低速軸向氣流中曲壁板的穩(wěn)定性及分岔分析*

李晉 李鵬 張德春 楊翊仁

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院, 成都 610031)

引言

隨著高速列車設(shè)計(jì)及運(yùn)行速度的增加,之前在列車設(shè)計(jì)中被合理忽略的氣動(dòng)力問(wèn)題已經(jīng)逐漸凸顯出來(lái)[1-3].為滿足流線型設(shè)計(jì)要求,在高速列車設(shè)計(jì)及制造中會(huì)大量采用具有一定初始曲率的壁板結(jié)構(gòu),如列車蒙皮和車窗等.依照目前高速列車的設(shè)計(jì)速度推算,氣流馬赫數(shù)大約在0.3左右,基本上處于低亞音速范圍.壁板受氣流激擾而產(chǎn)生振動(dòng)并會(huì)影響結(jié)構(gòu)的安全服役[3,4],因此有必要對(duì)這類結(jié)構(gòu)在低亞音速軸向流中的氣動(dòng)彈性問(wèn)題進(jìn)行一些基礎(chǔ)性的研究.

針對(duì)曲壁板氣動(dòng)彈性問(wèn)題的研究,已有的工作主要集中在航空航天領(lǐng)域,并且是以超音速氣流中的壁板為主[5-8].文獻(xiàn)[7-8]采用了活塞氣動(dòng)力理論,應(yīng)用Von Karman非線性應(yīng)變位移關(guān)系,研究了超音速曲壁板顫振的臨界動(dòng)壓、極限環(huán)響應(yīng)及混沌運(yùn)動(dòng).而針對(duì)低亞音速氣流中的壁板,相關(guān)研究還多局限于平板結(jié)構(gòu),對(duì)曲壁板的研究還相對(duì)不夠完善[9-11].文獻(xiàn)[9]基于勢(shì)流理論及線化邊界條件推導(dǎo)了平壁板上的氣動(dòng)力分析了壁板的失穩(wěn)特性.文獻(xiàn)[10]基于勢(shì)流點(diǎn)源基本解并利用微分求積法研究了平壁板在不同邊界條件下的失穩(wěn)問(wèn)題.文獻(xiàn)[11]基于壁板模態(tài)采用級(jí)數(shù)方法獲取了曲壁板上的氣動(dòng)力,研究了曲壁板的分岔特性及多平衡點(diǎn)的吸引域問(wèn)題,但文中的氣動(dòng)力計(jì)算方法缺乏風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

本文考慮結(jié)構(gòu)的幾何大變形,利用能量方法建立了曲壁板的非線性振動(dòng)方程.基于薄翼理論推導(dǎo)了曲壁板表面氣動(dòng)力的近似表達(dá)式,并設(shè)計(jì)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該氣動(dòng)力公式的準(zhǔn)確性.隨后應(yīng)用該氣動(dòng)力著重研究了曲壁板系統(tǒng)在氣流作用下的穩(wěn)定性及分岔特性.

1 力學(xué)模型及控制方程

考慮如圖1所示的兩端簡(jiǎn)支二維曲壁板,其密度、長(zhǎng)度、厚度分別為ρ、l、h,壁板中點(diǎn)的初始拱高為He,且h?l,He?l.定義x方向?yàn)橄到y(tǒng)的軸向方向,沿著該方向在壁板上作用有面內(nèi)力Fx；壁板上表面有均勻的低速軸向氣流流過(guò),氣流的密度和速度分別為ρ∞和U∞；壁板材料為Kelvin型粘彈性材料,其彈性模量為E,粘性阻尼系數(shù)為gs.

考慮板的梁式變形并基于能量法可建立如下的曲壁板運(yùn)動(dòng)微分方程[7,8,11,12]：

圖1 軸向流中的二維曲壁板Fig.1 A two-dimensional curved plate in an axial flow

(1)

(2)

而ΔP=ΔPd+ΔPs為作用在壁板表面的氣動(dòng)壓力,包括分別與曲壁板動(dòng)擾度及初始變形相關(guān)的動(dòng)態(tài)壓力ΔPd及靜態(tài)壓力ΔPs兩部分.

考慮無(wú)粘無(wú)旋不可壓縮氣流,基于薄翼理論,氣流的擾度速度勢(shì)函數(shù)[9,10]可寫(xiě)作：

(3)

由伯努利方程可得壁板表面的動(dòng)態(tài)壓力：

(4)

將(3)帶入(4)可得：

(5)

對(duì)式(5)的第二項(xiàng)進(jìn)行分部積分后可得：

(6)

將式(6)的前半部分在x0=x處進(jìn)行泰勒展開(kāi)并取第一項(xiàng)可得壓力ΔPd：

(7)

其中,

(8)

式(7)最后一項(xiàng)表征了壁板邊界條件對(duì)氣動(dòng)力的影響.考慮壁板的初始變形W0,忽略(7)中的時(shí)變項(xiàng)可得相應(yīng)的靜態(tài)氣動(dòng)力ΔPs：

(9)

從上式可知,壁板上的靜態(tài)壓力主要與壁板初始變形的曲率相關(guān).

