表1 3種算法計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)間對(duì)比

轉(zhuǎn)速/(r/min)最小二乘牛頓迭代算法最小二乘近似算法平均值算法總距離/μm計(jì)算時(shí)間/s總距離/μm計(jì)算時(shí)間/s總距離/μm計(jì)算時(shí)間/s18065337512266535250076566860026007576231229757818007760000002120081778912328180050088188250021800102890812361029224007102892700224009221371233922378007922237002300083588012348360680068390760023600252983412332531569006253077700242002169504123121706920062170840002480034191931234342186600634208540025400593640345361825983392700659738386002600067057912346706970076823510026600355052123335507900636764700272009521844788119523730069742340027800663406533273663500006764818002840060886453340460896100767145800290007221655337057224590061020154002960080889053322580902100686953300210200953162478210953300006973528002平均值127658222197401292579900712914942002

根據(jù)3種算法得到不同轉(zhuǎn)速下的主軸回轉(zhuǎn)精度，如表2所示。以最小二乘迭代算法結(jié)果為基準(zhǔn)，最小二乘近似算法結(jié)果和迭代算法結(jié)果基本一致。在有些轉(zhuǎn)速下，平均值算法略優(yōu)于近似算法。在實(shí)際應(yīng)用中可綜合最小二乘近似算法和平均值算法，根據(jù)表1中的總距離指標(biāo)，選用相應(yīng)的算法對(duì)電主軸的回轉(zhuǎn)精度進(jìn)行評(píng)價(jià)。

由表2可得在5 400 r/min轉(zhuǎn)速，其精度發(fā)生突變。通過對(duì)電主軸進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，可得到圖8、9所示模態(tài)試驗(yàn)響應(yīng)圖。由圖可得，當(dāng)頻率處于92 Hz時(shí)，相位180°反向，且振動(dòng)響應(yīng)出現(xiàn)尖鋒，即92 Hz為電主軸一階固有頻率，換算成電主軸轉(zhuǎn)速即為5 520 r/min?？勺C明本實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理算法的準(zhǔn)確性，并可采用本檢測(cè)方法來檢測(cè)機(jī)構(gòu)的低階固有頻率。

最后采集5 520 r/min轉(zhuǎn)速下的誤差信號(hào)，并綜合最小二乘近似算法和平均值算法分析，得到最終的電主軸回轉(zhuǎn)誤差曲線，如圖10所示。

4 結(jié)論

通過本文分析，在不考慮時(shí)間成本的情況下，可直接采用最小二乘牛頓迭代算法計(jì)算主軸回轉(zhuǎn)精度，其計(jì)算精度高，但計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)。

在需要考慮時(shí)間成本的情況下，可選用下面兩種計(jì)算方法：

(1)直接采用最小二乘近似算法評(píng)估主軸回轉(zhuǎn)精度。該方法計(jì)算時(shí)間短，精度較高。

(2)采用最小二乘近似算法和平均值算法分別評(píng)估主軸回轉(zhuǎn)精度，若結(jié)果一致，則選用任意一種評(píng)價(jià)結(jié)果。反之，則比較兩種算法的最小二乘圓精度，選用更高精度最小二乘圓下的計(jì)算結(jié)果。該方法計(jì)算精度較上一種更高，計(jì)算時(shí)間略長(zhǎng)。其相對(duì)于迭代算法，計(jì)算精度相差不大，但計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)小于迭代算法，是一種兼顧計(jì)算精度和效率的快速評(píng)價(jià)算法。

表2 三種算法回轉(zhuǎn)精度對(duì)比

轉(zhuǎn)速/(r/min)最小二乘牛頓迭代算法回轉(zhuǎn)精度/μm最小二乘近似算法回轉(zhuǎn)精度/μm平均值算法回轉(zhuǎn)精度/μm18044144144660050850850612004964964961800516515516240052452452530005675675643600705705703420069269168648007447467455400227422632325600053953954766004304304247200600600592780054354358184005665655349000554554591960064965064010200735735720

[1]王立平. 數(shù)控機(jī)床先進(jìn)技術(shù)淺談[J]. 航空制造技術(shù), 2010(10): 49-52.

[2]趙欽志, 王立平, 王軍見. 數(shù)控機(jī)床可靠性試驗(yàn)和評(píng)估技術(shù)分析與研究[J]. 制造技術(shù)與機(jī)床, 2017(11): 17-21.

[3] 張根保, 王立平. 國(guó)產(chǎn)數(shù)控機(jī)床可靠性技術(shù)綜述[J]. 航空制造技術(shù), 2013(5): 26-31.

[4] 張彬彬, 王立平, 吳軍. 3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)各向同性評(píng)價(jià)方法[J]. 清華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2017, 57(8): 803-809.

[5]GB/T 17421.7—2016，全國(guó)金屬切削機(jī)床標(biāo)準(zhǔn)化技術(shù)委員會(huì).機(jī)床檢驗(yàn)通則 第7部分：回轉(zhuǎn)軸線的幾何精度[S]. 北京：中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社, 2016.

[6]Test code for machine tools -- Part 7: Geometric accuracy of axes of rotation: ISO 230-7：2006 [S/OL].https://www.iso.org/standard/56624.html，2015-05-15.