有限分布源與瞬時(shí)源濃度分布計(jì)算的分類準(zhǔn)則

武周虎

（青島理工大學(xué) 環(huán)境與市政工程學(xué)院，山東 青島 266033）

1 研究背景

有毒有害物質(zhì)進(jìn)入水環(huán)境的途徑包括事故直接導(dǎo)致和事故處理處置過程的間接導(dǎo)致，污染物進(jìn)入水體的排放方式一般包括“瞬時(shí)源”、“有限時(shí)段源”和“起始有限分布源”。在《環(huán)境水力學(xué)》［1-3］中，從瞬時(shí)平面源一維擴(kuò)散濃度分布的解析解出發(fā)，依次得到了瞬時(shí)線源二維擴(kuò)散和瞬時(shí)點(diǎn)源三維擴(kuò)散濃度分布的解析解以及一、二、三維起始有限分布源相應(yīng)的一、二、三維擴(kuò)散濃度分布的解析解。

張江山［4-5］在瞬時(shí)點(diǎn)源條件下探討了三維超標(biāo)污染區(qū)域的幾何特征及最大超標(biāo)范圍，并通過瞬時(shí)線源二維示蹤實(shí)驗(yàn)給出了確定河流縱向離散系數(shù)和橫向混合系數(shù)的線性回歸法，但對瞬時(shí)點(diǎn)源和線源的適用條件未作討論。武周虎［6］在求解了有限時(shí)段源一維水質(zhì)模型方程解析解的基礎(chǔ)上，提出了將“有限時(shí)段源”簡化為“瞬時(shí)排放源”的判別條件，定義并給出了“無量綱數(shù)”的定量判據(jù)，解決了多年來困擾環(huán)境水力學(xué)學(xué)術(shù)界“瞬時(shí)源”排放時(shí)間的相對長短問題。但仍缺乏一、二、三維起始有限分布源與瞬時(shí)平面源、線源、點(diǎn)源的分類準(zhǔn)則，給水環(huán)境影響預(yù)測計(jì)算公式的選擇帶來困難［7］。在數(shù)學(xué)上，平面源、線源和點(diǎn)源依次是沒有厚度、粗細(xì)和大小的。但在污染物擴(kuò)散計(jì)算中，通常需要假設(shè)在有限分布源的空間尺度相對于污染物擴(kuò)散計(jì)算的空間尺度很小時(shí)，可近似按平面源或線源或點(diǎn)源來處理。尚缺乏定量的判據(jù)和誤差控制范圍，給教學(xué)過程和實(shí)際工作帶來不便。

本文從一、二、三維起始有限分布源和瞬時(shí)平面源、線源、點(diǎn)源相應(yīng)維度擴(kuò)散濃度分布的解析解出發(fā)，通過相應(yīng)維度擴(kuò)散濃度分布及其特性分析與比較，提出一、二、三維起始有限分布源分別簡化為瞬時(shí)平面源、線源、點(diǎn)源的臨界條件，給出相應(yīng)的污染源分類準(zhǔn)則，為建設(shè)項(xiàng)目水環(huán)境風(fēng)險(xiǎn)影響預(yù)測與評價(jià)以及增強(qiáng)《環(huán)境風(fēng)險(xiǎn)防范措施和環(huán)境風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)急預(yù)案》的可靠性，提供理論支持。

2 一維起始有限分布源與瞬時(shí)平面源的分類準(zhǔn)則

2.1一維擴(kuò)散濃度分布分析與比較設(shè)在一維無限長的清水環(huán)境中，有一段起始濃度均勻、分布長度為2a的有限分布源。坐標(biāo)原點(diǎn)O設(shè)在有限分布源的中心處，取x軸與一維水體的軸線平行，如圖1所示。

圖1 一維起始有限分布源示意

一維起始有限分布源擴(kuò)散污染物的濃度分布為［1-2］：

式中：C(t，x)為t時(shí)間x處的污染物濃度；C0為有限分布源的起始污染物濃度；Dx為x方向的擴(kuò)散系數(shù)。濃度單位為mg/L，其它參數(shù)和自變量采用m-s單位制。

