基于有限元方法的階梯形超聲變幅桿的設(shè)計與修正

王忠進，繆興華，胡神陽，汪煒

（南京航空航天大學機電學院，江蘇南京210016）

超聲變幅桿在超聲技術(shù)、特別是功率超聲設(shè)備的振動系統(tǒng)中有著舉足輕重的地位，其主要作用是將機械振動的質(zhì)點位移或速度放大，或?qū)⒊暷芰考性谳^小的面積上，即具有聚能作用[1]。由于超聲換能器的輸出振幅只有幾微米，但在功率超聲加工領(lǐng)域所需振幅要達到幾十甚至幾百微米，所以換能器必須和變幅桿配合，才能輸出所需的振幅。

按照振動方向可將變幅桿分為縱向振動、彎曲振動、扭轉(zhuǎn)振動三大類。其中，縱向振動變幅桿可分為簡單形和復(fù)合形，簡單形又可分為指數(shù)形、圓錐形、懸鏈形及階梯形，復(fù)合形則是由各種簡單形變幅桿根據(jù)實際需要組合而成的[2]。變幅桿的設(shè)計方法主要有解析法和等效電路法，其計算量較大，且結(jié)果存在誤差[3]。本文采用解析法設(shè)計變幅桿，使用CRO/E建立三維模型，并運用ANSYS Workbench對變幅桿進行模態(tài)分析[4]，同時對階梯形變幅桿頻率修正的過程進行仿真分析，根據(jù)修正的仿真結(jié)果指導(dǎo)修正過程，以此提高修正效率。

1 變幅桿的理論分析與設(shè)計

1.1 變截面桿縱振動的波動方程

某變截面桿見圖1。假設(shè)變幅桿是由均勻且各向同性的材料構(gòu)成，不計機械阻抗，且橫截面上各點所受的應(yīng)力均勻。其對稱軸為坐標軸x，作用在小體元（x，x+dx）所限定的區(qū)間上的張力為dx，根據(jù)牛頓定律可寫出動力學方程為[1]：

圖1 變截面桿的縱振動

式中：S=S（x）為桿的橫截面積函數(shù)；ξ=ξ（x）為質(zhì)點位移函數(shù)為應(yīng)力函數(shù)；ρ為變幅桿的材料密度；E為楊氏模量。

在簡諧振動的情況下，式（1）可寫成：

式中：k2=w2/c2。其中，k為圓波數(shù)；w為圓頻率；c為縱波在細棒中的傳播速度式（2）即為變截面桿縱振動的波動方程。

1.2 階梯形變幅桿的理論分析

如圖2所示，階梯形變幅桿由兩段不同截面積的均勻桿組成，其中直徑較大的一端為大端，直徑較小的一端為小端，以下統(tǒng)一簡稱為大端、小端。

圖2 變幅桿示意圖

由此可得到均勻截面桿的波動方程為：

式為：

1.3 階梯型變幅桿的設(shè)計

為實現(xiàn)整個超聲振動系統(tǒng)的共振，變幅桿的固有頻率應(yīng)與換能器的諧振頻率一致，即尺寸必須滿足頻率方程，變幅桿的設(shè)計頻率為整個振動系統(tǒng)的設(shè)計頻率。

1.3.1 超聲變幅桿和工具頭的材料選擇

超聲變幅桿的材料特性決定其傳振效果和放大倍數(shù)，要求材料在振動時的損耗小、疲勞強度高，且聲阻抗和工具頭、換能器匹配。符合上述要求的金屬材料有鈦合金、45鋼、鋁合金、銅鎳合金等。其中，鈦合金的性能較好，但機械加工較困難，價格相對較貴，故一般選用45鋼、鋁合金等材料?？紤]到超聲波在不同介質(zhì)中傳播聲阻抗匹配，能量損耗較多，且換能器前蓋板采用鋁合金研制，故選用硬鋁作為超聲變幅桿的材料；考慮到工具頭在加工過程中磨損嚴重，故選擇模具鋼作為工具頭的材料。變幅桿、工具頭的材料性能參數(shù)見表1。

表1 材料性能參數(shù)表

1.3.2 變幅桿尺寸計算

設(shè)計變幅桿的工作頻率為28 kHz、大端直徑D1=25 mm、小端直徑D2=15 mm。如圖3所示，變幅桿總長為波長的二分之一，其中波長λ為：

由式（6）、式（7）可得α=0.5、N=1.67，通過查手冊可知過渡圓角R取值5 mm[2]。

圖3 變幅桿設(shè)計示意圖

1.3.3 工具頭對變幅桿的影響

在設(shè)計工具頭時，可將其看作直徑為15 mm、長度為14 mm的圓柱體。由于工具頭的直徑小于波長的十分之一（15 mm＜18 mm），長度小于波長的四分之一（14 mm＜45 mm），因此，在設(shè)計階段可根據(jù)公式計算工具頭的等效質(zhì)量，以減小設(shè)計任務(wù)的復(fù)雜性。如圖4所示，根據(jù)機電類比[5-7]：

