淺談平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三角形的坐標(biāo)面積公式的推導(dǎo)及應(yīng)用

【摘要：】本文在平面直角坐標(biāo)系中尋求一種既能解決定點(diǎn)三角形面積問題，又能解決動點(diǎn)三角形面積問題的方法，并把這種方法以公式的方式固定下來，以提高學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的理解能力和解決實(shí)際問題的能力.

【關(guān)鍵詞：】坐標(biāo)面積公式、定點(diǎn)、動點(diǎn)、逆向思維

初中階段求三角形面積的方法有很多，常見的有直接計(jì)算法與割補(bǔ)法.本文在此基礎(chǔ)上總結(jié)出一種利用坐標(biāo)計(jì)算三角形面積的方法，對涉及平面直角坐標(biāo)系中三角形面積問題時(shí)，用這種方法計(jì)算能省時(shí)省力.

一、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三角形的坐標(biāo)面積公式的推導(dǎo)

例1，如圖，三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC），求S△ABC.

解：過點(diǎn)A 作EF∥x軸，分別過點(diǎn)B、C作y軸的平行線交直線EF于點(diǎn)E、F，

S△ABC= S梯形EBCF-S△AEB-S△AFC

= （yA-yB+yA-yC）（xC-xB）- （yA-yB）（xA-xB）- （ yA-yC）（xC-xA）

= [（ xA yB + xB yC + xC yA）-（yA xB + yB xC + yC xA）]

把上式中的xA yB 、 xB yC 、 xC yA、yA xB 、 yB xC 、 yC xA分別記為①、②、③、④、⑤、⑥，則三角形ABC的面積公式可以表示為：

則S△ABC= [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]

如果把三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)按逆時(shí)針排序如下：

則公式S△ABC= [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]可以描述為：三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)逆時(shí)針排序一周，則這個(gè)三角形的面積等于“大跨度積之和”與“小跨度積之和”之差除以2.

如果把三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)按順時(shí)針排序如下：

則 [（⑥+⑤+④）-（③+②+①）]=- [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]，這時(shí)S△ABC= [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]=- [（⑥+⑤+④）-（③+②+①）]，這個(gè)公式可以描述為：三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)順時(shí)針排序一周，則這個(gè)三角形的面積等于“大跨度積之和”與“小跨度積之和”之差除以2的相反數(shù).

二、三角形坐標(biāo)面積公式的應(yīng)用

（一） 求定點(diǎn)三角形的面積

例2，、已知，三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，3）、B（6，-1） 、

C（4，5），求S△ABC.

解法一（點(diǎn)的坐標(biāo)逆時(shí)針排序一周）：

∴S△ABC= [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]（三角形坐標(biāo)面積公式）

= [（2+30+12）-（18-4-10）]

= ×40

=20

解法二（點(diǎn)的坐標(biāo)順時(shí)針排序一周）：

∴S△ABC=- [（⑥+⑤+④）-（③+②+①）]（三角形坐標(biāo)面積公式）

=- [（-10-4+18）-（12+30+2）]

=- ×（-40）

=20

（二） 求動點(diǎn)三角形的面積

例3，、如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線AB與拋物線y=x2+x的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A （-1，0）、B（1，2）.

（1）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q （x，y），且-1

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S△ABP=2？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解：（1）結(jié)論：存在.

理由：∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），且在拋物線上，

∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=x2+x，

△ABQ三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)逆時(shí)針排序一周如下：

∴S△ABQ= [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）] （三角形坐標(biāo)面積公式）

= [（-y +2x+0）-（0+ y-2）]

= （-2y +2x+2）

=-y +x+1

=-（x2+x）+x+1

=-x2 +1

當(dāng)x=- =- =0時(shí)，S△ABQ最大=1，此時(shí)y=x2+x=02+0=0.

∴滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，0），S△ABQ的最大值為1.

（2）結(jié)論：存在.

理由：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），且在拋物線上，

∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=x2+x，

以上△ABP三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)排序可能是逆時(shí)針（x<-1或x>1），也可能是順時(shí)針（-1< x<1），

∴ [（①+②+③）-（④+⑤+⑥）]=±2（三角形坐標(biāo)面積公式）

[（-2+ y +0）-（0+2x-y）]=±2

y-x-1=±2

（x2+x）-x-1=±2

x2-1=±2

可得兩個(gè)方程：x2=3，x2=-1（無解），

解x2=3，得x1=- ，x2= ，從而可得y1=3- ，y2=3+ .

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)有兩個(gè)點(diǎn)P1（- ，3- ）、P2（ ，3+ ）.

總之，三角形的面積用坐標(biāo)的形式公式化以后，可為學(xué)生提供解決定點(diǎn)簡單問題和動點(diǎn)復(fù)雜問題的通法，對解決實(shí)際問題起到事半功倍的作用.

參考書目

初、高中教材

《數(shù)學(xué)公式大全》

作者姓名李春紅，郵編652100，電話13518705803，地址：昆明市宜良縣第二中學(xué)，郵箱498396017@qq.com