層狀巖石傾角對(duì)彈性模量的影響研究

王金亮

(中鐵十一局集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430061)

0 引 言

巖體的結(jié)構(gòu)特征對(duì)巖體在一定荷載條件下的變形破壞方式和強(qiáng)度特征起著關(guān)鍵的控制作用，巖體中的結(jié)構(gòu)面通常成為決定巖體穩(wěn)定性的控制面。對(duì)于層狀巖石，其結(jié)構(gòu)面結(jié)構(gòu)非常明顯，而且常與其他巖性巖體互層，形成具有互層結(jié)構(gòu)的復(fù)合巖體，這種互層復(fù)合巖體具有整體各向異性和單一層理內(nèi)橫觀各向同性等特征。

復(fù)合巖體與單一巖性巖體的變形和強(qiáng)度等性質(zhì)具有明顯差異，國(guó)內(nèi)外許多研究者對(duì)復(fù)合層狀巖體的性質(zhì)作了大量的研究。譚學(xué)術(shù)等[1]研究了脆性復(fù)合巖體的變形和視在彈性模量，但未研究層理傾角對(duì)復(fù)合巖體彈性模量的影響；曾紀(jì)全等[2]研究了泥質(zhì)粉砂巖、泥質(zhì)灰?guī)r抗剪強(qiáng)度參數(shù)的層理面傾角效應(yīng)并用石膏試樣進(jìn)行了驗(yàn)證，闡明了層狀、似層狀結(jié)構(gòu)巖體力學(xué)性質(zhì)各向異性的本質(zhì)和機(jī)理。蘇志敏等[3]在分析大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，探討了頁(yè)巖的層狀結(jié)構(gòu)面傾角和圍壓對(duì)其強(qiáng)度的影響。通過(guò)以上研究可知，層狀巖體的性質(zhì)具有顯著的傾角效應(yīng)，隨著層理傾角的變化而變化。本文主要研究互層復(fù)合巖體層理傾角對(duì)巖體的彈性模量的影響，推導(dǎo)互層復(fù)合巖體任意層理傾角下在應(yīng)力加載方向上彈性模量的解析解，并通過(guò)不同層理傾角的頁(yè)巖的單軸抗壓實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

1 水平狀互層復(fù)合巖體的變形分析

假設(shè)長(zhǎng)方體復(fù)合巖體由n個(gè)各向同性的層狀巖體組成，l為長(zhǎng)方體高度，a為底邊長(zhǎng)度，li為第i層的厚度，σ1為巖體所受軸向應(yīng)力，σ2i、σ3i分別為巖體所受水平應(yīng)力，那么第i層巖石在三軸應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(1)

其中，Ei、μi分別為第i層巖體的彈性模量和泊松比。

第i層巖石的垂直變形量為：

(2)

那么，互層復(fù)合巖體在垂直方向的變形量為：

(3)

2 水平狀互層復(fù)合巖體彈性模量

2.1 互層復(fù)合巖體垂直方向的彈性模量

設(shè)水平狀互層復(fù)合巖體垂直方向的總應(yīng)變?yōu)棣臯，垂直方向彈性模量為EV，那么，

(4)

如果不考慮圍壓，即：σ2i=σ3i=0，可得：

(5)

則：

(6)

2.2 互層復(fù)合巖體水平方向的彈性模量

復(fù)合巖體各層巖體平行于層理面方向的應(yīng)變相等，由于各層巖石的彈性模量不同，所以各層巖體平行于層理面方向所受的應(yīng)力不等，各層巖體在水平方向所受的壓力之和等于復(fù)合巖體所受的總壓力[4]，即：

(7)

設(shè)互層復(fù)合巖體平行于層理面方向的應(yīng)變?yōu)棣?h，彈性模量為Eh，那么，

(8)

(9)

由于公式(9)的各個(gè)分項(xiàng)都是大于0的，所以Eh-EV>0，即Eh>EV，也就是說(shuō)水平狀互層復(fù)合巖體的平行于層理方向的彈性模量大于垂直于層理方向的彈性模量。

2.3 互層復(fù)合巖體的剪切模量

設(shè)復(fù)合巖體的剪切模量為GV，剪應(yīng)力為τh，剪切變形為γh，各層巖體的剪切模量分別為G1、G2…Gn，各層巖體的在豎直方向上所受剪應(yīng)力分別為τ1、τ2…τn，顯然τ1=τ2=…=τn，對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)變分別為γ1、γ2…γn，那么各層巖體的剪應(yīng)力之和等于復(fù)合巖體的剪應(yīng)力：

(10)

(11)

對(duì)于復(fù)合巖體，剪應(yīng)力為：

(12)

根據(jù)公式(11)和(12)可以推出復(fù)合巖體剪切模量和各層巖體剪切模量的關(guān)系：

(13)

2.4 互層復(fù)合巖體各方向的泊松比

當(dāng)復(fù)合巖體受力情況為σ1≠0,σ2=σ3=0時(shí)，σ1(σh)對(duì)復(fù)合巖體所做的功為：

(14)

當(dāng)復(fù)合巖體受力情況為σ2≠0,σ1=σ3=0時(shí)，σ2(σV)對(duì)復(fù)合巖體所做的功為：

(15)

根據(jù)公式(14)和(15)，令Vh=VV，那么：

(16)

