旋轉超聲加工系統(tǒng)的頻率分叉研究

隆志力，張建國，王超，鄒建軍

（1.哈爾濱工業(yè)大學深圳研究生院，廣東深圳518055；2.東莞理工學院機械工程學院，廣東東莞523808）

超聲波控制系統(tǒng)是旋轉超聲加工的核心部件，其超聲能量輸出直接影響硬脆性材料去除的效率、刀具壽命與加工質量。因此，對超聲波能量的控制方式極為關鍵。感應耦合非接觸電能傳輸技術[1-3]（inductively coupled power transfer，ICPT）是利用電力電子技術和電磁感應原理，通過原、副邊磁芯存在的空氣間隙，把電能從變壓器原邊傳輸?shù)礁边叄瑥亩瓿呻娔艿姆墙佑|傳輸工作。國內外相繼開展了關于非接觸式電能傳輸?shù)睦碚撗芯考皩嶒瀾?，取得了多項技術突破，并在不同領域得到應用[4-6]。松耦合變壓器也隨之被引入超聲加工領域[7-9]，使超聲加工中的電能傳輸從傳統(tǒng)的碳刷接觸式傳輸進化到非接觸式電能傳輸，使碳刷在高速旋轉時的摩擦發(fā)熱嚴重、壽命短、成本高及無法自動換刀等問題得到了完美解決。

當旋轉超聲波加工系統(tǒng)使用非接觸式電傳輸模塊后，整個系統(tǒng)就會變?yōu)楦唠A數(shù)學模型系統(tǒng)，導致系統(tǒng)的頻率特性與超聲能量控制變得更加復雜。針對此問題，本文構建了旋轉超聲加工的頻率與阻抗模型，采用Matlab平臺仿真分析了超聲系統(tǒng)的頻率與阻抗特性，并通過實驗驗證了仿真結果。

1 超聲加工驅動系統(tǒng)

超聲波驅動器可認為是旋轉超聲加工的核心模塊，其主要功能是將220 V/50 Hz的市電轉換成與換能器工作諧振頻率一致的正弦波電信號，并以一定功率的電能量驅動壓電換能器，進而產生一定的振幅能量。圖1是超聲加工驅動系統(tǒng)的主要架構。圖1a是根據(jù)Mason推導得到的經典等效電路，其中，C0稱為靜態(tài)電容，由壓電陶瓷厚度、電極面積和材料介電常數(shù)等決定；R1為動態(tài)電阻；C1為動態(tài)電容；L1為動態(tài)電感，此動態(tài)參數(shù)與換能器加工負載相關。圖1a所示左側部分為系統(tǒng)的匹配參數(shù)，T2為系統(tǒng)非接觸傳輸部分的松耦變壓器，其轉換系數(shù)為M。圖1b是超聲波驅動系統(tǒng)的簡化電路圖?？梢?，驅動系統(tǒng)中包含電阻、電容和電感，工作過程中換能器的等效參數(shù)具有動態(tài)變化特性，變壓器也引入感性成分且存在漏感，因此整個驅動系統(tǒng)具有復雜的電容和電感特性。為了實現(xiàn)系統(tǒng)最大的傳輸功率和最高的傳輸效率，需對整個系統(tǒng)的頻率與阻抗特性及其影響規(guī)律進行深入研究。

圖1 超聲加工系統(tǒng)等效電路圖

2 頻率阻抗模型

根據(jù)圖1所示驅動系統(tǒng)的電路圖和戴維南定理，可得副邊等效阻抗計算公式為：

經變壓器將副邊阻抗折算到原邊，可得：

折算后的阻抗可寫成實部與虛部的和的形式：

整理可得到副邊阻抗折算到原邊的實數(shù)部分：

以及副邊阻抗折算到原邊的虛數(shù)部分：

可得副邊諧振頻率為：

整理可得到補償匹配電容為：

副邊阻抗折算到原邊得到的原邊總阻抗為：

其中，Zr可表示為：

進一步可得阻抗角為：

對上式進行處理，可得副邊品質因數(shù)、變壓器耦合系數(shù)與系統(tǒng)頻率f、ω的關系為：

由此可看出，初級阻抗角受到諧振頻率、耦合系數(shù)和次級品質因數(shù)的共同影響。

3 仿真計算

根據(jù)推導的阻抗與相位模型，在Matlab Simulink平臺上構建超聲驅動系統(tǒng)的仿真模型。如圖2所示，L1、C1、R1、C0為換能器參數(shù)；Cp、Cs為原副邊的耦合電容；T1為松耦合變壓器的參數(shù)，其中Lp、Ls為其原邊和副邊漏感。

圖2 仿真模型

在仿真模型中，對超聲波驅動系統(tǒng)進行頻率掃描仿真，起始頻率為23 kHz，終止頻率為33 kHz，頻率間距為10 Hz，仿真結果見圖3。圖3a是當Qs取值為1時的相位曲線，可見隨著耦合系數(shù)從0.7增加到0.9時，整個超聲波驅動系統(tǒng)從有1個過零點增加到3個，分別為初級電路固有諧振頻率、低分叉諧振頻率和高分叉諧振頻率，即此時電路發(fā)生了頻率分叉現(xiàn)象；且從圖3a可看出，臨界耦合系數(shù)為0.7。圖3b是當Qs取值為2時的相位曲線，可見耦合系數(shù)為0.44時，過相位零點從1個增加到3個，所以臨界耦合系數(shù)為0.44。在換能器工作時，3個頻率點都有可能被選為系統(tǒng)的工作頻率，進而導致系統(tǒng)工作不穩(wěn)定，也會使系統(tǒng)在頻率跟蹤時發(fā)生混亂，找不到實際的頻率點，因此頻率分叉現(xiàn)象會破壞系統(tǒng)穩(wěn)定工作。