2 氣動(dòng)力的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證式(7)給出的氣動(dòng)力計(jì)算公式的準(zhǔn)確性,本節(jié)設(shè)計(jì)并完成了相關(guān)的風(fēng)洞實(shí)驗(yàn).為保證驗(yàn)實(shí)驗(yàn)的一般性,實(shí)驗(yàn)中并未采用圖1所示的簡(jiǎn)支壁板及其初始構(gòu)型,而是采用具有變曲率初始構(gòu)型的鋁合金板進(jìn)行吹風(fēng)實(shí)驗(yàn)并測(cè)試壁板表面的靜態(tài)壓力.沿著壁板中軸線(來(lái)流方向)開(kāi)有5個(gè)直徑為2mm的小孔用于安裝壓力傳感器(型號(hào)：XCQ-093),開(kāi)孔位置如圖2所示.為保證單側(cè)受流,壁板安裝在導(dǎo)流裝置上,該導(dǎo)流裝置安裝在剛性支架上,由一個(gè)近似封閉的空腔構(gòu)成(空腔內(nèi)填充有海綿,內(nèi)部流體可視為靜止).導(dǎo)流裝置的前導(dǎo)流面與前緩沖區(qū)域可保證流場(chǎng)在受擾動(dòng)后流經(jīng)壁板模型處的氣流仍是均勻的.壁板兩端固支并采用膠布封閉其上下兩側(cè),其安裝方式如圖3所示.

吹風(fēng)實(shí)驗(yàn)在直徑1.2m的開(kāi)口環(huán)流式風(fēng)洞中完成,該風(fēng)洞優(yōu)質(zhì)穩(wěn)定的風(fēng)速范圍為15～30m/s.對(duì)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ驮诖孙L(fēng)速范圍內(nèi)進(jìn)行三組吹風(fēng)實(shí)驗(yàn),測(cè)試各點(diǎn)的壓力值并計(jì)算平均值.測(cè)試得到的壁板表面各點(diǎn)的壓力系數(shù)如圖4所示.

從圖4可知,曲壁板表面主要為負(fù)壓區(qū),壓力值隨風(fēng)速的增加而增加；靠近曲壁板的前后緣處存在較小的正壓區(qū)；各測(cè)試點(diǎn)的壓力系數(shù)Cp隨風(fēng)速變化基本保持平穩(wěn).由于測(cè)點(diǎn)1與5,2與4呈近似對(duì)稱分布,因此這些點(diǎn)的壓力系數(shù)也近似相等.圖5展示了實(shí)驗(yàn)用曲壁板的初始構(gòu)型及其對(duì)應(yīng)的擬合函數(shù)曲線,從圖可知該實(shí)驗(yàn)曲壁板模型具有變曲率的初始構(gòu)型.將構(gòu)型擬合函數(shù)W1帶入式(9)計(jì)算得到氣動(dòng)力ΔPs1.文獻(xiàn)[11]考慮無(wú)限長(zhǎng)波形壁板,利用模態(tài)展開(kāi)法得到了近似氣動(dòng)力(本文記為ΔPs2).由圖6可知,與文獻(xiàn)[11]相比,本文的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)吻合地更好,能夠準(zhǔn)確反映壁板上的壓力分布(每個(gè)風(fēng)速下的壓力值均已除以其最大值).

圖2 壓力傳感器安裝位置示意圖(單位：m)Fig.2 Installation sketch of the location of pressure sensors

圖3 曲壁板試驗(yàn)安裝圖Fig.3 Installation sketch of a curved plate in wind tunnel

圖4 實(shí)驗(yàn)曲壁板各測(cè)點(diǎn)壓力系數(shù)隨風(fēng)速變化圖Fig.4 The pressure coefficients of the curved plate

需要指出的是:1)由于實(shí)驗(yàn)壁板的寬度不足而未完全滿足二維流場(chǎng)假設(shè),會(huì)導(dǎo)致壁板背風(fēng)面氣動(dòng)力理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一些誤差,但已有結(jié)果表明沿實(shí)驗(yàn)(三維)壁板中軸線布置的測(cè)點(diǎn)可以相對(duì)準(zhǔn)確地描述二維流場(chǎng)的特性. 2)由于理論計(jì)算中并未計(jì)及壁板前后剛性導(dǎo)流段的影響,因此會(huì)導(dǎo)致在壁板前后緣處氣動(dòng)力的理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一些偏差. 但在本文以下的計(jì)算中,由于曲壁板前后緣均有固定的位移約束,其對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性并不會(huì)產(chǎn)生明顯影響[11].上述這兩點(diǎn)正是作者們擬開(kāi)展的工作內(nèi)容.

