基于線性錐規(guī)劃的風(fēng)電最優(yōu)潮流研究*

薛琢成，楊冰芳(上海理工大學(xué) 電氣工程系，上海 200093)

0 引 言

近年來，我國風(fēng)電裝機(jī)容量連續(xù)4年位居世界第一[1-2]。因風(fēng)力資源的間歇性和波動(dòng)性，對(duì)于風(fēng)力發(fā)電，風(fēng)速的不確定性會(huì)對(duì)電網(wǎng)潮流帶來較大沖擊，所以探討風(fēng)電并網(wǎng)對(duì)電網(wǎng)最優(yōu)潮流的影響具有重要意義。

目前，最優(yōu)潮流優(yōu)化方法大致分為經(jīng)典算法和智能算法兩大類。經(jīng)典算法主要包括：牛頓法和簡化梯度法[3-4]。隨著人工智能和機(jī)器學(xué)習(xí)的興起和不斷改進(jìn)，智能算法逐步應(yīng)用到電力系統(tǒng)中，智能算法主要包括：群類優(yōu)化算法以及遺傳算法等[5-6]。文獻(xiàn)[7]在風(fēng)電場(chǎng)最優(yōu)潮流模型中，以電壓波動(dòng)和網(wǎng)損最小為目標(biāo)，利用改進(jìn)粒子群算法求解，大幅降低了網(wǎng)損和電壓越界的可能性；文獻(xiàn)[8]通過簡化異步風(fēng)電機(jī)等效穩(wěn)態(tài)模型，利用混沌優(yōu)化方法計(jì)算風(fēng)電場(chǎng)最優(yōu)潮流，得到了更為精確的結(jié)果；文獻(xiàn)[9]指出傳統(tǒng)優(yōu)化算法存在局限性，在數(shù)學(xué)上不能嚴(yán)格證明求解結(jié)果一定是原問題的最優(yōu)解，求解過程容易陷入局部最優(yōu)。隨著凸優(yōu)化理論的發(fā)展，其具有全局最優(yōu)的特性給研究帶來了新方向，其關(guān)鍵之處是通過松弛方法處理，將最優(yōu)潮流的非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問題。最為常用的松弛方法包括半定規(guī)劃(SDP)和二階錐規(guī)劃[10-13]。

本研究考慮風(fēng)電出力隨機(jī)特性建立風(fēng)電最優(yōu)潮流模型，在潮流計(jì)算中將風(fēng)電場(chǎng)出力從PQ節(jié)點(diǎn)注入[14]，其有功功率即為機(jī)械功率，與風(fēng)速變化有直接關(guān)系，利用Weibull分布生成隨機(jī)風(fēng)速，計(jì)算風(fēng)電場(chǎng)的有功和無功功率[15]。

1 風(fēng)電場(chǎng)數(shù)學(xué)模型

1.1 風(fēng)機(jī)穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型

簡化后的等值電路如圖1所示。

圖1 異步電機(jī)簡化等值電路x1—定子電抗；r2/s—轉(zhuǎn)子折算后的電阻，s<0；x2—轉(zhuǎn)子折算后的電抗；xm—?jiǎng)?lì)磁阻抗；U—異步電機(jī)端電壓；I—異步電機(jī)電流值

則風(fēng)機(jī)輸入電力網(wǎng)絡(luò)的有功功率Pe為：

(1)

其中，xk=x1+x2。

由此可得，發(fā)電機(jī)滑差為：

(2)

其吸收的無功功率為：

(3)

1.2 風(fēng)速模型及風(fēng)電場(chǎng)輸出功率模型

大量研究表明，風(fēng)電場(chǎng)的風(fēng)速模型近似服從韋伯(Weibull)分布。設(shè)某一已知電力系統(tǒng)的風(fēng)電場(chǎng)，其風(fēng)速為v，則該風(fēng)速的概率密度函數(shù)表達(dá)式為：

(4)

其數(shù)學(xué)期望和方差分別為：

(5)

式中：C—尺度參數(shù)，其值即為該風(fēng)電場(chǎng)的風(fēng)速的期望值；K—形狀參數(shù)，反映Weibull分布的偏斜度；Γ—Gamma函數(shù)。

這兩個(gè)參數(shù)的精度影響風(fēng)速分布的精度，其中K的近似值可由實(shí)際風(fēng)電場(chǎng)測(cè)風(fēng)所得到數(shù)據(jù)得到。

