被積函數(shù)是三角函數(shù)乘積的不定積分積分方法

【摘要】不定積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，不定積分的積分方法有直接積分、換元積分等。利用換元積分有時(shí)要先湊微分，然后再換元，但如何湊微分后換元更容易，其中需有一定的技巧，而且如何適當(dāng)?shù)剡x擇變量代換沒(méi)有一般規(guī)律可循。本文主要對(duì)被積分函數(shù)是三角函數(shù)乘積的不定積分進(jìn)行研究，得出一些規(guī)律性的結(jié)論作以總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】不定積分 換元積分 湊微分

【基金項(xiàng)目】陜西省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目（17JK0962）；陜西省職業(yè)技術(shù)教育學(xué)會(huì)2016年度教育科研規(guī)劃課項(xiàng)目（SZJY-1657）；商洛職業(yè)技術(shù)學(xué)院2017年度重大課題（2017JXKT06）。

【中圖分類(lèi)號(hào)】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）04-0137-02

不定積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，對(duì)于不定積分的積分直接利用基本積分表中的公式和不定積分的性質(zhì)，只能計(jì)算一些簡(jiǎn)單的不定積分，僅靠這些能夠計(jì)算的不定積分是非常有限的。換元積分法為比較復(fù)雜的不定積分提供了一種方法，它的基本思想是把復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反過(guò)來(lái)用于求不定積分。用這個(gè)方法，可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把某些不定積分化為基本積分表中所列積分的形式，從而可以求出不定積分。

換元積分法的第一類(lèi)是：

定理： 設(shè)f（u）是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)（u）是f（u）的一個(gè)原函數(shù)。又若u=φ（x）連續(xù)可微，并且復(fù)合運(yùn)算f[φ（x）]有意義，則

f[φ（x）]φ'（x）dx=f（u）du|u=φ（x）=F[φ（x）]+C

它的作用在于：當(dāng)所求不定積分的被積函數(shù)以復(fù)合函數(shù)形式出現(xiàn)時(shí)，如果能把被積表達(dá)式變?yōu)閒[φ（x）]φ'（x）dx的形式，而把φ'（x）dx湊成微分dφ（x），則通過(guò)變量代換：u=φ（x），可把原積分f[φ（x）]φ'（x）dx化為f[φ（x）]dφ（x）=f（u）du。只要f（u）du容易積出，或可以直接從基本積分公式求得，那么在求得的結(jié)果f（u）du=F（u）+c中，再以u(píng)=φ（x）代回還原到原積分變量x，便可得到所求原不定積分的結(jié)果。這種積分法的關(guān)鍵是把被積函數(shù)中的一部分與dx湊微分，使被積表達(dá)式變成f[φ（x）]dφ（x）的形式，從而可以尋找出所需作的變量代換：u=φ（x），因此，這類(lèi)換元積分法也稱(chēng)為湊微分法。

這種換元積分法在求不定積分中所起的作用，像復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在微分中一樣，在積分學(xué)中經(jīng)常使用。但利用它來(lái)求不定積分，一般卻比利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要來(lái)得困難，因?yàn)槠渲行枰欢ǖ募记?，而且如何適當(dāng)?shù)剡x擇變量代換u=φ（x）沒(méi)有一般規(guī)律可循。本文主要對(duì)被積分函數(shù)是三角函數(shù)乘積的不定積分進(jìn)行研究，得出一些規(guī)律性的結(jié)論作以總結(jié)。

一、計(jì)算型如sinmxcosnxdx（m，n為非負(fù)整數(shù)）的積分

（1）m和n中至少有一個(gè)為奇數(shù)

①當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，可用sinx與dx湊微分得sinxdx=-dcosx，從而可令u=cosx。

②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，可用cosx與dx湊微分得cosxdx=dsinx，從而可令u=sinx。

（2）m、n均為偶數(shù)，則可先用倍角公式降低冪的次數(shù)，即利用sin2x=（1-cos2x），cos2x=（1+cos2x）化成cos2x的多項(xiàng)式，然后再換元積分。

例 （1）sin4xdx=（1-cos2x）dx

=（1-2cos2x+cos22x）dx

=dx-2cos2xdx+（1+cos4x）dx

=x-sin2x++sin4x+C

例（2）cos3xdx=（1-sin2x）cosxdx

=x-sin2x+sin4x+C

cosxdx-sin2xdsinx=sinx-sin3x+C

二、計(jì)算型如tanmxsecnxdx或cotmxcscnxdx（m，n為非負(fù)整數(shù)）的積分

（1）當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，可把sec2xdx或csc2xdx分別湊成微分dtanx或d（-cotx）。

（2）當(dāng)m、n均為奇數(shù)，可把tanxsecxdx或cotxcscxdx分別湊成微分d（secx）或d（-cscx），從而化成冪函數(shù)的積分。

例1 求sec6xdx

解 sec6xdx=（sec2x）2sec2xdx=（1+tan2x）2d（tanx）

=（1+2tan2x+tan4x）d（tanx）

=tanx+tan3x+tan5x+C

例2 求tan5xsec3xdx

解tan5xsec3xdx=tan4xsec2xsecxtanxdx

=（sec2x-1）2sec2xd（secx）=（sec6x-2sec4x+sec2x）d（secx）

=sec7x-sec5x+sec3x+C

三、計(jì)算形如sinαxsinβxdx，cosαxsinβxdx和cosαx

cosβxdx的積分，可利用三角函數(shù)的積化和差公式

例（1）cosxcosxdx

=cos（1+）x+cos（1-x）dx

=++C

（2）cos2xsin3xdx=[sin（2+3）x-sin（3-2）x]dx

=sin5xdx-sinxdx=cosx-cos5x+C

第一換元積分法在求不定積分中起到了非常重要的作用。要能準(zhǔn)確而迅速地掌握這種積分方法，關(guān)鍵是要熟悉函數(shù)微分的運(yùn)算及其變形。只有通過(guò)多練才能“熟能生巧”，逐步掌握不同類(lèi)型積分的方法和技巧。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（六版）[M]北京：高等教育出版社，2013.

[2]崔宏志.高等數(shù)學(xué)[M] 北京：機(jī)械出版社，2013.

[3]黃煒.經(jīng)濟(jì)學(xué)[M] 北京：高等教育出版社，2011.

作者簡(jiǎn)介：

龔加安（1975-），男，陜西商州人，碩士，商洛職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，研究方向：不確定性推理和數(shù)學(xué)教育教學(xué)。