圖5 實(shí)驗(yàn)曲壁板初始構(gòu)型及擬合曲線圖Fig.5 The initial configuration of the curved plate and its fitting curve

圖6 氣動(dòng)壓力理論計(jì)算及實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比圖Fig.6 Comparison of the theoretical and experimental pressure

3 靜變形及靜態(tài)分岔

在上節(jié)中已采用具有變曲率初始構(gòu)型的實(shí)驗(yàn)曲板驗(yàn)證了本文氣動(dòng)力的準(zhǔn)確性.下面采用式(7)、(9)計(jì)算式(1)中的氣動(dòng)力并分析曲壁板的穩(wěn)定性問(wèn)題.為方便理論計(jì)算并與已有文獻(xiàn)[7,8]進(jìn)行對(duì)照,下面的理論分析中將選擇具有常曲率的圓柱面作為曲壁板的初始變形,該初始構(gòu)型構(gòu)型可描述為：

(10)

進(jìn)一步考慮該曲壁板的兩端簡(jiǎn)支條件,選用N個(gè)正弦模態(tài),利用Galerkin方法離散式(1)后可得如下的常微分方程組：

(i=1,2,…,N;j=1,2,…,N;k=1,2,…,N)

(11)

(12)

Mf,Kf,Cf分別為流體產(chǎn)生的附加質(zhì)量矩陣、剛度及阻尼矩陣,Kt為由壁板邊界條件引起的流體附加剛度矩陣.

選取高速列車常用的鋁合金板為算例[2,3]：

E=69Gpa,υ=0.3,h=2.5mm,

ρ=2705kg/m3,l=0.8m,ρ∞=1.29kg/m3

在式(11)中取n=2進(jìn)行計(jì)算可獲得系統(tǒng)的動(dòng)力特性.

圖7 曲壁板靜變形圖Fig.7 The static deformation of the curved plate

圖8 當(dāng)時(shí)曲壁板靜變形圖Fig.8 The static deformation of the curved plate for λ=75,

圖9 平衡點(diǎn)隨動(dòng)壓的變化Fig.9 The varying of equilibrium points as λ increasing

圖10 特征值實(shí)部隨動(dòng)壓變化Fig.10 The varying of eigenvalues as λ increasing

圖11 λ=45時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)相圖Fig.11 Phase-plots of the system for λ=45

圖12 λ=65時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)相圖Fig.12 Phase-plots of the system for λ=65

圖13 λc隨he及變化圖Fig.13 The dependence of λcon heand

圖14 跳躍值隨參數(shù)的變化圖Fig.14 The evaluation of Δ q as a function of heand

4 分岔結(jié)構(gòu)分析

下面在參數(shù)空間內(nèi)對(duì)系統(tǒng)的分岔結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析.記曲壁板系統(tǒng)達(dá)到臨界失穩(wěn)狀態(tài)時(shí)各參數(shù)滿足方程：

(11)

而平板系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的臨界動(dòng)壓則可表示為：

(12)

(13)

這三條曲線將該參數(shù)平面分成了如下的4個(gè)區(qū)域：

(14)

圖參數(shù)平面圖

圖區(qū)域中的分岔圖Fig.16 Bifurcation diagram in region

圖區(qū)域中的分岔圖Fig.17 Bifurcation diagram in region

圖區(qū)域中的分岔圖Fig.18 Bifurcation diagram in region

5 結(jié) 論

(1)本文提出的氣動(dòng)壓力計(jì)算方法與風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)吻合良好,表明了本文方法的準(zhǔn)確性.曲壁板的變形量隨來(lái)流速度的增加而增大,而隨面內(nèi)拉力(壓力)的增加而減少(增大).

(2)由于靜態(tài)氣動(dòng)力對(duì)系統(tǒng)對(duì)稱性的破壞,曲壁板系統(tǒng)會(huì)發(fā)生非對(duì)稱的靜態(tài)分岔.該分岔同時(shí)伴隨著平衡態(tài)的跳躍,跳躍值隨初始幾何曲率的增大而增大,而對(duì)面內(nèi)力的變化并不敏感.系統(tǒng)的臨界來(lái)流速度隨面內(nèi)拉力(壓力)的升高而增大(減小),而隨著初始拱高的增加呈現(xiàn)先增加后減小的規(guī)律.

(3)相對(duì)于平板而言,初始幾何曲率及面內(nèi)力的聯(lián)合作用使得曲壁板系統(tǒng)的分岔行為更為豐富,會(huì)在不同參數(shù)區(qū)域出現(xiàn)四種分岔；增加面內(nèi)拉力及適當(dāng)增加曲壁板的初始拱高會(huì)提高系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域,而面內(nèi)壓力及過(guò)大的拱高卻不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定.