對(duì)于小規(guī)模的分布式風(fēng)電場(chǎng)，可以認(rèn)為該風(fēng)電場(chǎng)內(nèi)的所有風(fēng)機(jī)受風(fēng)速影響相同，因此其出力可以表示為：

(6)

(7)

式中：PW—單臺(tái)風(fēng)機(jī)出力；Pr—風(fēng)輪輸出額定功率；Cp—風(fēng)輪的功率系數(shù)；A—風(fēng)輪掃掠面積；ρ—空氣密度；v—風(fēng)速；vci—切入風(fēng)速；vr—額定風(fēng)速；vco—切出風(fēng)速；k1和k2—風(fēng)速在(vci，vr)區(qū)間內(nèi)風(fēng)機(jī)出力曲線參數(shù)，共同決定了風(fēng)機(jī)出力的大小。

故節(jié)點(diǎn)i風(fēng)電場(chǎng)的輸出總功率為：

PWi=NWiPW

(8)

式中：NWi—節(jié)點(diǎn)i所接風(fēng)電場(chǎng)裝機(jī)的總臺(tái)數(shù)。

假定每臺(tái)風(fēng)機(jī)以恒定功率因數(shù)運(yùn)行，則節(jié)點(diǎn)i風(fēng)機(jī)吸收無功總量為：

QWi=PWitanθi

(9)

式中：θi—節(jié)點(diǎn)i風(fēng)電場(chǎng)的功率因數(shù)角。

2 風(fēng)電最優(yōu)潮流模型

最優(yōu)潮流就是當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及負(fù)荷情況給定時(shí)，通過控制變量的優(yōu)選，使得找到的系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)能滿足所有指定的約束條件，并能使系統(tǒng)的某一個(gè)性能指標(biāo)或者目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)時(shí)的潮流分布，即：

(10)

2.1 目標(biāo)函數(shù)

發(fā)電成本只為常規(guī)機(jī)組燃料消耗：

(11)

式中：f—系統(tǒng)總發(fā)電成本；ai，bi，ci—每臺(tái)發(fā)電機(jī)對(duì)應(yīng)的經(jīng)濟(jì)參數(shù)；NG—系統(tǒng)發(fā)電機(jī)數(shù)；PGi—每臺(tái)發(fā)電機(jī)的出力。

2.2 功率平衡約束

正常工作狀態(tài)下系統(tǒng)的功率平衡方程為：

(12)

2.3 安全運(yùn)行約束

(13)

3 二階錐規(guī)劃模型

3.1 二階錐標(biāo)準(zhǔn)型

SOCP具備錐規(guī)劃的所有特性。二階錐規(guī)劃是在一個(gè)仿射空間和有限個(gè)二階錐笛卡爾積的交集上求一個(gè)線性函數(shù)極值的問題。其目標(biāo)函數(shù)須為線性，可行域由線性等式或線性不等式約束與旋轉(zhuǎn)錐或二階錐不等式約束組成[16]，標(biāo)準(zhǔn)形式為：

ming(x)
s.t.Ax=b,x∈C

(14)

式中：g(x)—目標(biāo)函數(shù)；Ax=b—線性約束，A∈Rn,x∈Rn×m,b∈Rm；C—二階錐約束。

錐規(guī)劃的基本形式有二階錐和旋轉(zhuǎn)二階錐兩種：

(15)

錐規(guī)劃作為線性規(guī)劃的推廣，是半定規(guī)劃的特例，屬于凸規(guī)劃的一種，在數(shù)學(xué)上能嚴(yán)格證明具有全局最優(yōu)解，而不會(huì)陷入局部最優(yōu)中。利用相關(guān)數(shù)學(xué)求解器(如CPLEX、YALMIP)求解，可以進(jìn)一步提升計(jì)算效率。

3.2 二階錐變換

目標(biāo)函數(shù)中帶有二次項(xiàng)，不滿足二階錐規(guī)劃形式，故做以下變換:

(16)

式中：εi—引入的中間啞變量[17]；E—單位矩陣，把原模型轉(zhuǎn)化為二階錐模型求解。

本研究交流潮流中的約束大多為非線性和非凸性，增大了求解難度。因此通過加入中間變量，轉(zhuǎn)化為二階錐形式，成為凸規(guī)劃問題?，F(xiàn)進(jìn)行如下變換，設(shè)：

(17)

