關(guān)于材料力學(xué)類(lèi)比教學(xué)方法的思考

顧云風(fēng)

摘 要 通過(guò)類(lèi)比的方法，總結(jié)材料力學(xué)的分析思路，統(tǒng)一表述軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲的應(yīng)力計(jì)算的推導(dǎo)過(guò)程和公式形式。分析指出材料力學(xué)的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題，每類(lèi)問(wèn)題可以進(jìn)一步分成校核、截面設(shè)計(jì)和許可載荷問(wèn)題，這些問(wèn)題也具有統(tǒng)一的表述形式。

關(guān)鍵詞 材料力學(xué)；彈性力學(xué)；分析思路；類(lèi)比思維

中圖分類(lèi)號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2018）16-0108-03

1 引言

材料力學(xué)[1-2]是固體力學(xué)的一個(gè)分支，與彈性力學(xué)[3]相比，研究的構(gòu)件局限在桿件這一相對(duì)簡(jiǎn)單的形式上，包括在載荷或溫度變化作用下桿件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題。材料力學(xué)是一門(mén)重要的技術(shù)基礎(chǔ)課，包括機(jī)械、土木、水利和交通等專(zhuān)業(yè)的學(xué)生都要求必須修讀。雖然大部分學(xué)生在中小學(xué)就學(xué)習(xí)了牛頓力學(xué)的基本常識(shí)，但是一般直到開(kāi)始學(xué)習(xí)材料力學(xué)，才開(kāi)始接觸力學(xué)中最重要的一些概念，比如應(yīng)力和應(yīng)變等。由于材料力學(xué)本身內(nèi)容繁雜，概念抽象，對(duì)數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用要求較高，再加上力學(xué)課程的課時(shí)安排在很多高校中并不充裕，在實(shí)際的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)相當(dāng)多的學(xué)生對(duì)這門(mén)課的掌握并不理想。

筆者經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生如果在材料力學(xué)的學(xué)習(xí)中對(duì)各部分內(nèi)容孤立地學(xué)習(xí)，那么學(xué)習(xí)效率將會(huì)變得極其低下，往往會(huì)陷入大量抽象的知識(shí)點(diǎn)中，無(wú)法系統(tǒng)理解這門(mén)學(xué)科。實(shí)際上在整個(gè)力學(xué)體系中，材料力學(xué)相對(duì)而言是比較簡(jiǎn)單的。這一簡(jiǎn)單性主要體現(xiàn)在材料力學(xué)結(jié)構(gòu)比較清晰，如果采用類(lèi)比思維，將前后內(nèi)容對(duì)照，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多問(wèn)題的概念、分析思路和公式等都是相似的。從這一角度出發(fā)，可以讓學(xué)生從一個(gè)更高的視角俯視材料力學(xué)課程。這就如一個(gè)人陷在迷宮中會(huì)無(wú)法自拔，迷失方向；如果能看到迷宮的全局，那么就會(huì)豁然開(kāi)朗。這就是讓學(xué)生把書(shū)越讀越薄的方法。本文從材料力學(xué)分析思路和概念、問(wèn)題類(lèi)型以及公式等角度，詳細(xì)類(lèi)比說(shuō)明材料力學(xué)分析的框架結(jié)構(gòu)。

2 分析思路和概念的類(lèi)比

材料力學(xué)引進(jìn)了許多新的力學(xué)概念，如外力、內(nèi)力、應(yīng)力、變形和應(yīng)變[1-2]。不同于彈性力學(xué)，材料力學(xué)處理的構(gòu)件局限在桿件這種一維結(jié)構(gòu)。如同生物體，給予刺激就會(huì)有反應(yīng)。外力相當(dāng)于對(duì)桿件的刺激，其他的物理量則代表相應(yīng)的反應(yīng)，它們的關(guān)系如圖1所示。在材料力學(xué)中，外力包括主動(dòng)載荷和約束力，往往是首先需要分析的。不同的外力對(duì)應(yīng)不同的基本變形，例如：作用線與軸線重合的力引起軸向拉壓變形；作用面與桿件橫截面重合的力偶引起扭轉(zhuǎn)。外力的分析需要掌握理論力學(xué)靜力學(xué)的相關(guān)內(nèi)容，并且將分析結(jié)果分解成各個(gè)基本變形對(duì)應(yīng)的外力。

