一種基于Hugoniot關系的爆轟產物等熵狀態(tài)方程*

劉益儒,胡曉棉

(北京應用物理與計算數(shù)學研究所，北京 100088)

炸藥爆轟產物等熵狀態(tài)方程描述的是熱力學平衡條件下爆轟產物在C-J點后近似等熵膨脹過程中的熱力學狀態(tài)參量之間的關系，是炸藥做功能力的主要表征。研究爆轟產物等熵狀態(tài)方程對掌握炸藥爆轟性能及發(fā)展爆炸力學具有重要意義。

目前爆轟產物等熵狀態(tài)方程分為兩類：一類是從理論模型出發(fā)的狀態(tài)方程，如BKW、JCZ和Williamsburg等熵狀態(tài)方程等[1-3]，這類方程形式復雜且計算量較大，不適用于工程計算；另一類為經(jīng)驗或半經(jīng)驗狀態(tài)方程，最常用的有常γ以及JWL形式的等熵狀態(tài)方程[4-5]，這類方程形式簡單、比較適用于工程計算，但往往需要特定的標定實驗確定方程經(jīng)驗參數(shù)，例如常γ狀態(tài)方程的經(jīng)驗參數(shù)通過擬合平面爆轟波沖擊靶板的初始自由表面速度實驗數(shù)據(jù)確定，JWL狀態(tài)方程的經(jīng)驗參數(shù)通過擬合圓筒實驗數(shù)據(jù)確定。這些標定實驗往往成本高、周期長，且在獲得實驗數(shù)據(jù)后，還需考慮如何合理擬合這些實驗數(shù)據(jù)，并且目前獲得較好的標定結果還依賴于復雜的二維流體動力學數(shù)值計算，這又增加計算成本。

為此，有必要發(fā)展一種不需要實驗標定，形式簡單，又能滿足工程計算的爆轟產物等熵狀態(tài)方程。本文中基于壓力-粒子速度平面上爆轟產物Hugoniot經(jīng)驗關系，利用Riemann積分，發(fā)展一種新的爆轟產物等熵狀態(tài)方程形式，該方程的參數(shù)僅為炸藥的初始比容和C-J狀態(tài)量，這些參數(shù)通過簡單且成本較低的炸藥密度和爆轟參數(shù)測量實驗即可直接獲得，避免復雜的參數(shù)標定過程，和傳統(tǒng)的經(jīng)驗或半經(jīng)驗等熵狀態(tài)方程相比，可節(jié)約標定參數(shù)計算成本。

1 爆轟產物等熵狀態(tài)方程建模

1.1 爆轟產物Hugoniot經(jīng)驗關系

Cooper[6]對136組炸藥爆轟產物壓力粒子速度實驗數(shù)據(jù)進行收集并建立數(shù)據(jù)庫，這些實驗數(shù)據(jù)涉及14種理想或非理想炸藥，初始密度范圍為1.13～7.47 g/cm3。采用的實驗方法包括自由表面速度法和阻抗匹配法：兩者均采用平面爆轟波沖擊不同厚度的的惰性靶板，但前者測量靶板內自由表面粒子速度，將數(shù)據(jù)外推到零厚度靶板，再利用靶板沖擊Hugoniot關系求得爆轟產物壓力粒子速度數(shù)據(jù)；后者(如水箱法)測量距界面不同位置處的沖擊波速度或壓力，并外推到界面位置，再利用靶板沖擊Hugoniot關系求得p-u數(shù)據(jù)。Cooper[6]采用相應炸藥的C-J爆壓pCJ和粒子速度uCJ對這些數(shù)據(jù)進行無量綱化后，發(fā)現(xiàn)，p/pCJ和u/uCJ在高壓和低壓時分別較好地符合二次方函數(shù)和冪函數(shù)關系，因此擬合得到如下分段形式的爆轟產物爆轟產物壓力粒子速度Hugoniot經(jīng)驗關系：

(1)

值得注意的是，表征函數(shù)分段位置d值的選取與人為判斷有關，并沒有明確物理意義，除了約束條件，d值的選取亦可直接影響擬合曲線的擬合優(yōu)度。文獻[6]中的擬合曲線的擬合優(yōu)度值為R2|F1=0.957和R2|F2=0.806，而文獻[7]中的擬合曲線的擬合優(yōu)度值為R2|F1=0.947和R2|F2=0.789。可見后者的擬合優(yōu)度不如前者。因此，對函數(shù)分段位置做適當調整，即令d=0.06，對實驗數(shù)據(jù)進行重新分段擬合，得到新的擬合系數(shù)為a=2.264，b=-1.528，c=0.264，m=112.5，n=-8.186，從而擬合優(yōu)度值達到R2|F1=0.966 9和R2|F2=0.901 5。圖1為線性坐標和對數(shù)坐標下無量綱參數(shù)間關系曲線。

1.2 爆轟產物等熵狀態(tài)方程

利用式(1)推出爆轟產物等熵狀態(tài)方程的過程如下：

(2)

(3)

根據(jù)等熵線上的關系：

(4)

式中:下標S代表等熵狀態(tài)量，c為等熵聲速，ρ為產物密度?？梢酝瞥鋈缦翿iemann積分：

(5)

式中:v= 1/ρ為產物比容。將式(3)代入式(5)，并考慮約束條件a+b+c=1和b+2c=1,整理得：

(6)

