改進小波閾值函數(shù)的HRG振動信號去噪研究*

譚紀文,汪立新,周小剛,李卓

(火箭軍工程大學 控制科學與工程系,陜西 西安 710025)

0 引言

慣性導航系統(tǒng)是一種具有極強穩(wěn)定性的導航任務裝置，它可以實現(xiàn)自主導航，不受外界電磁環(huán)境干擾以及氣象條件制約，在長時間運行的飛行器中應用較多[1-2]。在靜態(tài)環(huán)境測試中，慣性導航裝置具有很高的導航精度，但是在振動環(huán)境下，如在導彈發(fā)射的瞬間，慣性器件會受到嚴重的振動干擾，輸出大量的噪聲信號，嚴重影響到導航精度[3-5]。因此，本文針對慣性導航系統(tǒng)的主要慣性器件半球諧振陀螺儀(hemispherical resonator gyro,HRG)振動信號的去噪進行了相關研究，以提高慣性導航系統(tǒng)在振動環(huán)境下的導航精度。

D.L.Donoho和I.M.Johnstone提出了多分辨分析的小波閾值去噪算法，根據(jù)噪聲和信號的小波系數(shù)在不同的尺度上具有不同的表現(xiàn)性的特點，通過小波基函數(shù)將含噪信號進行分解，使信號和噪聲盡可能地分離，然后根據(jù)設定的閾值，將噪聲去除[6-7]。最后利用小波逆變換，得到去噪后的信號。閾值函數(shù)是信號重構的橋梁，閾值函數(shù)的選擇直接影響到去噪的效果，本文針對閾值函數(shù)的構造進行了重點研究。

1 小波閾值去噪基本原理

小波閾值去噪的基本原理是：設置一個噪聲和信號的小波系數(shù)閾值(臨界值)λ，把分解在各尺度下的小波系數(shù)依次與λ進行比較；若小波系數(shù)大于λ，則認為這部分小波系數(shù)是由信號產(chǎn)生，予以保留；若小波系數(shù)小于λ，則認為這部分小波系數(shù)是由噪聲產(chǎn)生，通過閾值函數(shù)予以去除；最后將處理后的小波系數(shù)重構得到去噪后的信號[8-9]。具體流程如圖1所示。

圖1 小波閾值去噪流程圖
Fig.1 Flow chart of wavelet threshold de-noising

2 閾值函數(shù)研究

閾值函數(shù)是影響小波閾值去噪效果的一個重要因素。目前，較為經(jīng)典閾值函數(shù)有2種：硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。硬閾值函數(shù)把絕對值小于閾值λ的小波系數(shù)全部置0，把大于閾值λ的小波系數(shù)全部保留，不予作任何處理。硬閾值函數(shù)如式(1)所示。

(1)

硬閾值函數(shù)認為小于閾值λ的小波系數(shù)全部由噪聲產(chǎn)生，大于閾值λ的小波系數(shù)全部由有用信號產(chǎn)生，硬閾值函數(shù)對小波系數(shù)的處理方式，能夠?qū)⒃肼曒^好地去除，但是這樣會使得小波系數(shù)產(chǎn)生間斷，在去除噪聲的同時又引進了新的波動，并沒有完全達到信號去噪的效果。

軟閾值函數(shù)同樣是把小波系數(shù)同閾值λ作比較，將小于λ的小波系數(shù)置0，將大于λ的小波系數(shù)同λ作差，使其向0收縮。軟閾值函數(shù)在一定程度上解決了硬閾值函數(shù)去噪后波動大的問題，經(jīng)軟閾值函數(shù)去噪后，重構信號的連續(xù)性得到改善，但是去噪后的小波系數(shù)同原信號小波系數(shù)有固定的偏差，并且將大于閾值的小波系數(shù)進行定值壓縮同噪聲隨小波系數(shù)增大而減小的事實相矛盾[10-12]，造成重構信號失真。軟閾值函數(shù)如式(2)所示。

(2)

