關(guān)注幾何證明，培養(yǎng)邏輯思維
——幾何證明中分析條件，研究求證，規(guī)范過程

馬 雯

（南京市棲霞區(qū)攝山初級(jí)中學(xué)，江蘇 南京）

一、幾何證明在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位

學(xué)生在小學(xué)就已經(jīng)初步接觸過幾何，到了初中階段，不僅要求學(xué)生進(jìn)一步掌握這些圖形的相關(guān)性質(zhì)，還要在概念與性質(zhì)基礎(chǔ)上進(jìn)行“推理與證明”。根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，7至9年級(jí)這一學(xué)段，“圖形與幾何”是非常重要的一部分，而其中的“推理與證明”更是數(shù)學(xué)的標(biāo)志性思維方式，學(xué)生在七年級(jí)就要開始培養(yǎng)“合情推理”的能力。

二、從“已知”到“求證”，再從“求證”到“已知”

1.對(duì)已知條件的充分分析，具備一定的“聯(lián)想發(fā)散”能力

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞的解題理論告訴我們——解題要做到“七分構(gòu)思（讀題，審題，發(fā)散，歸納），三分表述（書寫，運(yùn)算，訂正，反思與回顧）”。因此解題無外乎就是建立從已知到未知的橋梁，而這個(gè)橋梁必須承載著教材中的定理、定義以及公式，整個(gè)過程中最難的無外乎找對(duì)出路，正確搭橋。這就要求我們的學(xué)生掌握點(diǎn)對(duì)點(diǎn)之間聯(lián)系的能力，就是我們所謂的“聯(lián)想發(fā)散”。

如，我們?cè)谥v解“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”這一性質(zhì)時(shí)：

例 1.如圖 1，已知 OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，求證PA=PB

師：我們來分析一下，首先由第一個(gè)已知條件OP平分∠MON你能得到什么？

生：角之間的大小關(guān)系，∠MOP=∠NOP

師：那由第二個(gè)已知條件PA⊥OM，PB⊥ON，你又能得到什么？

生：∠PAO=∠PBO=90°

……

圖1

通過師生這樣的對(duì)話，在無形間引導(dǎo)學(xué)生的思維，學(xué)生能夠在教師的“問題”下慢慢形成思考問題、分析問題的一種模式，從而由表及里學(xué)會(huì)分析已知條件，挖掘更多隱藏的條件。

2.對(duì)求證內(nèi)容的精準(zhǔn)把握，具備一定的“逆向推導(dǎo)”能力

“證明”對(duì)學(xué)生來說應(yīng)該是比“推理”簡(jiǎn)單得多，因?yàn)橐笪覀冏C明的結(jié)論一定是正確的，這相當(dāng)于多給了我們一個(gè)已知條件，有的時(shí)候我們從“已知”到“求證”較為困難的時(shí)候，不妨可以調(diào)換順序，從“求證”出發(fā)，依據(jù)數(shù)學(xué)中的定義、定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一步一步向已知條件“倒推”，直至最后能夠聯(lián)系到一個(gè)給出的已知條件。

例 2.如圖 2，已知∠1＝52°，∠2＝128°，∠C＝∠D，求證∠A=∠F。

師：本題中我們要證明∠A=∠F，也就是要證明什么？

生：AC∥DF。

師：那證明兩直線平行，我們一般是通過什么？

生：角之間的相互關(guān)系。

師：那證明∠C+∠DEC=180°就是證明什么？

生：∠D+∠DEC=180°（等量代換）

師：已知條件中有嗎？沒有的話，如何繼續(xù)轉(zhuǎn)化？

生：也就是證明BD∥CE。

師：也就是證明什么？

生：∠1+∠2=180°

……

圖2

本題中在面臨第二次由AC∥DF轉(zhuǎn)化到∠C+∠DEC=180°的時(shí)候，由于本題中還存在內(nèi)錯(cuò)角，可能不少學(xué)生會(huì)轉(zhuǎn)化成∠ABD=∠D或者∠C=∠CEF，這種轉(zhuǎn)化當(dāng)然也是可以的。不過不少題目中，如果你轉(zhuǎn)化時(shí)，“選擇”不恰當(dāng)，會(huì)多走彎路，甚至走進(jìn)死胡同。因此我們?cè)谵D(zhuǎn)化時(shí)有一個(gè)原則——盡量向已知靠攏，這樣才能盡快地轉(zhuǎn)化到最終的已知條件。

這種“逆向推導(dǎo)”能力非常符合我們數(shù)學(xué)最近比較流行的“需求理論”，從我所需求的出發(fā)，將未知一步步向已知靠攏，最后能得到一個(gè)已知的條件或已知條件的推論。

3.規(guī)范解題，具備幾何證明的“邏輯性”

即便掌握了已知與求證的雙向關(guān)系，不少學(xué)生還是拿不到滿分。是不是課堂上我們演示出一個(gè)規(guī)范的解題過程就夠了呢？當(dāng)然，我們不能否認(rèn)一個(gè)規(guī)范的演示過程對(duì)學(xué)生發(fā)揮著一定的作用，學(xué)生在不太了解證明的時(shí)候，一開始只能“依葫蘆畫瓢”，但可惜模仿跟理解之間的差距還是很大的，因?yàn)樗麄兏揪筒恢朗裁词墙忸}的規(guī)范性，什么是“因?yàn)椤迸c“所以”之間的邏輯性。關(guān)于邏輯性是否斷開的問題，我們可以以下面這個(gè)學(xué)生對(duì)例2的部分證明過程為例。

生：∵∠1＝52°，∠2＝128°（已知）

∴BD∥CE（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）不少教師簡(jiǎn)單地認(rèn)為這一學(xué)生的解題過程錯(cuò)在“跳步驟”，而筆者認(rèn)為“因?yàn)樗浴敝g缺乏邏輯性，錯(cuò)在學(xué)生不理解什么是“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”。

既然平行是通過兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系得到的，我們就必須呈現(xiàn)這兩個(gè)角的關(guān)系，而不是僅僅呈現(xiàn)這兩個(gè)角的大小。

應(yīng)改為：∵∠1＝52°，∠2＝128°（已知）

∴∠1+∠2=180°

∴BD∥CE（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

“證明”作為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要里程碑，是基礎(chǔ)的又是重要的，基礎(chǔ)在于我們必須掌握這個(gè)技巧，才能達(dá)到解題的目的。而重要體現(xiàn)在它不僅要求我們規(guī)范解題，還提供了我們很多數(shù)學(xué)的思想方法，讓我們提升了自我的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，從中體會(huì)到數(shù)學(xué)之美。