則原先潮流中功率平衡約束條件變?yōu)椋?/p>

(18)

安全運(yùn)行約束中非線性約束變?yōu)椋?/p>

(19)

(20)

增加二階錐表面約束：

(21)

由式(18～21)構(gòu)成了系統(tǒng)潮流的二階錐形式，由于式(21)含有二次項(xiàng)，可行域在二階錐表面，整個(gè)模型仍為非凸規(guī)劃問題。為便于求解，將式(21)松弛為：

(22)

經(jīng)過SOC松弛后，可行域變?yōu)槎A錐體，成為凸規(guī)劃問題。松弛原理如圖2所示。

圖2 二階錐松弛原理

松弛后得到的最優(yōu)解S表示原問題的下界解，若最優(yōu)解在松弛前的可行域內(nèi)，則說明S就為原問題的最優(yōu)解，該松弛為嚴(yán)格松弛[18-19]。松弛后的模型可以用YALMIP[20]數(shù)學(xué)優(yōu)化軟件包求解。

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

本研究選擇IEEE9和IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)來測(cè)試提出的模型與算法，并將其與混沌優(yōu)化和線性規(guī)劃作比較。在IEEE9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中將等值風(fēng)場(chǎng)接入3號(hào)節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)包含9條支路、3臺(tái)發(fā)電機(jī)。設(shè)定風(fēng)機(jī)功率因數(shù)120°，風(fēng)電機(jī)組切入風(fēng)速3 m/s，額定風(fēng)速13 m/s，切出風(fēng)速20 m/s。

在額定風(fēng)速為13 m/s情況下系統(tǒng)的最優(yōu)潮流分布情況如表1所示。

表1 采用SOCP的IEEE9節(jié)點(diǎn)潮流計(jì)算結(jié)果

從結(jié)果可以看出，此時(shí)節(jié)點(diǎn)電壓趨近所設(shè)電壓約束的上限，說明此時(shí)無功充足，電壓穩(wěn)定裕度較大，系統(tǒng)能承受的負(fù)荷增長空間較高，能給風(fēng)電場(chǎng)提供更多的無功供給。

SOCP與混沌優(yōu)化法和線性規(guī)劃的計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 優(yōu)化前后發(fā)電費(fèi)用對(duì)比

其中，部分?jǐn)?shù)據(jù)參考文獻(xiàn)[7]，將風(fēng)電場(chǎng)接入14號(hào)節(jié)點(diǎn)。從中可以得出：(1)在不同風(fēng)速條件下，隨著額定風(fēng)速的增大，發(fā)電成本隨之減少，但超過約17 m/s后，成本不再減少，呈現(xiàn)出略有上升的趨勢(shì)，所以風(fēng)電的經(jīng)濟(jì)效益在某些條件下出現(xiàn)飽和現(xiàn)象；(2)混沌優(yōu)化后的模型比線性規(guī)劃求解的發(fā)電成本要更低，在這3種優(yōu)化方法的對(duì)比中，利用二階錐規(guī)劃求解模型得出的成本最低，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增多，效果更明顯。

為驗(yàn)證松弛前后的有效性，在式(16)和式(22)最優(yōu)解處取等號(hào)是否滿足，故作出如下分析，引入公式：

(23)

其中，元素是節(jié)點(diǎn)偏差量的無窮范數(shù)。其分布趨勢(shì)如圖3所示。

圖3 發(fā)電機(jī)變量松弛偏差散點(diǎn)圖

圖3中，3種散點(diǎn)類型分別表示發(fā)電機(jī)1、2、3的松弛偏差量。從圖中可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過二階錐松弛之后的發(fā)電機(jī)的出力以及中間變量偏差最大值都在10-7數(shù)量級(jí)，滿足潮流的收斂判據(jù)，說明本文的松弛方法準(zhǔn)確可靠。

5 結(jié)束語

在考慮風(fēng)電出力不確定情況下，本研究建立了風(fēng)電最優(yōu)潮流模型，并在IEEE9和IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中進(jìn)行了仿真。研究結(jié)論如下：

(1)在最優(yōu)潮流中考慮在不同風(fēng)速下風(fēng)電出力的隨機(jī)特性，通過二階錐規(guī)劃求解，把非線性約束轉(zhuǎn)換為若干線性約束，通過與線性規(guī)劃和混沌優(yōu)化方法的分析比較可以得出：在保證最優(yōu)解的同時(shí)，降低了計(jì)算的復(fù)雜程度；

(2)在電力系統(tǒng)中加入風(fēng)電會(huì)有更好的經(jīng)濟(jì)效益；隨著風(fēng)速的增加，系統(tǒng)的發(fā)電成本隨之降低，但存在上限。

[1] 電力簡訊.國家電網(wǎng)公司在京發(fā)布《國家電網(wǎng)公司促進(jìn)新能源發(fā)展白皮書(2016)》[J].電力與能源,2016(2):171.

