傳熱學(xué)一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)容分解

吳春梅 李友榮

摘 要：基于傳熱學(xué)的分級教學(xué)理論，提出了分級教學(xué)中一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱教學(xué)內(nèi)容的分解原則，即在初級層次教學(xué)中主要講授一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱海斯勒圖的構(gòu)成及其應(yīng)用，在專門層次教學(xué)中主要講授求解一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的近似計(jì)算公式;同時，以典型的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程為例對此進(jìn)行了詳細(xì)的闡述。多年的教學(xué)實(shí)踐表明，這種非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱教學(xué)內(nèi)容的分解方法可以滿足工科類不同專業(yè)、不同層次的教學(xué)需求。

關(guān)鍵詞：傳熱學(xué); 分級教學(xué); 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱; 教學(xué)內(nèi)容

中圖分類號：G64 ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ?文章編號：1006-3315（2021）11-156-002

傳熱學(xué)是研究熱量傳遞規(guī)律的科學(xué)，它幾乎涉及到所有的工程技術(shù)領(lǐng)域，特別是在能源、化工、冶金、建筑、航空航天、交通運(yùn)輸和生物技術(shù)等領(lǐng)域更是有著廣泛的應(yīng)用^[1-2]，因此，在高等學(xué)校的很多工科專業(yè)，都開設(shè)有傳熱學(xué)或熱工基礎(chǔ)課程，各高校都對傳熱學(xué)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法進(jìn)行了很多有益的探索^[3-6]。但是，由于不同專業(yè)所面對的工程問題不同，對所要求的傳熱學(xué)知識也有所側(cè)重^[7-9]，因此，我們提出了傳熱學(xué)分級教學(xué)的理論^[10]。

在針對本科生的傳熱學(xué)分級教學(xué)中，將傳熱學(xué)分成了傳熱學(xué)Ⅰ和傳熱學(xué)Ⅱ兩部分，其中，傳熱學(xué)Ⅰ面向全校本科相關(guān)工科專業(yè)學(xué)生，主要目的是使學(xué)生通過學(xué)習(xí)獲得必要的熱量傳遞的基本理論、基本知識和基本技能，以及傳熱計(jì)算的基本方法，同時培養(yǎng)學(xué)生分析和解決實(shí)際傳熱問題的能力，為學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和獨(dú)立解決本專業(yè)所遇到的熱工問題打下必要的基礎(chǔ)。傳熱學(xué)Ⅱ主要面向?qū)鳠釋W(xué)有更高要求的專業(yè)，目的是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析和解決與專業(yè)背景相關(guān)的實(shí)際傳熱問題的能力，為學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和從事相關(guān)專業(yè)技術(shù)工作打下必要的基礎(chǔ)。傳熱學(xué)分級教學(xué)既保證了全校性熱工基礎(chǔ)類課程的普遍性，又滿足了不同專業(yè)進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)傳熱學(xué)知識的特殊性，有效地利用了資源。

在傳熱學(xué)的分級教學(xué)中，教學(xué)內(nèi)容的分解與取舍是至關(guān)重要的，它直接影響著分級教學(xué)的成敗。一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱是一種最常見的傳熱現(xiàn)象，求解一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的理論方法是分離變量法，得到的溫度分布是一個無窮級數(shù)，不便于工程計(jì)算，因此，在理論分析解的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了各種解的簡化近似表達(dá)方式。本文基于傳熱學(xué)分級教學(xué)理論，提出了分級教學(xué)中一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱教學(xué)內(nèi)容的分解原則。

一、一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱教學(xué)內(nèi)容分解原則

在導(dǎo)熱問題中，如果溫度場不隨時間發(fā)生變化，稱之為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，反之，如果溫度場隨時間不斷變化，則為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程可以分為兩個階段，第一階段是過程開始后的一段時間，稱為非正規(guī)狀況階段，其特點(diǎn)是溫度變化從導(dǎo)熱體的表面逐漸深入到物體內(nèi)部，物體內(nèi)各點(diǎn)的溫度隨時間的變化率各不相同，溫度分布主要受初始溫度分布的影響;隨著導(dǎo)熱過程的不斷進(jìn)行，初始溫度分布的影響逐漸消失，進(jìn)入到過程的第二階段，即正規(guī)狀況階段，此時，物體內(nèi)的溫度分布主要受熱邊界條件的影響。

在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中，根據(jù)溫度隨空間的變化規(guī)律不同，又可分為一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱、二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱和三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，其中，二維和三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱統(tǒng)稱為多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。因此，在傳統(tǒng)的傳熱學(xué)教學(xué)中，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱教學(xué)內(nèi)容主要包括三部分，即不考慮溫度空間變化的集總參數(shù)系統(tǒng)、一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱和多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。在分級教學(xué)中，可以將集總參數(shù)系統(tǒng)的教學(xué)歸于傳熱學(xué)Ⅰ中，而將多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的乘積解法歸于傳熱學(xué)Ⅱ中。然而，由于一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的教學(xué)內(nèi)容較多，解的表達(dá)形式也有多種，理解的難度差異也較大，因此，必須要在傳熱學(xué)Ⅰ和傳熱學(xué)Ⅱ的教學(xué)中對一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理的分解。

本科學(xué)生在開始傳熱學(xué)Ⅰ的學(xué)習(xí)時，僅具備了普通物理、工程熱力學(xué)和工程流體力學(xué)等方面的基本知識，因此，傳熱學(xué)Ⅰ中關(guān)于一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱教學(xué)內(nèi)容的選擇應(yīng)遵循淺顯易懂、便于理解的原則;在學(xué)習(xí)傳熱學(xué)Ⅱ時，學(xué)生已掌握了傳熱學(xué)的基本概念及基本定律，因此，關(guān)于一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱教學(xué)內(nèi)容的選擇應(yīng)遵循精確計(jì)算、簡便實(shí)用的原則。