公式(16)為水平狀互層復(fù)合巖體水平方向的泊松比μh與垂直方向的泊松比μV的關(guān)系。

3 層理傾角與復(fù)合巖體彈性模量的關(guān)系

上述得到了層理面水平狀態(tài)時(shí)，互層復(fù)合巖體彈性模量與各層巖體彈性模量的關(guān)系，將坐標(biāo)系和所受應(yīng)力方向繞x軸旋轉(zhuǎn)θ角度(0(°)≤θ≤90(°))，如圖1所示，可以推導(dǎo)出互層復(fù)合巖體在任意傾角θ度時(shí)巖體的彈性模量[5]。

圖1 坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)圖

旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)系與原來(lái)的坐標(biāo)系有如下關(guān)系：

(17)

3.1 坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后應(yīng)力之間的關(guān)系

根據(jù)柯西方程可得復(fù)合巖體坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后的應(yīng)力與旋轉(zhuǎn)之前的應(yīng)力有如下關(guān)系：

σ′=dσαT

(18)

將公式展開(kāi)即為：

(19)

那么，

(20)

寫(xiě)成矩陣形成為：

(21)

即：

[σ]y′z′=R[σ]yz

(22)

3.2 坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后應(yīng)變之間的關(guān)系

根據(jù)4.1的思路可得復(fù)合巖體坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后的應(yīng)變與旋轉(zhuǎn)之前的應(yīng)變有如下關(guān)系：

[ε]y′z′=R[ε]yz

(23)

其中，R與公式(22)中R相同。

3.3 互層復(fù)合巖體的層理角度與彈性模量的關(guān)系

在原坐標(biāo)系中，互層復(fù)合巖體的本構(gòu)關(guān)系為：

[ε]yz=E[σ]yz

(24)

在新坐標(biāo)系中互層復(fù)合巖體的本構(gòu)關(guān)系為：

[ε]y′z′=E′[σ]y′z′

(25)

其中，E′為新坐標(biāo)系中的彈性模量矩陣。

根據(jù)以上公式可得：

R[ε]yz=[ε]y′z′=E′[σ]y′z′=E′R[σ]yz

[ε]yz=R-1E′R[σ]yz

(26)

比較公式(26)和(24)可得：

E=R-1E′R

E′=RER-1

(27)

[ε]y′z′=RER-1[σ]y′z′

(28)

那么，

(29)

E′=

整理得：

(30)

對(duì)公式(30)求導(dǎo)，并令其等于0，整理得：

(31)

通過(guò)公式(31)可以確定復(fù)合巖體彈性模量最小時(shí)的層理傾角，由于Eh>EV，所以公式(31)中根號(hào)內(nèi)的分子小于分母，那么θ<45(°)。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)頁(yè)巖樣品采自蘭渝高鐵新城子隧道頁(yè)巖巖心，在3個(gè)不同的露頭分別取樣，弄清層理方向，每個(gè)露頭的頁(yè)巖分別制成層理傾角為0(°)、15(°)、30(°)、45(°)、60(°)、75(°)、90(°)的直徑為50 mm、長(zhǎng)度為100 mm的標(biāo)準(zhǔn)試樣。采用美國(guó)GCTS公司生產(chǎn)的高壓巖石三軸動(dòng)態(tài)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行單軸抗壓實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)測(cè)得各個(gè)不同層理傾角的3個(gè)試驗(yàn)樣品平均彈性模量、平均泊松比和平均抗壓強(qiáng)度如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以作出層理傾角與彈性模量的關(guān)系圖，見(jiàn)圖2，可見(jiàn)實(shí)驗(yàn)所得曲線與公式推導(dǎo)所得曲線基本吻合，從而證明頁(yè)巖層理傾角與彈性模量關(guān)系公式推導(dǎo)的正確性。

圖2 層理傾角與彈性模量關(guān)系

當(dāng)層理傾角為0(°)時(shí)，復(fù)合巖體彈性模量受層狀巖體中最軟的那層控制；當(dāng)層理傾角為90(°)時(shí)，復(fù)合巖體彈性模量受層狀巖體中最硬的那層控制；當(dāng)層理傾角接近于均值巖體的理論破裂面角度時(shí)，復(fù)合巖體彈性模量受層狀巖體層理面控制。

5 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了不同層理傾角的互層復(fù)合巖體綜合彈性模量與各層巖體彈性模量的關(guān)系，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了此關(guān)系的正確性，得到如下結(jié)論：不同層理傾角互層復(fù)合巖體的綜合彈性模量與層理傾角θ的關(guān)系為：

通過(guò)采集互層巖體巖心試樣進(jìn)行單軸抗壓試驗(yàn)驗(yàn)證了頁(yè)巖層理傾角與彈性模量關(guān)系的正確性。當(dāng)層理傾角為0(°)時(shí)，復(fù)合巖體彈性模量受層狀巖體中最軟的那層控制；當(dāng)層理傾角為90(°)時(shí)，復(fù)合巖體彈性模量受層狀巖體中最硬的那層控制；當(dāng)層理傾角接近于均值巖體的理論破裂面角度時(shí)，復(fù)合巖體彈性模量受層狀巖體層理面控制。

[1] 譚學(xué)術(shù), 鮮學(xué)福. 復(fù)合層狀巖體的變形及視在彈性模量[J]. 河北煤炭, 1985(1): 27-33.

[2] 曾紀(jì)全, 楊宗才. 巖體抗剪強(qiáng)度參數(shù)的結(jié)構(gòu)面傾角效應(yīng)[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2004, 23(20): 3418-3425.

[3] 蘇志敏, 江春雷, M Ghafoor. 頁(yè)巖強(qiáng)度準(zhǔn)則的一種模式[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 1999, 21(3): 311-314.

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