[2] 周姝燦，唐俊熙.風(fēng)電、儲(chǔ)能參與系統(tǒng)調(diào)頻的協(xié)調(diào)控制策略研究[J].機(jī)電工程技術(shù)，2017，46(11)：31-35.

[3] 諸駿偉,金心明,朱正明.一種快速收斂的牛頓法最優(yōu)潮流[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,1992,22(4):1-7.

[4] 袁智強(qiáng),侯志儉.優(yōu)化算法與最優(yōu)潮流[J].華東電力,2002,30(2):1-6.

[5] 劉前進(jìn),許慧銘,施 超.基于人工蜂群算法的多目標(biāo)最優(yōu)潮流問題的研究[J].電力系統(tǒng)保護(hù)與控制,2015，43(8):1-7.

[6] DEVARAJ D, BANU R N. An improved genetic algorithm approach for security constrained optimal power flow with corrective action[J].InternationalJournalofPower&EnergyConversion,2013,4(4):355-368.

[7] 吳杰康,程鵬飛,趙莎莎.基于協(xié)調(diào)粒子群算法的含風(fēng)電場(chǎng)電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計(jì)算[J].現(xiàn)代電力,2011,28(6):87-91.

[8] 張 偉,衛(wèi)志農(nóng),劉玉娟.基于混沌優(yōu)化的含風(fēng)電場(chǎng)的最優(yōu)潮流計(jì)算[J].中國電力,2011,44(10):25-28.

[9] 博賽克斯 D P.凸優(yōu)化理論[M].北京：清華大學(xué)出版社,2015.

[10] JABR R A. Exploiting sparsity in SDP relaxations of the OPF problem[J].PowerSystemsIEEETransactionson,2012,27(2):1138-1139.

[11] 白曉清,韋 化, FUJISAWA K.求解最優(yōu)潮流問題的內(nèi)點(diǎn)半定規(guī)劃法[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào),2008,28(19):56-64.

[12] KUANG X, GHADDAR B, NAOUM-SAWAYA J, et al. Alternative LP and SOCP hierarchies for ACOPF problems[J].IEEETransactionsonPowerSystems，32(4)：2828-2836.

[13] KOCUK B, DEY S S, SUN X A. Strong socp relaxations for the optimal power flow problem[D]. Atlanta: Milton Stewart School of Industrial and Systems Engineering, Georgia Institute of Technology,2015.

[14] 鮑海波,韋 化.考慮風(fēng)電的電壓穩(wěn)定概率評(píng)估的隨機(jī)響應(yīng)面法[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào),2012,32(13):77-85.

[15] 趙俊華,文福拴,薛禹勝,等.計(jì)及電動(dòng)汽車和風(fēng)電出力不確定性的隨機(jī)經(jīng)濟(jì)調(diào)度[J].電力系統(tǒng)自動(dòng)化,2010,34(20):22-29.

[16] 李洪美,崔翰韜,萬秋蘭.考慮電動(dòng)汽車充電策略的配網(wǎng)重構(gòu)二階錐規(guī)劃模型[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào),2015,35(18):4674-4681.

[17] 丁 濤,柏 瑞,孫宏斌,等.基于魯棒均值-方差優(yōu)化的發(fā)電自調(diào)度算法及魯棒代價(jià)分析[J].中國電機(jī)工程學(xué)報(bào),2015,35(2):319-326.

[18] FARIVAR M, LOW S H. Branch flow model: relaxations and convexification (Parts I, II)[J].IEEETransactionsonPowerSystems,2013,28(3):2554-2564.

[19] YANG W, ILICé M D, QIAO L, et al. Convexification of bad data and topology error detection and identification problems in AC electric power systems[J].IetGenerationTransmission&Distribution,2015,9(16):2760-2767.

[20] JOHAN L. YALMIP: a toolbox for modeling and optimization in MATLAB[J].SkeletalRadiology,2011,41(3):287-92.