串聯(lián)機械臂的仿PD關節(jié)位置跟蹤控制

王東云， 李繼朋， 王璦琿， 胡寧寧， 陳賽男

(1.黃淮學院， 河南 駐馬店 463000；2.中原工學院 電子信息學院， 河南 鄭州 450007)

自20世紀60年代第一臺真正意義的工業(yè)串聯(lián)機器人誕生以來，機器人的控制問題一直是機器人研究領域的重點問題。隨著電子信息技術的發(fā)展和現(xiàn)代控制理論研究的不斷深入，各種各樣的機器人控制方法不斷涌現(xiàn)。串聯(lián)機器人是一個高度復雜的機電一體化系統(tǒng)，其動力學模型是一個多輸入、多輸出、強耦合且擁有許多不確定性的非線性微分方程，機器人的控制問題相當復雜[1]?，F(xiàn)代化的工業(yè)生產(chǎn)過程要求機械臂具有良好的定位精度和快速的軌跡跟蹤能力，因此產(chǎn)生了許多基于動力學模型的動態(tài)控制方案[1-2]?；趧恿W模型的動態(tài)控制方案包括自適應控制、魯棒控制、變結(jié)構控制等現(xiàn)代控制方法，同時也有模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡控制等智能控制方法。這些控制方法解決了一些系統(tǒng)本身的非線性、耦合性、外部干擾以及其他不確定性問題，提高了系統(tǒng)的魯棒性和控制精度[3-4]。然而，基于機械臂動力學模型的動態(tài)控制方案需要進行大量的動力學實時在線計算，且機械臂本身又是一個高度復雜的多變量、強耦合的非線性系統(tǒng)，需要較大的在線計算量，給機械臂的動態(tài)實時控制帶來了困難[5]。在目前實際投入使用的工業(yè)串聯(lián)機器人中，為簡化控制難度同時能夠勝任特定的工業(yè)現(xiàn)場，多數(shù)采用獨立的PD(Proportion Differentiation)或變形的仿PD(PD-like)位置跟蹤控制方案[5]。

串聯(lián)機器人位置控制的目的在于，末端操作工具無論從何種起始位置出發(fā)均能實現(xiàn)對期望軌跡的跟蹤控制。如果期望軌跡是一個點，則屬于定點控制；如果期望軌跡是一條連續(xù)變化的曲線，則屬于連續(xù)軌跡的跟蹤控制。本文設計了一種PD-like位置跟蹤控制器，在傳統(tǒng)PD控制器的基礎上引入S型曲線函數(shù)，不但提高關節(jié)角位移的收斂速度，且使關節(jié)初始力矩有一定程度的降低；并基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，以關于誤差的二次型函數(shù)作為系統(tǒng)的能量函數(shù)，在考慮各關節(jié)耦合性及非線性的情況下，保證串聯(lián)機器人控制系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，使得關節(jié)角位移具有良好的跟蹤性能[6-8]。

1 動力學模型的建立

工業(yè)串聯(lián)機器人(見圖1)的平面兩連桿機械臂模型如圖2所示。該兩連桿串聯(lián)機械臂封閉形式的動力學模型為：

(1)

忽略重力、摩擦力及不確定性因素的影響，式(1)可改寫為：

(2)

圖1 工業(yè)串聯(lián)機器人

圖2 平面兩連桿機械臂模型 (注：參數(shù)θ1和θ2分別為連桿1和連桿2的關節(jié)角度；m1和m2分別為兩個連桿的質(zhì)量；l1和l2分別為兩個連桿的長度；d1和d2分別為兩個連桿的重心距各自關節(jié)的長度。)

(3)

(4)

則：

(5)

2 控制器設計

忽略機械臂所受重力和其他干擾因素作用后，兩連桿機器人的動力學方程可用式(2)描述。仿PD控制時，設計控制律為：

(6)