由此可得lb′=28 mm。則b′=b-lb′=12 mm。因此，變幅桿大端長度為55 mm，小端長度為12 mm，過渡圓角R=5 mm。

圖4 工具頭對變幅桿諧振頻率的影響示意圖

2 超聲變幅桿的有限元分析

為了驗證微細超聲振動系統(tǒng)設(shè)計的合理性，采用ANSYS Workbench 15.0仿真分析軟件對變幅桿和工具頭進行模態(tài)分析，主要用于確定變幅桿和工具頭的固有頻率及振型。具體分析步驟為：①建立有限元模型，設(shè)置材料特性；②定義接觸區(qū)域；③定義網(wǎng)格控制并劃分網(wǎng)格；④施加載荷與邊界條件；⑤定義分析類型；⑥設(shè)置求解頻率選項；⑦對問題進行求解；⑧對結(jié)果進行評價分析，具體表現(xiàn)為確定諧振頻率及振型。

根據(jù)上述設(shè)計尺寸，在CRO/E軟件中對超聲變幅桿及工具頭進行三維建模，并將其導(dǎo)入ANSYS中，利用自動網(wǎng)格劃分功能對變幅桿和工具頭進行網(wǎng)格劃分[8]，結(jié)果見圖5。

圖5 超聲變幅桿和工具頭的網(wǎng)格劃分模型

設(shè)置模態(tài)分析的頻率范圍為20～80 kHz，共求得6個諧振頻率。在模態(tài)分析時，假設(shè)工具頭和變幅桿不承受任何載荷；在裝夾時，僅對變幅桿節(jié)面處的圓周面進行固定。所設(shè)計的工具頭和變幅桿的諧振頻率為28 kHz，由圖6可知，與之最接近的頻率為28.206 kHz[9]。由此可得出結(jié)論：在此頻率下，變幅桿和工具頭處于厚度方向振動狀態(tài)，即設(shè)計對應(yīng)的振型為縱振模式，該仿真結(jié)果與理論設(shè)計的偏差為0.736%。同時還可看出，端面的輸出振幅最大，設(shè)計節(jié)面位置的位移為零，滿足設(shè)計要求。

圖6 諧振頻率分析結(jié)果

3 超聲變幅桿的修正

由于存在加工誤差，加上變幅桿的材料金相組織分布不均勻且含有雜質(zhì)等原因，使制作出的變幅桿頻率與設(shè)計的理論值不符，故需對變幅桿加以修正，使其達到加工所需的值。利用阻抗分析儀檢測得到變幅桿的諧振頻率為26.423 kHz。為了提高修正效率，改變變幅桿三維模型的大、小端的長度并對其進行仿真，利用仿真結(jié)果指導(dǎo)修正過程。

由圖7～圖10所示仿真結(jié)果可知，變幅桿大端長度減少1 mm，頻率增加232 Hz，長度減少2 mm，頻率增加459 Hz；變幅桿小端長度減少1 mm，頻率增加304 Hz，長度減少2 mm，頻率增加785 Hz。由此可得，在修正過程中，變幅桿小端長度變化對頻率得影響比大端長度變化影響大，所以大端的修正尺寸應(yīng)比小端修正尺寸更大；且在相同條件下，為保證頻率的變化更穩(wěn)定，應(yīng)先修大端、再修小端。

圖7 大端長度減少1 mm的仿真結(jié)果

在上述結(jié)論的指導(dǎo)下，本文對變幅桿進行了修正。表2是修正過程中的變幅桿頻率變化情況，數(shù)據(jù)顯示，大端長度修正2 mm，頻率增加493 Hz；小端長度修正1.5 mm，頻率增加585 Hz，證明了小端長度變化對頻率影響較大的結(jié)論。同時，通過先對變幅桿大端長度修正2 mm得到了變幅桿頻率變化的大致范圍，并利用其確定了小端長度修正1 mm時，變幅桿頻率不高于28 kHz，從而無需再進行新的修正，大幅提高了效率。在對變幅桿長度進行反復(fù)修正后，振動系統(tǒng)的諧振頻率逐漸向設(shè)計值靠攏，最終達到27.865 kHz，滿足了設(shè)計要求。

圖8 大端長度減少2 mm的仿真結(jié)果

圖9 小端長度減少1 mm的仿真結(jié)果

圖10 小端長度減少2 mm的仿真結(jié)果

表2 變幅桿修正過程及其結(jié)果

4 結(jié)束語

本文設(shè)計、制作、修正了一個階梯形的變幅桿，使其符合設(shè)計要求。通過ANSYS有限元分析軟件對該階梯形變幅桿的頻率修正過程進行仿真分析，可確定先修正大端還是小端，并根據(jù)修正大端變幅桿諧振頻率變化的情況，估算出修正小端長度時的諧振頻率變化范圍，減少在修正小端長度時的嘗試性修正，大幅提高了修正效率。

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