基于SL0的高分辨率Radon變換及數(shù)據(jù)重建

薛亞茹 王 敏 陳小宏

(中國石油大學(xué)(北京)地球物理與信息工程學(xué)院，北京 102249)

1 引言

由于地震數(shù)據(jù)在Radon變換域的物理特征直觀明確，利于對(duì)比分析，因此Radon變換在勘探地震學(xué)領(lǐng)域，如平面波分解[1]、去噪[2]、數(shù)據(jù)恢復(fù)[3]、多次波壓制[4-6]等方面得到廣泛應(yīng)用。Radon變換算子的非正交性導(dǎo)致直接進(jìn)行Radon正、反變換時(shí)能量的不對(duì)等性，于是基于最小范數(shù)反演思想的Radon變換被提出。該方法雖然減少了拖尾現(xiàn)象，但會(huì)產(chǎn)生平滑效應(yīng)，不能集中足夠能量，在Radon域分辨率較低[7]。因此，要想提高Radon變換的分辨率，則必須對(duì)反演稀疏約束的方法進(jìn)行改進(jìn)。Sacchi等[8，9]提出在頻率域通過柯西稀疏約束提高Radon變換的分辨率，主要通過數(shù)據(jù)的先驗(yàn)信息修正反演算子，使變換后的能量在Radon域得到收斂，這樣不僅有效地消除了空間褶積(或有限孔徑)的影響，同時(shí)也進(jìn)一步提高了解的穩(wěn)定性。高分辨率Radon變換法是一種稀疏約束反演算法[10]，目前常用的最小范數(shù)約束方法是在頻率域通過柯西或L1范數(shù)稀疏約束提高Radon變換的分辨率，但作為L0范數(shù)的凸逼近形式，L1范數(shù)不具有真正意義上的稀疏，它是一種凸松弛算法[11，12]。L0范數(shù)是度量數(shù)據(jù)稀疏度的最好方法，所以為了達(dá)到真正的稀疏，要尋求一種嚴(yán)格的L0范數(shù)來約束Radon變換。

因求解L0范數(shù)計(jì)算量巨大，故在實(shí)際應(yīng)用中不斷推出新的稀疏優(yōu)化方法[13-19]。Mohimani等[13，14]提出平滑L0范數(shù)(Smoothed L0Norm，SL0)算法，這是一種基于過完備稀疏分解的快速算法，能直接實(shí)現(xiàn)L0范數(shù)最小化。該算法具有重構(gòu)前不需知道信號(hào)的稀疏度、計(jì)算量小、高匹配度以及重建時(shí)間短等優(yōu)點(diǎn)[20]，可有效地應(yīng)用于稀疏信號(hào)重構(gòu)?；赟L0范數(shù)算法，Zayyani等[16]、Ghalehjegh等[17]和林婉娟等[18]相繼提出TSL0(Thresholded SL0)算法、BSL0(Block SL0)算法和NSL0算法。曹靜杰等[21]還提出在Curvelet域的零范數(shù)稀疏最優(yōu)化方法，很好地實(shí)現(xiàn)了地震數(shù)據(jù)的重構(gòu)，明顯提高了計(jì)算效率。

本文將SL0范數(shù)稀疏約束引入Radon變換，可提高地震數(shù)據(jù)在Radon域的能量聚焦效果。利用該方法實(shí)現(xiàn)缺失地震道重構(gòu)[22]，通過理論模型和實(shí)際數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)與柯西稀疏約束的高分辨率Radon變換方法作比較，證明L0范數(shù)稀疏約束的Radon變換更具有優(yōu)越性。

2 基本原理及實(shí)現(xiàn)

2.1 SL0范數(shù)定義

一個(gè)向量的L0范數(shù)是這個(gè)向量的不連續(xù)函數(shù)，直接使用L0范數(shù)存在很多問題。為此，通過構(gòu)造一個(gè)平滑的連續(xù)函數(shù)逼近這個(gè)不連續(xù)的函數(shù)(即SL0范數(shù))。

通常選用標(biāo)準(zhǔn)高斯函數(shù)

(1)

式中參數(shù)σ決定該函數(shù)逼近效果。定義向量函數(shù)

(2)

式中K是向量維數(shù)。由式(1)和式(2)可知，當(dāng)σ取值較小時(shí)，則向量s的L0范數(shù)近似為‖s‖0≈K-Fσ(s)。因此，可通過下式來優(yōu)化L0范數(shù)解

maxFσ(s) s.t.As=x

(3)