外力分析完后，根據(jù)基本變形類(lèi)型，都有相應(yīng)的內(nèi)力、應(yīng)力、變形和應(yīng)變。如圖1所示，第一個(gè)需要分析的就是內(nèi)力。軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲的內(nèi)力分別是軸力、扭矩和彎矩加剪力。這里彎曲稍有特殊，它往往有兩個(gè)內(nèi)力。內(nèi)力都有約定的正方向，建議用截面法分析的時(shí)候，受力圖中的內(nèi)力一律往正方向畫(huà)。這樣做的好處顯而易見(jiàn)：如果假設(shè)內(nèi)力方向正確，內(nèi)力符號(hào)就是正的；如果假設(shè)內(nèi)力方向有誤，正好內(nèi)力符號(hào)是負(fù)的，這就避免了糾纏于內(nèi)力正負(fù)號(hào)問(wèn)題，讓截面法平衡方程自然得出結(jié)果。各個(gè)內(nèi)力都有相應(yīng)的內(nèi)力圖，集中載荷、分布載荷對(duì)應(yīng)的內(nèi)力圖特征都是相似的，比如軸向外力、集中扭轉(zhuǎn)外力偶、集中彎曲力偶和橫向力分別會(huì)使軸力圖、扭矩圖、彎矩圖和剪力圖不連續(xù)，突變大小等于相應(yīng)集中外載荷。

圖1顯示內(nèi)力的獲得是對(duì)各種基本變形進(jìn)一步分析的基礎(chǔ)。如果是強(qiáng)度分析，則需要計(jì)算應(yīng)力。不同于彈性力學(xué)基于幾個(gè)基本假設(shè)利用嚴(yán)密的邏輯推導(dǎo)計(jì)算公式，材料力學(xué)往往借助于簡(jiǎn)化分析。在軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲中最重要的一個(gè)假設(shè)就是平截面假設(shè)。這一假設(shè)顧名思義，表示橫截面在桿件變形過(guò)程中始終保持為平面。不同的是：在軸線拉壓中橫截面保持平面，只是距離發(fā)生變化，橫截面上各處沿軸向的變形均勻分布；在扭轉(zhuǎn)中橫截面保持為平面且繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，變形大小與到圓心的距離成正比；在純彎曲中橫截面保持為平面且繞中性軸發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，兩橫截面之間的縱向纖維的長(zhǎng)度變化沿梁的高度線性變化。

基于平截面假設(shè)獲得的變形分布規(guī)律，進(jìn)而借助于材料均勻性假設(shè)，由物理關(guān)系可以知道應(yīng)力的分布規(guī)律，最終由靜力平衡關(guān)系得到應(yīng)力計(jì)算公式。上述各個(gè)基本變形的應(yīng)力推導(dǎo)思路是相似的，最終得到的應(yīng)力計(jì)算公式也具有驚人的相似性，都可以表示為：應(yīng)力=（橫截面上內(nèi)力/橫截面幾何參數(shù)）×應(yīng)力分布參數(shù)。公式中各個(gè)基本變形所用的量見(jiàn)表1。橫截面內(nèi)力在軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲中分別是軸力、扭矩和彎矩；橫截面幾何參數(shù)則分別是橫截面面積、極慣性矩和軸慣性矩；應(yīng)力分布參數(shù)分別是“1”、到圓心的距離和到中性軸的距離，分別代表應(yīng)力的均勻分布、與到圓心的距離成正比和沿梁的高度線性變化。