瞬時(shí)平面源一維擴(kuò)散污染物的濃度分布為［1-2］：

式中：M0為t=0時(shí)間x=0處瞬時(shí)平面源的污染物總排放量；A為一維水體的斷面面積；其它符號同前。取M0等于一維起始有限分布源的污染物總排放量2aAC0，代入式（2）變?yōu)椋?/p>

為了便于分析與比較，對式（1）和式（3）作無量綱處理。令污染物的相對濃度C′=C/C0；無量綱縱向坐標(biāo) x′=x/2a。定義：無量綱數(shù)（即：Wu’s數(shù)），對一維問題，Wu=Wux。表示起始有限分布源的長度2a與t時(shí)間、x方向濃度分布的特征長度（）比值。為t時(shí)間濃度分布的標(biāo)準(zhǔn)差，最大濃度兩側(cè)區(qū)間對應(yīng)濃度分布曲線與x軸所圍面積占總面積的比例為52.05%。

將以上無量綱參數(shù)代入式（1）整理得到一維起始有限分布源擴(kuò)散的相對濃度分布為：

將以上無量綱參數(shù)代入式（3）整理得到瞬時(shí)平面源一維擴(kuò)散的相對濃度分布為：

在一維有限分布源的長度和擴(kuò)散系數(shù)不變的條件下，無量綱數(shù)Wu僅與t-0.5成正比，即Wu隨擴(kuò)散時(shí)間的增大迅速減小。在污染源排放的初始時(shí)間t=0，相應(yīng)的Wu=∞。給定一系列無量綱數(shù)Wu=5.0，2.0，1.0，0.5，由式（4）和式（5）分別計(jì)算一維起始有限分布源與瞬時(shí)平面源一維擴(kuò)散的相對濃度分布，點(diǎn)繪于圖2進(jìn)行比較.

由圖2（a）看出，一維起始有限分布源的擴(kuò)散受起始濃度分布長度的直接作用，在擴(kuò)散時(shí)間較小、無量綱數(shù)Wu較大時(shí)，相對濃度分布呈矮胖型，中間出現(xiàn)平頂段，最大相對濃度等于1；隨著擴(kuò)散時(shí)間的增大，無量綱數(shù)Wu迅速減小，濃度分布曲線的中間平頂段消失，最大相對濃度逐步下降，污染物的分布范圍逐漸擴(kuò)大。由圖2（b）看出，對污染物總排放量相同的瞬時(shí)平面源的一維擴(kuò)散而言，在擴(kuò)散時(shí)間較小、無量綱數(shù)Wu較大時(shí)，相對濃度分布呈瘦高型，最大相對濃度遠(yuǎn)大于1，污染物主要集中在最大值附近；隨著擴(kuò)散時(shí)間的增大，無量綱數(shù)Wu迅速減小，最大相對濃度迅速下降，污染物的分布范圍迅速擴(kuò)大。

圖2 一維擴(kuò)散的相對濃度分布比較

由圖2（a）（b）比較看出，隨著擴(kuò)散時(shí)間的進(jìn)一步增大，當(dāng)無量綱數(shù)Wu減小到小于1時(shí)，一維起始有限分布源與瞬時(shí)平面源一維擴(kuò)散的最大相對濃度和相對濃度分布逐步趨于一致。在文獻(xiàn)［8］中，瞬時(shí)平面源一維擴(kuò)散的濃度分布圖3-3和一維起始有限分布源擴(kuò)散的濃度分布圖3-5，在擴(kuò)散時(shí)間t較小時(shí)的分布曲線繪制明顯錯(cuò)誤；在有邊界反射的擴(kuò)散濃度分布圖3-6和圖3-7中出現(xiàn)明顯不滿足邊界條件的情況。

2.2一維起始有限分布源簡化為瞬時(shí)平面源的判據(jù)將x′=0代入式（4）得到擴(kuò)散時(shí)間t、相應(yīng)無量綱數(shù)Wu條件下，一維起始有限分布源擴(kuò)散的最大相對濃度為：

將x′=0代入式（5）得到擴(kuò)散時(shí)間t、相應(yīng)無量綱數(shù)Wu條件下，瞬時(shí)平面源一維擴(kuò)散的最大相對濃度為：

由式（7）和式（6）得到擴(kuò)散時(shí)間t、相應(yīng)無量綱數(shù)Wu條件下，瞬時(shí)平面源與起始有限分布源擴(kuò)散的最大濃度比值為：