式中：e=θd-θ為跟蹤誤差，θd為參考軌跡；Sp和Sd均為S型函數(shù)矩陣，且

式中：t為仿真時間；k1和k2均為函數(shù)增益；α1、α2和β1、β2均為指數(shù)函數(shù)的衰減因子；a1、a2均為指數(shù)函數(shù)的前系數(shù)。

采用定點控制時，θd取常值，有：

(7)

即

(8)

取李雅普諾夫函數(shù)為：

(9)

(10)

(11)

(12)

所以：

(13)

3 系統(tǒng)仿真與分析

以式(2)兩連桿機械臂簡化模型為控制對象，不考慮機械臂所受的重力、摩擦力和干擾，對式(6)控制律進行仿真。根據(jù)圖2各參數(shù)標注，被控對象的物理結(jié)構參數(shù)為：m1=0.6 kg，m2=0.6 kg，l1=1.2 m，l2=0.8 m，d1=0.6 m，d2=0.4 m。

對整個閉環(huán)控制系統(tǒng)進行仿真。在仿真輸出結(jié)果中：圖3為關節(jié)角位移跟蹤曲線；圖4為仿PD控制器的輸出，即關節(jié)力矩曲線；圖5為關節(jié)角速度曲線；圖6為關節(jié)角位移誤差曲線。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，將控制器參數(shù)調(diào)節(jié)為正，可保證控制系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，關節(jié)角位移能夠收斂到期望位置，實現(xiàn)關節(jié)位置的定點跟蹤控制。

圖3 關節(jié)角位移跟蹤曲線

圖4 關節(jié)力矩曲線

圖5 關節(jié)角速度曲線

圖6 關節(jié)角位移誤差曲線

從圖3和圖6可以看出，關節(jié)角位移在0.5 s之內(nèi)即可實現(xiàn)收斂，使得位置跟蹤誤差快速衰減到0，這與S型曲線函數(shù)有關；由于兩連桿的耦合作用，關節(jié)1比關節(jié)2的運動速度平緩，但無論兩關節(jié)從何種起始位置出發(fā)，關節(jié)速度最終均能收斂到0。從圖4可以看出，兩關節(jié)的初始力矩均不大，初始時刻之后，關節(jié)力矩迅速降低，直至完成動態(tài)跟蹤過程，關節(jié)力矩輸出為0。

4 結(jié) 語

仿真結(jié)果表明，使用仿PD控制器對機械臂進行控制，可以得到較好的控制結(jié)果。相較于傳統(tǒng)獨立的PD控制，關節(jié)角位移的跟蹤速度有所提高，而且關節(jié)初始力矩有一定程度的降低。按照李雅普諾夫穩(wěn)定性理論進行調(diào)節(jié)，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定且初始力矩不太大的情況下，機械臂各關節(jié)角位移能夠快速收斂到期望位置，進而使機械臂末端操作達到定點。

[1] 霍偉.機器人動力學與控制[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2] 王耀南.機器人智能控制工程[M].北京:科學出版社,2004.

[3] 劉金琨.機器人控制系統(tǒng)的設計與MATLAB仿真[M].北京:清華大學出版社,2008.

[4] 方勇純.非線性系統(tǒng)理論[M].北京:清華大學出版社,2014.

[5] Wang A, Deng M. Robust nonlinear control design to a manipulator based on operator based approach[J]. ICIC Express Letters，2012，6:617-623.

[6] Dixon W E, Queiroz M S D, Zhang F, et al. Tracking control of robot manipulators with bounded torque inputs[J]. Robotica，1999，17(2)：121-129.

[7] Luca A D, Siciliano B, Zollo L. PD control with on-line gravity compensation for robots with elastic joints[J]. Automatic, 2005, 41(17): 1809-1819.

[8] 張春陽, 江先志. 六足機器人步態(tài)規(guī)劃及其靜態(tài)穩(wěn)定性研究[J]. 成組技術與生產(chǎn)現(xiàn)代化, 2016,33(2):40-47.

(責任編輯:王長通)