二、海斯勒圖的構(gòu)成及應(yīng)用

在傳熱學(xué)Ⅰ中，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的教學(xué)總是從集總參數(shù)系統(tǒng)開始的^[11]。假設(shè)某物體的體積為V、表面積為A，初始溫度為t₀。在初始時刻，將該物體置于溫度為t_∞的流體介質(zhì)中冷卻，已知物體表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h，物性為常數(shù)，且物體內(nèi)部熱阻可忽略不計(jì)，則物體的溫度僅隨時間變化。在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱集總參數(shù)系統(tǒng)的教學(xué)中，必須要反復(fù)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，當(dāng)忽略內(nèi)阻時物體的無因次溫度Θ=θ/θ₀僅與兩個無因次參數(shù)Bi數(shù)和Fo數(shù)有關(guān)。

對一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題而言，與集總參數(shù)系統(tǒng)最大的不同是物體內(nèi)部的溫度還隨一個方向的空間位置發(fā)生變化。例如，對于一塊厚度為2δ的大平板，設(shè)其初始溫度為t₀，在初始瞬間將其置于溫度為t_∞的流體中冷卻，平板兩側(cè)表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)都為h，因此，平板內(nèi)部的溫度是關(guān)于平板中心對稱的，為此，將x軸的原點(diǎn)置于大平板的中心處，并定義無因次坐標(biāo)η=x/δ，則大平板內(nèi)的無因次溫度分布一定只與三個無因次參數(shù)相關(guān)。

上述溫度分布函數(shù)可以通過分離變量法對大平板內(nèi)一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱理論模型求解獲得。但是，在傳熱學(xué)Ⅰ的教學(xué)中，不涉及到復(fù)雜的求解過程，只專注于解的圖示表述，即海斯勒圖的構(gòu)成與應(yīng)用。

由于溫度變化規(guī)律是三個無因次參數(shù)的函數(shù)，不可能在一個平面圖上表述包含三個變量的函數(shù)關(guān)系。但是，通過對用分離變量法得到的解的計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)Fo>0.2后，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程進(jìn)入到正規(guī)狀況階段，此時，平板內(nèi)任意點(diǎn)處的過余溫度與平板中心處的過余溫度θm之比與Fo數(shù)無關(guān)，因此，可以將無因次溫度分解，這樣θ/θ_m和θ_m/θ₀就都只與兩個變量有關(guān)，可以在平面圖上表示。因此，用分離變量法得到的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解就可以用關(guān)于θ/θ_m和θ_m/θ₀的兩組線圖來表示，這些線圖就稱為海斯勒圖。

三、一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的近似公式

當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)了傳熱學(xué)Ⅰ、了解了海斯勒圖的構(gòu)成后，自然會產(chǎn)生這樣的疑問：由于查海斯勒圖時誤差較大，因此，是否存在便于計(jì)算、精度較高的公式呢？回答是肯定的，這就是一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的近似公式，它是傳熱學(xué)Ⅱ中非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的主要教學(xué)內(nèi)容，包括用分離變量法求解一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的過程、解的近似方法以及擬合公式等。

為了與傳熱學(xué)Ⅰ的教學(xué)內(nèi)容相銜接，仍以大平板內(nèi)的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程為例^[12]，在教學(xué)過程中，重點(diǎn)是分離變量法求解一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的基本思想：即將溫度隨時間和空間的變化規(guī)律分離成兩個分別隨時間和空間變化的單元函數(shù)的乘積，然后代入導(dǎo)熱微分方程得到關(guān)于這兩個單元函數(shù)的常微分方程后分別進(jìn)行求解。將求得的兩個單元函數(shù)按照分離變量的形式相乘、并疊加起來，最后利用初始條件就可得到溫度分布。對于大平板內(nèi)的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程而言，無因次溫度分布的解析解為一無窮級數(shù)之和，且只與三個無因次參數(shù)，即Fo數(shù)、Bi數(shù)和無因次距離η有關(guān)。

總之，在關(guān)于一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的教學(xué)內(nèi)容安排上，應(yīng)該重點(diǎn)針對大平板內(nèi)的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，使學(xué)生了解用分離變量法求解的過程以及近似公式獲取的方法，并要求學(xué)生針對具體的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題計(jì)算級數(shù)解中每一項(xiàng)的相對大小，以便加深對近似公式的理解。另一方面，也可要求學(xué)生對同一非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題分別用海斯勒圖和近似公式求解，并對結(jié)果進(jìn)行分析比較，促使學(xué)生更進(jìn)一步的思考。

四、結(jié)束語

由于傳熱學(xué)廣闊的工程應(yīng)用，本文提出的傳熱學(xué)一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱教學(xué)內(nèi)容的分解原則是行之有效的，即在傳熱學(xué)Ⅰ中主要講授一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱海斯勒圖的構(gòu)成及其應(yīng)用，在傳熱學(xué)Ⅱ中主要講授一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的近似計(jì)算公式。這種非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱教學(xué)內(nèi)容的分解方法不僅可以加深學(xué)生對一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且可以滿足工科類不同專業(yè)的教學(xué)需求。

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作者簡介：吳春梅，1987年生，女，教授，主要從事傳熱傳質(zhì)學(xué)方面的教學(xué)和研究工作。