無限長直導(dǎo)線感生電動勢的簡便推導(dǎo)

姚關(guān)心 賈華鋒

摘 要：利用了初等數(shù)學(xué)和法拉第電磁感應(yīng)定律，推導(dǎo)出無限長直導(dǎo)線在穿過磁場和不穿過磁場兩種情況下的感生電動勢的統(tǒng)一表達(dá)式，并指明了感生電動勢方向的判斷方法。推導(dǎo)過程簡單，避免了高等數(shù)學(xué)中微積分的復(fù)雜運算。

關(guān)鍵詞：無限長直導(dǎo)線；電磁感應(yīng)定律；感生電動勢

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2018）2-0056-2

1 引 言

根據(jù)麥克斯韋電磁場理論，當(dāng)空間的磁場發(fā)生變化時，將在其周圍區(qū)域產(chǎn)生渦旋電場，該電場對放入其中的電荷有力的作用。因此，將導(dǎo)體放入該場中，導(dǎo)體中的電子會在渦旋電場的作用下定向移動，從而在導(dǎo)體的兩端產(chǎn)生感生電動勢。導(dǎo)體兩端的感生電動勢的求解是大學(xué)物理和中學(xué)物理教學(xué)中一項重要的研究內(nèi)容。由于產(chǎn)生感生電動勢的磁場通常分布在某一個特定區(qū)域，給我們計算導(dǎo)體兩端的感生電動勢帶來了困難。目前，對有限長的導(dǎo)體在一些規(guī)則的幾何外形的磁場中的感生電動勢的研究較多[1-5]，而對無限長的導(dǎo)體兩端電動勢的研究相對較少，其采用的是高等數(shù)學(xué)中微積分的方法[4]。論文將利用初等數(shù)學(xué)和法拉第電磁感應(yīng)定律方法，討論無限長直導(dǎo)線在任意形狀的磁場區(qū)域所產(chǎn)生的感生電動勢。

2 模 型

如圖1所示。磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向保持不變，大小以常數(shù)、大于零變化，無限長直導(dǎo)線垂直于磁場方向，求圖1中兩根無限長直導(dǎo)線的感生電動勢的大小。

3 解答過程

3.1 無限長直導(dǎo)線 l1 感生電動勢的推導(dǎo)

在圖1中無限長直導(dǎo)線l1的下方放置一根無限長直導(dǎo)線l3，l3∥l1，如圖2所示。

由初等數(shù)學(xué)可知，兩條平行線在無窮遠(yuǎn)處相交。 設(shè)交點分別為a、b兩點，則兩根相互平行的無限長直導(dǎo)線可以看成一個閉合回路L1。在回路L1區(qū)域內(nèi)沒有磁場，則磁通量的變化率為零。 用ε表示回路的感生電動勢，ε、ε分別表示無限長直導(dǎo)線l1、無限長直導(dǎo)線l3的感生電動勢，由法拉第電磁感應(yīng)定律，各個部分的電動勢之間的關(guān)系可寫為

ε=ε+ε=0（1）

由（1）式可得

|ε|=|ε|（2）

（2）式說明，在磁場外任何無線長直導(dǎo)線的感生電動勢的大小相等，與無限長直導(dǎo)線到磁場區(qū)域的距離無關(guān)。下面來求這感生電動勢的大小。

在圖1中磁場的上方放置一根無限長直導(dǎo)線l4，l4∥l1，如圖3所示。

同理，這樣的兩根相互平行的無限長直導(dǎo)線也可以看成一個閉合回路L2。我們?nèi)我庖?guī)定回路L2的繞行方向為如圖3所示的順時針方向，根據(jù)右手螺旋定則可知， 磁場區(qū)域的橫截面面積元的方向垂直于紙面向內(nèi)。在回路L2內(nèi)區(qū)域磁場做均勻變化，其變化率為。用ε表示回路的感生電動勢，ε、ε分別表示無限長直導(dǎo)線l1、無限長直導(dǎo)線l4的感生電動勢，由法拉第電磁感應(yīng)定律，各個部分的電動勢之間的關(guān)系可寫為