如果是剛度分析，那么圖1所示可以根據(jù)內(nèi)力計(jì)算變形。這里以等內(nèi)力等截面為例，變形=橫截面內(nèi)力×桿件長(zhǎng)度/（材料參數(shù)×橫截面幾何性質(zhì)）。如表1所示，對(duì)于軸向拉壓，變形是桿的長(zhǎng)度變化，內(nèi)力是軸力，材料參數(shù)是彈性模量，橫截面幾何性質(zhì)則仍然是橫截面面積。對(duì)于扭轉(zhuǎn)，這些參數(shù)則分別是相對(duì)扭轉(zhuǎn)角、扭矩、切變模量和橫截面極慣性矩。彎曲變形相對(duì)復(fù)雜，變形的度量用撓度和轉(zhuǎn)角表示，載荷種類(lèi)多，可以是彎曲力偶、橫向集中力和分布載荷。不過(guò)，如果考慮等截面梁兩端加彎曲力偶的純彎曲，轉(zhuǎn)角=彎矩×桿件長(zhǎng)度/（彈性模量×相對(duì)于中性軸的慣性矩）。

3 問(wèn)題類(lèi)型的類(lèi)比

材料力學(xué)主要解決三類(lèi)問(wèn)題：強(qiáng)度問(wèn)題、剛度問(wèn)題和穩(wěn)定性問(wèn)題[1-2]。強(qiáng)度是指桿件在外載荷作用下抵抗斷裂和過(guò)量塑性變形的能力。剛度是指桿件在外載荷作用下抵抗彈性變形的能力。穩(wěn)定性在材料力學(xué)中范圍比彈性力學(xué)中的窄了很多，特指桿件在軸向壓力作用下保持其原有平衡狀態(tài)的能力。這三類(lèi)問(wèn)題反映了固體構(gòu)件在外載荷作用下力學(xué)性能的三個(gè)不同的側(cè)面。這三類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算公式大部分情況下可以統(tǒng)一表示為：橫截面內(nèi)力/包含橫截面幾何性質(zhì)的參數(shù)≤許可量。

根據(jù)這一表達(dá)式，每一類(lèi)問(wèn)題進(jìn)一步可以細(xì)分為校核、截面設(shè)計(jì)、許可載荷問(wèn)題。校核問(wèn)題就是驗(yàn)證這一不等式是否成立，如果成立則表示相關(guān)問(wèn)題類(lèi)型安全，否則判定為不安全。這類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算關(guān)鍵往往是確定危險(xiǎn)截面的內(nèi)力。截面設(shè)計(jì)問(wèn)題則是根據(jù)這一不等式確定包含橫截面幾何性質(zhì)的參數(shù)的最小值，進(jìn)而給出截面尺寸的設(shè)計(jì)意見(jiàn)。許可載荷問(wèn)題是利用該不等式算出橫截面內(nèi)力的最大值，進(jìn)而根據(jù)內(nèi)力與外力的關(guān)系給出構(gòu)件外載荷值的安全范圍。

公式中的橫截面內(nèi)力、包含橫截面幾何性質(zhì)的參數(shù)和許可量，在軸向拉壓的強(qiáng)度問(wèn)題中分別是軸力、橫截面面積和許可正應(yīng)力；在扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度問(wèn)題中則分別是扭矩、抗扭截面模量和許可切應(yīng)力；在彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度問(wèn)題中分別是彎矩、抗彎截面模量和許可彎曲正應(yīng)力。在連接件的強(qiáng)度計(jì)算中，在擠壓?jiǎn)栴}中公式可以表述為：擠壓力/擠壓面面積≤許可擠壓應(yīng)力。而剪切強(qiáng)度問(wèn)題中則為：剪切力/剪切面面積≤許可切應(yīng)力。