硬閾值函數(shù)在去除噪聲的同時，使得重構信號產(chǎn)生間斷，引入了新的波動；軟閾值函數(shù)雖然解決了硬閾值函數(shù)去噪后波動性大的問題，但使得重構信號產(chǎn)生失真。因此，硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)在進行去噪時，都存在一定的缺陷。

針對硬閾值函數(shù)以及軟閾值函數(shù)在去噪中的不足，Breiman提出了Garrote閾值[13-14]，如式(3)所示。

(3)

Garrote閾值具有較好的連續(xù)性，在|wf(j,k)|=λ處連續(xù)，克服了硬閾值函數(shù)的不足，并在一定程度上解決了軟閾值函數(shù)存在固定偏差的問題。

針對硬閾值函數(shù)以及軟閾值函數(shù)在去噪中的不足，本文也進行了改進，提出了一種軟硬聯(lián)合的閾值函數(shù)，如式(4)所示。

(4)

式中:wf(j,k)為j尺度下的小波系數(shù);λ為閾值;β為可調(diào)參數(shù)。

Garrote閾值函數(shù)以及本文改進閾值函數(shù)都解決了硬閾值函數(shù)以及軟閾值函數(shù)的不足，接下來將進行實驗驗證，并重點對比Garrote閾值函數(shù)以及本文閾值函數(shù)的去噪效果。

3 實驗校驗

本節(jié)將對以上提到的4種閾值函數(shù)進行去噪分析，對比驗證本文改進閾值函數(shù)的去噪效果。在進行去噪之前，還必須確定噪聲小波系數(shù)和信號小波系數(shù)的分界點——閾值，在閾值的選取上，這里采用最為經(jīng)典的Donoho閾值，如式(5)所示。

(5)

式中：T為閾值即噪聲小波系數(shù)和信號小波系數(shù)的分界值；N為噪聲信號長度；σ為噪聲標準差。

3.1 仿真校驗

通過Matlab產(chǎn)生heavy sine信號，并加以均值為0，方差為4的高斯白噪聲，如圖2所示。

圖2 heavy sine及其染噪信號Fig.2 Heavy sine and its noise signal

下面，對圖2染噪信號進行小波去噪處理：

Step 1：采用‘db4’小波基函數(shù)將heavy sine染噪信號進行分解，根據(jù)頻率成分分解為4層。

Step 2：對分解在高頻的小波系數(shù)與Donoho閾值進行比較，分別使用軟閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)、Garrote閾值函數(shù)以及本文改進的閾值函數(shù)對小波系數(shù)進行處理。

Step 3：將處理后的小波系數(shù)進行重構獲得去噪后的信號。4種閾值函數(shù)去噪后的效果如圖3～6所示。

圖3 硬閾值函數(shù)去噪Fig.3 Hard threshold function de-noising

圖4 軟閾值函數(shù)去噪Fig.4 Soft threshold function de-noising

圖5 Garrote閾值函數(shù)去噪Fig.5 Garrote threshold function de-noising

圖6 本文改進閾值函數(shù)去噪Fig.6 Improved threshold function de-noising

從圖3～6中可以發(fā)現(xiàn)，噪聲信號經(jīng)過硬閾值函數(shù)去噪處理后，信號抖動依然較大，在去除噪聲的同時又引入了新的波動，并沒有真正實現(xiàn)去除噪聲的意義；噪聲信號經(jīng)過軟閾值函數(shù)去噪處理后，信號雖然比較光滑，但是去噪后的信號總是和原信號存在固定偏差，失真比較嚴重；通過本文改進的閾值函數(shù)去噪處理后，信號不但抖動明顯降低，而且和原信號更加地貼合，明顯優(yōu)于硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)的去噪效果。

利用信噪比和均方差[15]，對去噪信號進行量化。信噪比與均方根分別定義如式(6)，(7)所示。

(6)

(7)