由式（6）—（8）看出，一維起始有限分布源與瞬時(shí)平面源一維擴(kuò)散的最大相對濃度以及它們的比值，僅與無量綱數(shù)Wu有關(guān)，瞬時(shí)平面源一維擴(kuò)散的最大相對濃度與Wu呈線性增長關(guān)系。圖3給出了瞬時(shí)平面源一維擴(kuò)散的最大相對濃度C′m、一維起始有限分布源擴(kuò)散的最大相對濃度C′m1以及它們的比值函數(shù)f（Wu）與無量綱數(shù)Wu的變化關(guān)系。

圖3 有限分布源、瞬時(shí)平面源的最大濃度及其比值與Wu的關(guān)系

由圖3看出，一維起始有限分布源擴(kuò)散的最大相對濃度C′m1隨Wu呈單調(diào)遞增關(guān)系，其值在Wu＞3時(shí)很快趨近于極大值1，而當(dāng)Wu減小到小于1時(shí)，則以瞬時(shí)平面源一維擴(kuò)散的最大相對濃度為漸近線。最大濃度的比值函數(shù)f（Wu）隨Wu呈單調(diào)遞增關(guān)系，當(dāng)Wu→0時(shí)，f（Wu）→1。也就是說，當(dāng)擴(kuò)散時(shí)間較大、Wu→0時(shí)，一維起始有限分布源與瞬時(shí)平面源擴(kuò)散的最大濃度值有一個(gè)漸近過程。

據(jù)此定義：將瞬時(shí)平面源與起始有限分布源擴(kuò)散的最大濃度比值等于1.05，作為一維起始有限分布源可以簡化為瞬時(shí)平面源一維擴(kuò)散的分類臨界條件。由式（8）和圖3不難得到，一維起始有限分布源與瞬時(shí)平面源擴(kuò)散的無量綱臨界判據(jù)為：

那么，一維起始有限分布源簡化為瞬時(shí)平面源擴(kuò)散的判別條件為：

或者：

2.3一維分類臨界狀態(tài)的濃度分布比較及其標(biāo)準(zhǔn)差分析將無量綱臨界判據(jù)Wuk1=0.77代入式（4）和式（5）分別計(jì)算一維起始有限分布源和瞬時(shí)平面源一維擴(kuò)散的相對濃度分布，點(diǎn)繪于圖4。

圖4 在臨界狀態(tài)時(shí)，有限分布源與瞬時(shí)平面源的濃度分布比較

由圖4看出，在分類臨界狀態(tài)時(shí)，一維起始有限分布源與瞬時(shí)平面源擴(kuò)散的相對濃度分布特征、規(guī)律和變化趨勢完全一致。前者分布源的最大相對濃度為0.4139，后者瞬時(shí)源的最大相對濃度為0.4344，兩者的相對誤差為5.0%。瞬時(shí)平面源一維擴(kuò)散相對濃度分布（正態(tài)分布）的標(biāo)準(zhǔn)差；采用數(shù)值積分法計(jì)算一維起始有限分布源擴(kuò)散相對濃度分布的標(biāo)準(zhǔn)差為0.9639，兩者標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差為-4.7%。說明采用瞬時(shí)平面源與起始有限分布源擴(kuò)散最大濃度相對誤差5.0%確定的分類臨界條件，同時(shí)也滿足兩者濃度分布標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差絕對值小于5.0%的要求。

根據(jù)濃度分布特性，峰值點(diǎn)兩側(cè)對稱區(qū)間分布寬度4σx′范圍內(nèi)的污染物質(zhì)量占總排放量的95.5%。因此，在臨界狀態(tài)時(shí)，污染物的分布寬度是一維起始有限分布源長度2a的4σx′=3.67倍。由圖3可知，隨著擴(kuò)散歷時(shí)的進(jìn)一步增大，無量綱數(shù)Wu不斷減小，兩者計(jì)算結(jié)果的相對誤差將進(jìn)一步減小，相對濃度分布曲線和特性的吻合程度將進(jìn)一步提高。