圖3 不同品質因數(shù)下阻抗角與頻率之間的關系

由上述兩組曲線可知，當品質因數(shù)固定時，松耦合變壓器的耦合系數(shù)一旦超過臨界值，系統(tǒng)就會發(fā)生頻率分叉現(xiàn)象，且隨著負載品質因數(shù)的增大，頻率分叉發(fā)生的耦合系數(shù)變小?；谏鲜龇治隹芍?，在設計系統(tǒng)時應盡可能使品質因數(shù)小、耦合系數(shù)小，才有可能避免頻率分叉現(xiàn)象的發(fā)生，這也是設計松耦合變壓器時需著重考慮的地方。

進一步分析頻率分叉現(xiàn)象，并求出頻率分叉的邊界條件及原、副邊品質因數(shù)，由公式Q=ωL/R計算可得：

將整體等效阻抗與副邊發(fā)生并聯(lián)諧振阻抗做歸一化處理，令：

工作頻率和副邊并聯(lián)諧振頻率的比u=ω/ωn作為歸一化因子，其中u可表示工作頻率偏離諧振頻率的大小，同時將Qp、Qs同時代入上式，整理可得：

從式（16）可看出，Zn是關于Qp、Qs和u的關系式，Zn的解受到工作頻率和初級、次級品質因數(shù)的影響，頻率分叉現(xiàn)象不發(fā)生，即當此數(shù)學模型零相位角頻率等于副邊諧振頻率有唯一解時，就需式（16）的Zn=0時有唯一解，對Zn=0進行處理可得：

可將u2當成一個未知自變量，令u2=x，替換后可得：

當式（18）有唯一解只需Δ=0即可：

通過計算可得：

式（20）即為發(fā)生頻率分叉的臨界值。因此，只有當Qp＜Qs+1/Qs時，系統(tǒng)才不發(fā)生頻率分叉現(xiàn)象，此時原邊品質因數(shù)需比副邊品質因數(shù)小。而當Qp＞Qs+1/Qs時，系統(tǒng)發(fā)生頻率分叉現(xiàn)象，原邊品質因數(shù)比副邊品質因數(shù)要大一些。

換到次級品質因數(shù)和耦合系數(shù)的關系時，可表示為：

進而可得到不發(fā)生頻率分叉現(xiàn)象時副邊品質因數(shù)與耦合系數(shù)之間的關系表達式、負載阻抗與耦合系數(shù)的關系表達式，分別為：

副邊品質因數(shù)隨著耦合系數(shù)的增大而減小，副邊阻抗也隨著耦合系數(shù)的增大而減小。從上述分析可得出結論：系統(tǒng)的負載越輕，耦合系數(shù)越小，越不易發(fā)生頻率分叉現(xiàn)象。

3 實驗

基于構建的阻抗模型與仿真分析，搭建了如圖4所示的實驗平臺。分別以超聲波驅動系統(tǒng)的3個頻率（27.35、28.10、28.50 kHz）驅動壓電換能器，通過示波器觀測換能器兩端電壓與電流信號，并用激光多普勒測量儀對換能器輸出振幅進行測量。

圖4 實驗平臺

圖5是測得的超聲波驅動系統(tǒng)的電壓、電流和振幅曲線。由圖5a可見，以3個不同頻率加載換能器兩端電壓分別為31.9、32、32.7 V，相差很小。由圖5b可見，低分叉頻率時振幅為6.43 mV、諧振頻率振幅為22.6 mV、高分叉頻率時振幅為18 mV。因此，以相同電壓驅動這3個不同頻率時，換能器輸出振幅相差很大。這是因為不同頻率時系統(tǒng)的總阻抗不同，當工作在非諧振頻率時系統(tǒng)能量過多地消耗在電感和電容上，而不是消耗在實際做功的動態(tài)電阻上，導致系統(tǒng)的電能轉化效率低。

圖5 示波器實測波形圖

4 結論

本文構建了超聲加工驅動系統(tǒng)的阻抗模型與仿真模型，包括換能器等效參數(shù)、松耦合變壓器參數(shù)及匹配電容、電感等參數(shù)。由于超聲加工驅動系統(tǒng)是一個多階數(shù)學模型，從仿真上也得到超聲加工系統(tǒng)存在頻率分叉現(xiàn)象，即在一定的頻率范圍內，超聲系統(tǒng)存在多個頻率點，而這些頻率點均可能在工作過程中被驅動。因此必須有效控制和避免超聲加工的頻率分叉現(xiàn)象。測試實驗采用激光多譜勒儀對已有超聲換能器系統(tǒng)的3個頻率的振幅進行測量，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的3個頻率的振幅輸出均不同，當以諧振頻率工作時，系統(tǒng)的輸出振幅最大。

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