式(6)即為提出的爆轟產物等熵狀態(tài)方程的具體形式。式中：v0是炸藥初始比容，V=v/v0是相對比容，c、m和n均為1.1節(jié)中給出的爆轟產物在p-u平面上的Hugoniot經(jīng)驗關系擬合系數(shù)，是與具體炸藥性能無關的常數(shù)，因此不需要針對特定炸藥進行實驗標定。另外可以看到，方程參數(shù)僅為炸藥的初始比容v0和爆轟產物C-J點的狀態(tài)量即pCJ、uCJ和vCJ，其中v0和pCJ可分別通過簡單的密度測量實驗和爆壓測量實驗獲得，uCJ和vCJ則可以利用下式進行估算：

(7)

式中：D為爆速，通過簡單的爆速測量實驗即可獲得。這些實驗與傳統(tǒng)的爆轟產物狀態(tài)方程標定實驗相比，成本顯著降低；另外，由于不需要利用實驗數(shù)據(jù)擬合經(jīng)驗參數(shù)，從而節(jié)約了計算成本。

將本文中得到的擬合系數(shù)，即c=0.264，m=112.5，n=-8.186代入式(6)，進一步化簡得：

(8)

為了在模型驗證中進行對比分析，這里將Lanterman[7]的擬合系數(shù)，即c=0.258 5，m=206.5，n=-8.62，代入式(6)，得到等熵狀態(tài)方程：

(9)

2 模型驗證

為驗證模型的合理性，分別采用式(8)、(9)給出的等熵狀態(tài)方程以及JWL等熵狀態(tài)方程在p-V平面上繪制了Comp-B、HMX、PETN、ANFO、TNT以及LX-14這6種爆轟性能有明顯差異的炸藥爆轟產物等熵膨脹曲線，如圖2所示。這里采用JWL等熵狀態(tài)方程進行對比，是因為該方程能夠比較精確的描述爆轟產物的等熵膨脹過程。炸藥組分質量比、初始密度、C-J爆速和爆壓等參數(shù)可參閱文獻[8] 。

描述p-V關系的JWL等熵狀態(tài)方程的形式[5]為：

pS(V)=Aexp(-R1V)+Bexp(-R2V)+CV-(ω+1)

(10)

式中:A、B、C、R1、R2和ω是經(jīng)驗參數(shù)，需要通過擬合圓筒實驗數(shù)據(jù)確定；這6種炸藥的JWL狀態(tài)方程經(jīng)驗參數(shù)值列于表1[8]。

從圖2中可以看到，不同于JWL狀態(tài)方程描述的連續(xù)光滑膨脹曲線，式(8)～(9)給出的狀態(tài)方程所描述的膨脹曲線分別在p/pCJ=0.06和p/pCJ=0.1(或V≈2和V≈1.5)位置處出現(xiàn)分段，這很有可能是在擬合分段函數(shù)形式的產物Hugoniot經(jīng)驗關系時，未考慮分段位置處的連續(xù)性造成的。另外，與式(9)給出狀態(tài)方程曲線相比，式(8)給出狀態(tài)方程曲線的連續(xù)性以及與JWL等熵狀態(tài)方程曲線的符合程度均更好，這說明在擬合Hugoniot關系曲線時，將分段位置從d=0.1調整為d=0.06，不僅提高了Hugoniot關系曲線的擬合優(yōu)度，還使在此基礎上推出的等熵狀態(tài)方程更符合實際情況，因此應優(yōu)先選用式(8)給出的等熵狀態(tài)方程。

表1 炸藥爆轟產物等熵JWL狀態(tài)方程參數(shù)[8]Table 1 JWL parameter for explosives[8]

現(xiàn)比較分析式(8)給出的狀態(tài)方程與JWL狀態(tài)方程。可以看到，從總體上看，這2個狀態(tài)方程描述的等熵膨脹曲線符合較好，特別是在高壓階段(p/pCJ>0.06)，兩者基本重合。在低壓階段(p/pCJ≤0.06)特別是接近函數(shù)分段位置處存在一定差異，可能的原因是：(1)在擬合確定低壓階段爆轟產物Hugoniot經(jīng)驗關系時，采用的實驗數(shù)據(jù)樣本不足；(2)從在產物Hugoniot經(jīng)驗關系基礎上推出的新狀態(tài)方程形式上看，高壓段時，方程為指數(shù)函數(shù)形式(見式(8))，這與JWL狀態(tài)方程高壓階段起主要作用的方程形式類似(見式(10)等號右邊第1項)，而在低壓段時，方程為冪函數(shù)形式(見式(8))，而JWL狀態(tài)方程在這個壓力范圍內(對應于JWL方程的中壓段)起主要作用的方程形式為指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)之和的形式(見式(10)等號右邊第2和第3項)，依此可以判斷，采用的低壓段Hugoniot經(jīng)驗關系的函數(shù)形式可能不是很合理，需要進一步改進。

3 結 論

本文中基于擬合得到的爆轟產物Hugoniot經(jīng)驗關系，提出一種新的爆轟產物等熵狀態(tài)方程，該方程不包含需要實驗標定的經(jīng)驗參數(shù)，方程參數(shù)僅為炸藥的初始比容v0和爆轟產物C-J點狀態(tài)量，這些參數(shù)的測量實驗與傳統(tǒng)的經(jīng)驗爆轟產物等熵狀態(tài)方程參數(shù)的標定實驗相比，成本顯著降低；另外，由于不需要擬合方程經(jīng)驗參數(shù)，極大地節(jié)約了計算成本。

采用該狀態(tài)方程給出了Comp-B、HMX、PETN、ANFO、TNT以及LX-14炸藥的爆轟產物等熵膨脹曲線，與JWL狀態(tài)方程描述的等熵膨脹曲線進行比較，發(fā)現(xiàn)兩類曲線符合較好，尤其是在高壓階段，兩者高度重合。

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