3 二維起始有限分布源與瞬時(shí)線源的分類準(zhǔn)則

3.1二維擴(kuò)散濃度分布分析設(shè)在二維無限域清水環(huán)境中，有一起始濃度均勻、分布面積為長×寬=2a×2b的有限分布源。坐標(biāo)原點(diǎn)O設(shè)在有限分布源的中心點(diǎn)，取x、y軸分別與2a長邊和2b寬邊平行，如圖5所示。垂直于XOY平面為無限延伸或等水深“柱狀源”或“線源”條件，下面按單位水深進(jìn)行分析。

二維起始有限分布源擴(kuò)散污染物的濃度分布為［1-2］

圖5 二維起始有限分布源示意圖

式中：C（t，x，y）為t時(shí)間、（x，y）點(diǎn)的污染物濃度；C0為有限分布源的起始污染物濃度；Dx、Dy分別為x、y方向的擴(kuò)散系數(shù)。

瞬時(shí)線源二維擴(kuò)散污染物的濃度分布為［1-2］：

式中：m0為t=0時(shí)間、（x=y=0）點(diǎn)單位水深上瞬時(shí)線源的污染物總排放量。取m0等于二維起始有限分布源單位水深上的污染物總排放量（2a×2b）C0，代入式（13）變?yōu)椋?/p>

將以上無量綱參數(shù)代入式（12）整理得到二維起始有限分布源擴(kuò)散的相對濃度分布為：

將以上無量綱參數(shù)代入式（14）整理得到瞬時(shí)線源二維擴(kuò)散的相對濃度分布為：

在二維有限分布源的長度、寬度和擴(kuò)散系數(shù)不變的條件下，無量綱數(shù)Wux和Wuy僅與t-0.5成正比，即Wux和Wuy隨擴(kuò)散時(shí)間的增大迅速減小。對不同的擴(kuò)散時(shí)間t，計(jì)算無量綱數(shù)Wux和Wuy，由式（15）和式（16）分別繪制x、y坐標(biāo)軸上二維起始有限分布源與瞬時(shí)線源二維擴(kuò)散的相對濃度分布曲線進(jìn)行比較，其情況類似于圖2（a）（b）的比較，分析從略。

3.2二維起始有限分布源簡化為瞬時(shí)線源的判據(jù)將 x′=y′=0代入式（16）和式（15）分別得到擴(kuò)散時(shí)間t、相應(yīng)無量綱數(shù)Wux和Wuy條件下，瞬時(shí)線源與二維起始有限分布源擴(kuò)散的最大相對濃度。兩者相除，可以得到瞬時(shí)線源與二維起始有限分布源擴(kuò)散的最大濃度比值為：

由圖3可知，函數(shù) f(Wu)隨Wu呈單調(diào)遞增關(guān)系，當(dāng)Wu→0時(shí)， f(Wu)→1。為了獲得瞬時(shí)線源與二維起始有限分布源擴(kuò)散最大濃度相對誤差5%的分類臨界條件，假設(shè)：

據(jù)此，由式（17）得到瞬時(shí)線源與二維起始有限分布源擴(kuò)散的最大濃度比值為：

說明將滿足式（18）條件的無量綱數(shù)Wuk2，作為二維起始有限分布源可以簡化為瞬時(shí)線源二維擴(kuò)散的分類臨界條件，可實(shí)現(xiàn)瞬時(shí)線源與起始有限分布源擴(kuò)散最大濃度的最大相對誤差范圍為2.5%～5.1%。根據(jù)式（18）的條件，由圖3和式（8）得到二維起始有限分布源與瞬時(shí)線源擴(kuò)散的無量綱臨界判據(jù)為：

那么，二維起始有限分布源簡化為瞬時(shí)線源擴(kuò)散的判別條件為：

或者：

由式（22）看出，二維起始有限分布源簡化為瞬時(shí)線源擴(kuò)散的判別條件取決于x或y坐標(biāo)方向的有限分布源長度平方與相應(yīng)方向的擴(kuò)散系數(shù)之比。對天然河流，縱向離散系數(shù)和橫向混合系數(shù)參照文獻(xiàn)［9-10］中給出的方法確定。

