地質(zhì)羅盤方位測量的誤差分析

高紅燦 李玉澤 徐少華 李小剛 況 昊 劉虹利

(重慶科技學院石油與天然氣工程學院， 重慶 401331)

地質(zhì)羅盤(以下簡稱“羅盤”)是野外地質(zhì)工作必不可少的測量工具之一，主要用于測量巖層的產(chǎn)狀和目標物的方位及仰角(或俯角)等[1-3]。但在實際操作中，往往由于羅盤操作不夠精確而使得測量結(jié)果產(chǎn)生一定的誤差，進而影響地質(zhì)資料的分析解釋。羅盤方位測量的誤差及其影響因素分析不僅對羅盤的精確操作及測量具有重要的意義，而且也有助于從原理上理解并掌握羅盤的操作規(guī)范。

目前，雖然有些電子儀器(如GPS、電子羅盤等)可替代羅盤的部分功能，但受天氣狀況、電子波信號強度以及儀器所在位置的地形狀況等條件的影響較大[4]。特別是在地下采礦巷道中，由于沒有電磁波信號而無法使用電子設(shè)備進行巖層(或斷層)產(chǎn)狀的測量以及鉆機掘進方位的確定[5-6]。而羅盤以其受環(huán)境條件限制少、攜帶方便、操作簡單和價格低廉等優(yōu)點，在野外地質(zhì)工作中得到了廣泛應(yīng)用[7-8]。

本次研究以野外羅盤后方交會定點法對目標物方位的測量為例，對測量時由于羅盤底座面(以下簡稱“底座面”)不水平而產(chǎn)生的誤差進行分析。

1 基本原理

羅盤測量目標物方位的基本原理是：在底座面保持水平的情況下，目標物和羅盤瞄準器的尖均落于羅盤上蓋反光鏡的中線上時，羅盤指針的讀數(shù)即目標物的正確方位。

由羅盤的結(jié)構(gòu)可知，其底座面與由瞄準器的尖和上蓋反光鏡中線所確定的平面(以下簡稱“垂直面”)相垂直。目標物的正確方位就是，當?shù)鬃嫠綍r，落于垂直面上的目標物在水平的底座面上的垂直投影點的方位，也就是垂直面與水平底座面垂直交線的方位，這與地形圖制作所采用的垂直投影幾何法則相適應(yīng)。

2 誤差計算

在羅盤測量目標物方位的實際操作中，往往在調(diào)節(jié)目標物落于垂直面的過程中，底座面發(fā)生傾斜而使目標物方位測量產(chǎn)生誤差。底座面不水平時，垂直面與水平面斜交，此時測得目標物的方位是落于垂直面上的目標物沿著垂直面在底座面上的垂直投影點的方位而不是在羅盤所在水平面上的垂直投影點的方位，或者是垂直面與水平面斜交線的方位而不是垂直交線的方位，由此造成目標物方位測量的誤差。

用羅盤測量同一目標物方位，若底座面傾角相同，則通過水平轉(zhuǎn)動羅盤，調(diào)節(jié)目標物落于垂直面上時，羅盤只會呈現(xiàn)出其底座面傾角相同而傾向相反的2種狀態(tài)，對應(yīng)于調(diào)節(jié)前底座面傾角相同而傾向相反的2種初始狀態(tài)。即無論測量前羅盤的初始指向如何，只要其底座面傾角相同，則目標物最終方位測量的誤差就相同，也即羅盤測量目標物方位的誤差與羅盤的初始指向無關(guān)。所以，本次研究以測量前羅盤初始指向目標物的正確方向為前提，對在底座面不水平情況下進行目標物方位測量所產(chǎn)生的誤差進行分析。

底座面不水平可以看作是水平的底座面以羅盤為中心，以水平面上過該中心的任一方向線為旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動某一角度造成的。為敘述方便，設(shè)以羅盤所在位置為起始點，以指向目標物在羅盤所在水平面上的垂直投影點的方向(即目標物的正確方向)為0°方向，沿水平面順時針方向，方向角依次增大。由于旋轉(zhuǎn)軸沒有方向性，所以，僅考慮羅盤以水平面上半圓周內(nèi)任一方向線為旋轉(zhuǎn)軸即可表示出羅盤在整個圓周上以任一方向線為旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動某一角度造成底座面不水平的情況。底座面分別在270° — 360°和0° — 90°沿任一方向線轉(zhuǎn)動任意角度，其最終狀態(tài)可呈一一對應(yīng)的鏡像關(guān)系，而且，底座面沿任一方向線順時針或逆時針轉(zhuǎn)動某一角度，羅盤的最終狀態(tài)也呈鏡像關(guān)系。所以，僅考慮底座面在270° — 360°或0° — 90°(本次考慮0° — 90°)以任一方向為旋轉(zhuǎn)軸順時針或逆時針轉(zhuǎn)動某一角度(本次考慮順時針方向轉(zhuǎn)動)造成底座面不水平的情況即可窮盡所有底座面不水平的情況。具體可分為3種情況：第1種是以0°方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動；第2種是以90°方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動；第3種是以0° — 90°任一方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動。