ε=ε+ε=S>0（3）

式中的S為磁場區(qū)域的橫截面積。

由于

|ε|=|ε|（4）

聯(lián)立（3）（4）兩式可得

ε=S（5）

其大小可表示為

|ε|=S（6）

由（5）式可以看出無限長直導(dǎo)線l1的感生電動勢大于零，其方向與回路繞行方向相同。 結(jié)合圖3與（5）式， 處于磁場外的無限長直導(dǎo)線的感生電動勢的方向與磁場方向滿足右手螺旋關(guān)系。若無限長直導(dǎo)線l1處在磁場區(qū)域的邊緣，同樣得出與上面相同的結(jié)論。

3.2 無限長直導(dǎo)線l2 感生電動勢的推導(dǎo)

設(shè)圖1磁場區(qū)域中無限長直導(dǎo)線 l2 上下方的橫截面積分別為S1、S2。無限長直導(dǎo)線l2 的感生電動勢可以看成上下兩個區(qū)域磁場變化產(chǎn)生的感生電動勢的代數(shù)疊加。根據(jù)3.1中的結(jié)論可知，無限長直導(dǎo)線 l2 上方區(qū)域的磁場變化產(chǎn)生的感生電動勢方向向左，下方區(qū)域磁場變化產(chǎn)生的感生電動勢方向向右，規(guī)定水平向左為正方向。總的感生電動勢可寫為

ε=（S1-S2）（7）

當(dāng)S1>S2時，ε>0，無限長直導(dǎo)線l2的感生電動勢方向向左，與S1面的磁場滿足右手螺旋關(guān)系。

當(dāng)S1

因此，無限長直導(dǎo)線l2的感生電動勢可表示如下

|ε|=ΔS（8）

式中的ΔS為磁場被無限長直導(dǎo)線分成的上下兩區(qū)域的橫截面積之差。 感生電動勢的方向與面積較大的部分的磁場滿足右手螺旋關(guān)系。

3.3 討論

通過對（6）和（8）兩式進(jìn)行比較和分析可知， 無限長直導(dǎo)線無論穿過磁場與否， 其產(chǎn)生的感生電動勢大小的表達(dá)式可統(tǒng)一寫成

|ε|=ΔS（9）

對于無限長直導(dǎo)線未穿過磁場區(qū)域， 可認(rèn)為該導(dǎo)線將磁場分成兩個部分， 其面積可看成S和0（S>0），ΔS可看成S，其大小僅與磁場區(qū)域橫截面的大小有關(guān)。

對于無限長直導(dǎo)線穿過磁場區(qū)域， 將磁場分成兩個部分， 其面積可看成為S1和S2，ΔS可看成S1-S2。其大小僅與這兩個部分的面積差的大小有關(guān)。

感生電動勢的方向均與面積較大的部分的磁場滿足右手螺旋關(guān)系。

4 結(jié) 論

論文中，利用了初等數(shù)學(xué)和法拉第電磁感應(yīng)定律等知識推導(dǎo)出無限長直導(dǎo)線在穿過磁場和不穿過磁場兩種情況下的感生電動勢統(tǒng)一表達(dá)式，并指明了感生電動勢方向的判斷方法。推導(dǎo)過程簡單，且避免了高等數(shù)學(xué)中微積分的復(fù)雜運算。

參考文獻(xiàn)：

[1]艾亮.再談部分電路的感生電動勢[J].物理通報，2017，36（08）：106-107.

[2]史博，張 輝，張連慶，等.關(guān)于感生電動勢計算問題的分析[J].物理通報，2017，36（8）：14-21.

[3]賈起民，鄭永令，陳暨耀.深刻理解法拉第電磁感應(yīng)定律[J].物理教學(xué)，2010（07）：17-19.

[4]黃章科，金春輝，穆成富，等.任意形狀磁場區(qū)域感生電動勢的研究[J].大學(xué)物理，2015（12）：45-49，60.

[5]董友軍.感生電動勢的理解與應(yīng)用[J].物理教學(xué)探討， 2015，33（8）：70-72.

（欄目編輯 羅琬華）