3.3二維分類臨界狀態(tài)坐標(biāo)軸上的濃度分布比較及其標(biāo)準(zhǔn)差分析將無量綱臨界判據(jù)Wuk2=0.55（=Wux=Wuy）代入式（15）和式（16）分別計(jì)算x、y坐標(biāo)軸上二維起始有限分布源和瞬時(shí)線源二維擴(kuò)散的相對濃度分布，垂向坐標(biāo)按25×C′值點(diǎn)繪于圖6。

圖6 在臨界狀態(tài)時(shí)，有限分布源與瞬時(shí)線源的濃度分布比較

由圖6看出，在分類臨界狀態(tài)時(shí)，二維起始有限分布源與瞬時(shí)線源擴(kuò)散的相對濃度分布特征、規(guī)律和變化趨勢完全一致。前者分布源的最大相對濃度為0.0916，后者瞬時(shí)源的最大相對濃度為0.0963，兩者的相對誤差為5.1%。在x軸（y=0）上，瞬時(shí)線源二維擴(kuò)散相對濃度分布（正態(tài)分布）的標(biāo)準(zhǔn)差；采用數(shù)值積分法計(jì)算二維起始有限分布源擴(kuò)散相對濃度分布的標(biāo)準(zhǔn)差為1.3186，兩者標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差為-2.5%。表明，在最大濃度的相對誤差5.0%條件下，二維比一維擴(kuò)散相對濃度分布標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差絕對值更小。

由于采用無量綱數(shù)Wux和Wuy同時(shí)滿足臨界判據(jù)Wuk2=0.55的條件，所以，在y軸（x=0）上，二維擴(kuò)散相對濃度分布與x軸上的相同，分析從略。在x、y軸上，污染物的分布寬度是二維起始有限分布源相同方向長度的4σ′=5.14倍。

4 三維起始有限分布源與瞬時(shí)點(diǎn)源的分類準(zhǔn)則

4.1三維擴(kuò)散濃度分布分析三維起始有限分布源，又稱為瞬時(shí)有限體積源。設(shè)在三維無限域清水環(huán)境中，有一起始濃度均勻、分布體積為長×寬×高=2a×2b×2d的有限體積源。坐標(biāo)原點(diǎn)O設(shè)在有限體積源的中心點(diǎn)，取x、y、z軸分別與2a長邊、2b寬邊、2d高邊平行。

三維起始有限分布源擴(kuò)散污染物的濃度分布為［1-2］：

式中：C（t，x，y，z）為t時(shí)間、（x，y，z）點(diǎn)的污染物濃度；C0為有限體積源的起始污染物濃度；Dx、Dy、Dz分別為x、y、z方向的擴(kuò)散系數(shù)。

瞬時(shí)點(diǎn)源三維擴(kuò)散污染物的濃度分布為［1-2］：

式中：M0為t=0時(shí)間、（x=y=z=0）點(diǎn)瞬時(shí)點(diǎn)源的污染物總排放量。取M0等于三維起始有限分布源的污染物總排放量（2a×2b×2d）C0，代入式（24）變?yōu)椋?/p>

將以上無量綱參數(shù)代入式（23），并令x′=y′=z′=0，整理得到三維起始有限分布源擴(kuò)散的最大相對濃度為：

將以上無量綱參數(shù)代入式（25），并令 x′=y′=z′=0，整理得到瞬時(shí)點(diǎn)源三維擴(kuò)散的最大相對濃度為：

在三維有限分布源的長度、寬度、高度和擴(kuò)散系數(shù)不變的條件下，無量綱數(shù)Wux、Wuy和Wuz僅與t-0.5成正比，即Wux、Wuy和Wuz隨擴(kuò)散時(shí)間的增大迅速減小。對不同的擴(kuò)散時(shí)間t，計(jì)算無量綱數(shù)Wux、Wuy和Wuz，由式（26）和式（27）分別得到瞬時(shí)有限體積源和瞬時(shí)點(diǎn)源三維擴(kuò)散的最大相對濃度進(jìn)行比較，關(guān)于三維濃度分布的分析比較從略。