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)，從信噪比角度分析，本文閾值函數(shù)去噪信號的信噪比同硬閾值函數(shù)去噪信號相比提高了35.59%，同軟閾值函數(shù)去噪信號相比提高了44.97%，同Garrote閾值函數(shù)去噪信號相比提高了7.07%；從均方根角度分析，本文閾值函數(shù)去噪信號的均方根同硬閾值函數(shù)去噪信號相比下降了37.16%，同軟閾值函數(shù)去噪信號相比下降了43.62%，同Garrote閾值函數(shù)去噪信號相比下降了12.30%。通過以上分析，充分證明了本文閾值函數(shù)在去噪中的有效性和優(yōu)越性。

3.2 HRG實測數(shù)據(jù)校驗

通過以上仿真數(shù)據(jù)分析可以看出，Garrote閾值函數(shù)和本文閾值函數(shù)在去噪效果上都明顯優(yōu)于硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)，本文閾值函數(shù)相比Garrote閾值函數(shù)去噪效果也有了進一步改善。為了更加進一步比較Garrote閾值函數(shù)和本文閾值函數(shù)去噪效果，下面通過HRG實測振動數(shù)據(jù)作進一步分析。圖7為HRG隨機振動試驗實測信號，信號共采集5 000 s，采樣頻率為100 Hz。使用Garrote閾值函數(shù)對圖7信號進行去噪，共耗時9.88 s，即每處理一個數(shù)據(jù)需消耗0.19 ms；采用本文改進的閾值函數(shù)對圖7信號進行去噪，共耗時10.52 s，即每處理一個數(shù)據(jù)需消耗0.21 ms，本文改進的閾值函數(shù)在處理速度上雖略低于Garrote閾值函數(shù)，但是完全可以滿足實時濾波過程中實時性要求。2種閾值函數(shù)的去噪效果分別如圖8和圖9所示。

表1 4種閾值函數(shù)去噪后信噪比與均方差對比

Table 1 Comparison of signal noise ratio and root mean square

去噪方式SNR/dBRMS硬閾值函數(shù)去噪21.0651.055軟閾值函數(shù)去噪19.7011.176Garrote函數(shù)去噪26.6750.756改進閾值函數(shù)去噪28.5610.663

圖7 HRG振動輸出信號Fig.7 HRG vibration output signal

從圖8和圖9中可以看出，在相同的Donoho閾值條件下，本文閾值函數(shù)去噪效果更加優(yōu)于Garrote閾值去噪效果。

對于HRG輸出信號，因無法將噪聲和有用信號準確分離，難以準確求取去噪后信號的信噪比與均方根，故通常通過對比去噪前后信號的隨機誤差項系數(shù)，來表征去噪效果。信號隨機誤差項主要有：量化噪聲(Q)、角度隨機游走(A)、零偏穩(wěn)定性(B)、角速率隨機游走(K)、速率斜坡(R)。各隨機誤差項分布在不同的頻率，通常認為它們是互相獨立的，可以通過Allan方差以不同的相關時間對這5項系數(shù)進行辨識。Allan方差可以表示為各類誤差的方差和，如式(8)所示[16-17]。

圖8 Garrote閾值函數(shù)去噪Fig.8 Garrote threshold function de-noising

圖9 本文改進閾值函數(shù)去噪Fig.9 Improved threshold function de-noising

(8)

對去噪后的信號，進行Allan方差計算，通過最小二乘法以式(8)模型，對Allan標準差進行擬合，得出各隨機誤差項系數(shù),如表2所示。

從表2數(shù)據(jù)中可以看出，經(jīng)過以上2種方法去噪后，HRG信號的隨機誤差系數(shù)都得到明顯降低，而使用本文改進的閾值函數(shù)去噪后，隨機誤差項系數(shù)下降更為明顯。因此，從實測數(shù)據(jù)中同樣證明了本文閾值函數(shù)在去噪效果上更加優(yōu)于Garrote閾值函數(shù)。

表2 去噪信號隨機誤差項系數(shù)對比

4 結(jié)束語

本文根據(jù)硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)在小波閾值去噪中各自優(yōu)點和不足，研究得到了一種軟硬聯(lián)合的閾值函數(shù)。經(jīng)過仿真數(shù)據(jù)校驗和HRG實測振動數(shù)據(jù)校驗，都證明了本文改進閾值函數(shù)的有效性和優(yōu)越性。

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