在考慮扭轉(zhuǎn)的剛度問(wèn)題時(shí)，公式中的橫截面內(nèi)力、包含橫截面幾何性質(zhì)的參數(shù)和許可量分別是扭矩、截面抗扭剛度和許可單位扭轉(zhuǎn)角，其中抗扭剛度=切邊模量×極慣性矩。在剛度問(wèn)題中由于考慮彈性變形，相應(yīng)的公式中往往有像切變模量之類(lèi)的材料彈性常數(shù)。在截面設(shè)計(jì)時(shí)，通過(guò)抗扭剛度中的極慣性矩可以算出圓軸直徑。

材料力學(xué)中的穩(wěn)定性問(wèn)題主要局限在壓桿穩(wěn)定性問(wèn)題。在這部分內(nèi)容中，大部分篇幅是關(guān)于臨界壓力和臨界應(yīng)力的計(jì)算方面。臨界應(yīng)力計(jì)算的前提是通過(guò)壓桿的柔度對(duì)桿件分類(lèi)。柔度是一根壓桿的固有性質(zhì)，綜合反映了壓桿的橫截面尺寸和長(zhǎng)度以及桿端約束對(duì)壓桿穩(wěn)定性的影響，一般情況下柔度越大，壓桿的穩(wěn)定性越差。根據(jù)柔度，壓桿可以分為小柔度桿、中柔度桿和大柔度桿。不同種類(lèi)桿之間的柔度分界取決于材料參數(shù)，比如大柔度壓桿的柔度下限取決于彈性模量和比例極限。小柔度壓桿的臨界應(yīng)力就是屈服極限，這是材料的一個(gè)強(qiáng)度指標(biāo)。從這個(gè)角度看，壓桿的臨界應(yīng)力和屈服極限都是極限應(yīng)力。前者主要通過(guò)比如理想中心受壓直桿的歐拉公式等計(jì)算獲得，后者則主要由軸向拉伸實(shí)驗(yàn)得到。

在強(qiáng)度問(wèn)題中，許可應(yīng)力=極限應(yīng)力/強(qiáng)度安全系數(shù)；同樣，在穩(wěn)定性問(wèn)題中，可以定義穩(wěn)定許可應(yīng)力=臨界應(yīng)力/穩(wěn)定安全系數(shù)。由此，強(qiáng)度計(jì)算和穩(wěn)定計(jì)算有了統(tǒng)一的形式：軸向壓力/橫截面面積≤許可應(yīng)力。

4 結(jié)語(yǔ)

本文將材料力學(xué)從整個(gè)學(xué)科出發(fā)，對(duì)不同部分進(jìn)行類(lèi)比說(shuō)明，試圖給出一個(gè)新的角度理清材料力學(xué)的學(xué)習(xí)思路。學(xué)習(xí)材料力學(xué)不能孤立地學(xué)習(xí)零星的知識(shí)點(diǎn)，而是應(yīng)該前后對(duì)照，將各部分內(nèi)容有機(jī)地連為一體。首先，各個(gè)基本變形的分析都遵循由外力出發(fā)，然后計(jì)算內(nèi)力，最后分為強(qiáng)度問(wèn)題或剛度問(wèn)題。軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲的應(yīng)力計(jì)算公式都是基于平截面假設(shè)推導(dǎo)得到的，最終可以用一個(gè)統(tǒng)一的公式表示應(yīng)力計(jì)算公式。同樣，剛度分析也可以獲得一個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式。材料力學(xué)分強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題，每一種問(wèn)題可以進(jìn)一步分成校核、截面設(shè)計(jì)和許可載荷三種題型。這些問(wèn)題也具有統(tǒng)一的表述形式。教學(xué)實(shí)踐表明，通過(guò)類(lèi)比的方法，把各處的知識(shí)點(diǎn)表述成統(tǒng)一的形式，可以有效地幫助學(xué)生深入理解材料力學(xué)的基本概念。

參考文獻(xiàn)

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