4.2三維起始有限分布源簡化為瞬時(shí)點(diǎn)源的判據(jù)由式（27）與式（26）相除，可以得到瞬時(shí)點(diǎn)源與三維起始有限分布源擴(kuò)散的最大濃度比值為：

為了獲得瞬時(shí)點(diǎn)源與三維起始有限分布源擴(kuò)散最大濃度相對誤差5%的分類臨界條件，假設(shè)：

據(jù)此，由式（28）得到瞬時(shí)點(diǎn)源與三維起始有限分布源擴(kuò)散的最大濃度比值為：

說明將滿足式（29）條件的無量綱數(shù)Wuk3，作為三維起始有限分布源可以簡化為瞬時(shí)點(diǎn)源三維擴(kuò)散的分類臨界條件，可實(shí)現(xiàn)瞬時(shí)點(diǎn)源與起始有限分布源擴(kuò)散最大濃度的最大相對誤差范圍為1.6%～4.9%。根據(jù)式（29）的條件，由圖3和式（8）得到三維起始有限分布源與瞬時(shí)點(diǎn)源擴(kuò)散的無量綱臨界判據(jù)為：

那么，三維起始有限分布源簡化為瞬時(shí)點(diǎn)源擴(kuò)散的判別條件為：

或者：

4.3三維分類臨界狀態(tài)最大濃度與坐標(biāo)軸上濃度分布的標(biāo)準(zhǔn)差分析將無量綱臨界判據(jù)Wuk3=0.44（=Wux=Wuy=Wuz）代入式（26）和式（27）得到三維起始有限分布源和瞬時(shí)點(diǎn)源擴(kuò)散的最大相對濃度分別為0.0146和0.0153，兩者的相對誤差為4.9%。在x軸（y=z=0）上，瞬時(shí)點(diǎn)源三維擴(kuò)散相對濃度分布（正態(tài)分布）的標(biāo)準(zhǔn)差。在最大濃度的相對誤差5.0%條件下，三維比二維和一維擴(kuò)散相對濃度分布標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差絕對值更小。

由于采用無量綱數(shù)Wux、Wuy和Wuz同時(shí)滿足臨界判據(jù)Wuk3=0.44的條件，所以，在y軸和z軸上，三維擴(kuò)散相對濃度分布與x軸上的相同，分析從略。在x、y、z軸上，污染物的分布寬度是三維起始有限分布源相同方向長度的4σ′=6.43倍。

值得一提的是，在水環(huán)境影響預(yù)測中，擴(kuò)散時(shí)間t往往以“小時(shí)”或“天”進(jìn)行計(jì)算，其擴(kuò)散時(shí)間的“秒”數(shù)值一般較大。因此，起始有限分布源簡化為瞬時(shí)平面源、線源、點(diǎn)源擴(kuò)散的判別條件式（11）、式（22）和式（33）還是比較容易得到滿足的，其分類準(zhǔn)則具有很好的應(yīng)用前景。

5 結(jié)論

（1）從一、二、三維起始有限分布源和瞬時(shí)平面源、線源、點(diǎn)源相應(yīng)維度擴(kuò)散濃度分布的解析解出發(fā)，提出了以起始有限分布源與相應(yīng)維度瞬時(shí)源擴(kuò)散的最大濃度相對誤差5.0%作為分類臨界點(diǎn)。研究表明，分類臨界狀態(tài)的濃度分布標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差絕對值小于5.0%。（2）定義了Wu’s數(shù)分別給出了一、二、三維起始有限分布源與瞬時(shí)平面源、線源、點(diǎn)源分類的臨界Wu’s數(shù)Wuk1=0.77、Wuk2=0.55、Wuk3=0.44。（3）給出了一、二、三維起始有限分布源分別簡化為瞬時(shí)平面源、線源、點(diǎn)源擴(kuò)散的判別條件：Wu=Wux≤Wuk1、和否則，應(yīng)按相應(yīng)維度起始有限分布源的擴(kuò)散計(jì)算污染物濃度分布。（4）提出的各維度污染源分類準(zhǔn)則，同樣適用于非保守物質(zhì)和移流擴(kuò)散問題的污染源分類。

［1］FISCHER H B，IMBERGER J，LIST E J，et al.Mixing in Inland and Coastal Waters［M］.New York：Academic Press，1979.

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