需要強調(diào)的是，本次設(shè)定的造成底座面不水平的旋轉(zhuǎn)軸方向線的度數(shù)僅是為了敘述方便，與目標物實際方位和羅盤的讀數(shù)無關(guān)。

(1) 以0°方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動某一角度造成底座面不水平的情況下，目標物方位測量的誤差分析。當水平的底座面以0°方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動α角造成底座面不水平(即底座面傾角為α，垂直面傾角φ=90°-α)時(圖1a)，目標物偏離垂直面。為使目標物重新落于垂直面上，則需逆時針(目標物位于底座面上方時)或順時針(目標物位于底座面下方時)水平轉(zhuǎn)動羅盤，當目標物落于垂直面上時，羅盤指針的讀數(shù)即是目標物的測量方位。由于羅盤初始指示目標物的方向正確，所以，羅盤轉(zhuǎn)動的角度實際上就是羅盤指向偏離目標物正確方位的角度，即目標物方位測量的誤差角，設(shè)為β(圖1b)。

圖1 以0°方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針旋轉(zhuǎn)α造成底座面不水平的情況下測量目標物方位示意圖

設(shè)目標物到羅盤所在水平面的垂直距離為h，羅盤所在位置與目標物在其水平面上的垂直投影點間的距離為l，從羅盤所在位置觀測目標物的仰角(或俯角)為γ(圖1b)，則tanγ=hl，sinβ=(tanα·h)l=tanα·tanγ，即β=arcsin(tanα·tanγ)。

由該測量過程可知，在垂直面傾角保持不變的情況下，隨著羅盤從初始指向的0°方向開始逆時針(或順時針)旋轉(zhuǎn)，則能夠落于垂直面上的目標物的高度可以越來越高(或低)，即其仰角(或俯角)可以越來越大。當?shù)鬃婺鏁r針或順時針水平轉(zhuǎn)動的角度增大到90°時，垂直面與羅盤所在水平面的交線和0°方向線相垂直，落于垂直面上的目標物的仰角(或俯角)增大到最大，等于垂直面的傾角。所以，上述目標物方位測量的誤差公式的適用條件為γ<(90°-α)。

(2) 以90°方向線為旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動某一角度造成底座面不水平的情況下，目標物方位測量的誤差分析。當?shù)鬃嫠綍r，垂直面與設(shè)定的90°方向線垂直，所以，當?shù)鬃嬉?0°方向線為旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時，垂直面始終不變且與水平面垂直，即羅盤始終指向目標物的正確方向。即底座面以90°方向線為旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動任意角度，對目標物方位的測量均不產(chǎn)生任何誤差。

(3) 以0° — 90°任一方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動某一角度造成底座面不水平的情況下，對目標物方位測量的誤差分析。以羅盤中心為原點O，以 0° — 90°的任一方向線(設(shè)該旋轉(zhuǎn)軸與0°方向線之間的夾角為θ)為Y軸，以水平面為XOY平面建立如圖2a所示的空間直角坐標系，則水平面XOY的法向量m=(0, 0, 1)，垂直面的法向量n=(cosθ, sinθ, 0)[9]。

當水平的底座面繞Y軸順時針轉(zhuǎn)動α′時，底座面與水平面的夾角亦為α′；同時，垂直面也同樣繞Y軸順時針轉(zhuǎn)動α′，其法向量由n變?yōu)閚′=(-cosθ·cosα′, -sinθ, cosθ·sinα′)(圖2b)。由于旋轉(zhuǎn)軸(即Y軸)不在垂直面上，所以，垂直面與水平面的夾角φ′≠90°-α′，且垂直面與XOY平面的交線隨旋轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)動角度的變化而與0°方向線呈不同的夾角ω(圖2b)。根據(jù)二面角計算公式cosφ′=(n′·m)(|n′||m|)，得cosφ′=(cosθ·sinα′)(cos2θ·cos2α′+sin2θ+cos2θ·sin2α′)=cosθ·sinα′，即φ′=arccos(cosθ·sinα′)。

由羅盤測量目標物方位的基本原理可知，水平的底座面以0° — 90°與0°方向夾角為θ的方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動α′造成底座面不水平(即底座面的傾角為α′，而垂直面傾角φ′≠90°-α′)時羅盤所處的狀態(tài)，與先使水平的底座面以0°方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動90°-φ′(即底座面傾角為 90°-φ′，而垂直面傾角為φ′)，再使羅盤逆時針水平轉(zhuǎn)動ω后羅盤所處的狀態(tài)完全相同(圖2b)。在該狀態(tài)基礎(chǔ)上，進一步使羅盤逆時針或順時針水平轉(zhuǎn)動某一角度，使目標物重新落于垂直面上時羅盤指針的讀數(shù)即為目標物的測量方位，其測量誤差等于以0°方向線為旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的羅盤第1次逆時針水平轉(zhuǎn)動的角度ω和第2次水平轉(zhuǎn)動的角度(逆時針轉(zhuǎn)動計為正值，順時針轉(zhuǎn)動計為負值)之和。即羅盤以 0° — 90°任一方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動某一角度造成底座面不水平的情況可轉(zhuǎn)換為羅盤以0°方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動某一角度造成底座面不水平的情況，該轉(zhuǎn)換的前提是這2種情況下垂直面的傾角相等。

圖2 以0° — 90°任一方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動α′造成底座面不水平的示意圖

所以，水平的底座面以0° — 90°與0°方向夾角為θ的方向線(圖2a)為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動α′時，底座面傾角為α′，垂直面傾角φ′為arccos(cosθ·sinα′)；而水平的底座面以0°方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動90°-φ′時，底座面傾角α為90°-φ′，垂直面傾角為φ′，即這2種情況下垂直面的傾角都為φ′。若目標物仰角(或俯角)為γ，則根據(jù)誤差公式β=arcsin(tanα·tanγ)可計算出以0° — 90°與0°方向夾角為θ的方向線(圖2a)為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動α′造成底座面不水平的情況下，目標物方位測量的誤差β′為：

β′=arcsin(tanα·tanγ)

=arcsin(tan(90°-φ′)·tanγ)

=arcsin(cotφ′·tanγ)

=arcsin(cot(arccos(cosθ·sinα′))·

tanγ)，其中γ<φ′。

綜上所述，只要垂直面傾角相同，則同一目標物方位測量的誤差就相同。即決定羅盤測量目標物方位誤差的因素有2個 —— 垂直面傾角和目標物仰角(或俯角)，而底座面的傾角并不是決定目標物方位測量誤差的因素，但其與垂直面的傾角存在一定的函數(shù)關(guān)系。在以0°方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動α造成底座面不水平的情況下，其目標物方位測量的誤差公式β=arcsin(tanα·tanγ) (其中γ<(90°-α))中之所以出現(xiàn)的是底座面的傾角α，而不是垂直面的傾角φ，是因為底座面傾角與垂直面的傾角直觀可見，且與垂直面傾角間存在簡單的互余關(guān)系，兩者可看作是同一個變量，即該測量方式下目標物方位的誤差公式也可寫成：

β= arcsin(cot(90°-α)·tanγ)

γ<(90°-α)

(1)

或β=arcsin(cotφ·tanγ)，γ<φ

(2)

3 誤差分析

實際上，若底座面傾角超過20°時，羅盤指針將由于無法自由轉(zhuǎn)動而不能進行測量，因此，本次探討的目標物方位誤差分析，僅討論其底座面傾角小于20°的情況。

由羅盤測量目標物方位的誤差公式式(1)和式(2)可知：目標物方位的誤差與γ成正比，而與垂直面的傾角φ成反比或與底座面的傾角α成正比；且隨著α或和γ的增大，目標物方位測量誤差β增大的速率也越來越大(圖3)。

當水平的底座面以0° — 90°與0°方向夾角為θ的方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動α′，與水平的底座面以0°方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動的α相等時，前一種情況下的垂直面的傾角φ′比后一種情況下的垂直面的傾角φ大，并隨著θ的增大，φ′增大的速率也越來越大(圖4)，當θ=90°時，φ′增大到90°。所以，水平的底座面在以0° — 90°任一方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動的角度和以0°方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動的角度相同的情況下(即底座面的傾角相等)，測量同一目標物的方位時，前者產(chǎn)生的誤差比后者要小，并隨著θ的增大，其測量誤差逐漸減小，且減小的速率越來越大，當θ增大到90°時，測量誤差減小到0(即無論羅盤如何轉(zhuǎn)動均不會產(chǎn)生任何誤差)。

圖3 以0°方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動造成底座面不水平時目標物方位測量的誤差等值線

圖4 以0° — 90°任一方向線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動造成底座面不水平時垂直面的傾角φ′等值線

4 結(jié) 語

(1) 決定羅盤測量目標物方位誤差的因素有2個 —— 垂直面的傾角和目標物的仰角(或俯角)，而底座面的傾角不是決定目標物方位測量誤差的因素，但其與垂直面的傾角之間存在一定的函數(shù)關(guān)系。

(2) 目標物方位測量的誤差與目標物的仰角(或俯角)成正比，與垂直面的傾角成反比(或與底座面的傾角成正比)，且隨著目標物仰角(或俯角)的增大或(和)垂直面傾角的減小(或底座面傾角的增大)，目標物方位測量的誤差增大的速率越來越大。

(3) 水平的底座面在以目標物的不正確方位線為旋轉(zhuǎn)軸和以目標物的正確方位線為旋轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn)動相同角度(即底座面傾角相等)造成底座面不水平的情況下測量同一目標物的方位時，前一種情況下的測量誤差要比后一種情況小，并隨著轉(zhuǎn)動軸與目標物的正確方位線之間夾角的增大，其測量誤差逐漸減小且減小的速率越來越大。當轉(zhuǎn)動軸與目標物正確方位線之間的夾角增大到90°時，其測量誤差減小到0(即無論羅盤如何轉(zhuǎn)動均不會產(chǎn)生任何誤差)。

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