滿足上式的參數(shù)Fσ要取最小值，當(dāng)σ>0時(shí)上述連續(xù)函數(shù)與L0范數(shù)最接近。所以在σ取最小值的情況下通過Fσ(s)最大化得到SL0范數(shù)最小的解。參數(shù)σ的值決定了函數(shù)Fσ的光滑程度，σ值越大，F(xiàn)σ越光滑，且局部極值較少，可很容易地實(shí)現(xiàn)它的最大化，但缺點(diǎn)是不能很好地逼近最優(yōu)解； 相反地，σ值越小，逼近最優(yōu)解的效果越好，但是σ取值太小，F(xiàn)σ高度不平滑，導(dǎo)致包含大量局部最大值，很難實(shí)現(xiàn)Fσ的最大化。因此提出在算法中動(dòng)態(tài)調(diào)整參數(shù)σ的策略。選取一個(gè)σ的遞減序列{σ1，σ2，…，σJ}(其中J為遞減序列元素個(gè)數(shù))，對(duì)每一個(gè)σ的值都用最速下降法不斷逼近目標(biāo)函數(shù)，求得Fσ的最大值。由于σ的變化幅度不是很大，每次計(jì)算得到Fσ的最優(yōu)解都與上一次得到的最優(yōu)解很接近，這樣就能避免陷入局部最大值問題，從而得到σ值很小時(shí)Fσ的最大值，最終求得使SL0范數(shù)最小的解。

2.2 SL0范數(shù)約束的Radon變換

拋物Radon變換在時(shí)域定義為

(4)

式中：d(t，x)為時(shí)域地震數(shù)據(jù)；x為炮檢距；m(τ，q)為Radon域數(shù)據(jù)；q為曲率參數(shù)；τ為截距時(shí)間。通過傅里葉變換將式(4)變到頻率域，其表達(dá)式為

(5)

式中：M(ω，q)和D(ω，x)分別是m(τ，q)和d(t，x)的傅里葉變換；ω為頻率；N為q的取值個(gè)數(shù)。寫成矩陣形式為

d=Lm

(6)

式中L為Radon算子。

由上式可知，Radon變換其實(shí)就是求解方程組d=Lm的過程，可采用L1范數(shù)的優(yōu)化問題求該方程組的稀疏解。L1范數(shù)稀疏方法雖收斂性較好，但只是L0范數(shù)的凸逼近形式，L0范數(shù)才是最能體現(xiàn)數(shù)據(jù)稀疏的方法。故將Radon變換求稀疏解問題轉(zhuǎn)化為基于SL0范數(shù)的稀疏優(yōu)化問題，其數(shù)學(xué)模型為

min‖m‖0 s.t.Lm=d

(7)

根據(jù)SL0范數(shù)的基本定義，選取高斯函數(shù)作為平滑連續(xù)函數(shù)來逼近L0范數(shù)，可得

‖m‖0≈N-Fσ(m)

對(duì)式(7)的優(yōu)化問題可采用最速下降法和梯度投影原理求解，其中最速下降法是由迭代形式

構(gòu)成的。隨著σ的減小，μk值也應(yīng)減小。這是因?yàn)棣以叫。瘮?shù)Fσ的“波動(dòng)”越大，因此最大化Fσ要用小步長[20]。通過改變?chǔ)抑涤^察不同尺度下的相同曲線，其中尺度是與σ成比例的，不難發(fā)現(xiàn)μk與σ2是成正比的。因此令μk=μσ2，其中μ是一個(gè)常數(shù)，其值通過經(jīng)驗(yàn)設(shè)定，由此得到

式中

為梯度方向，它是通過對(duì)函數(shù)

求導(dǎo)得到。利用該梯度方向搜索最優(yōu)值，直至得到Fσ(m)的最優(yōu)解，即L0范數(shù)的最小量。

參數(shù)σ的取值非常重要，關(guān)系到最優(yōu)值的搜索方向，當(dāng)σ取值足夠大時(shí)，滿足

的最優(yōu)解就是Lm=d的最小L2范數(shù)解。下面利用拉格朗日乘數(shù)法驗(yàn)證該觀點(diǎn)。

設(shè)拉格朗日函數(shù)L(m,λ)=Fσ(m)-λT(Lm-d)，分別對(duì)m和λ(拉格朗日乘數(shù))求導(dǎo)，并令其導(dǎo)數(shù)都等于零，可得

(8)

定義式中λ1=-σ2λ。另外,Lm=d的最小L2范數(shù)解可用最小化

求解。利用拉格朗日乘數(shù)法，最小化結(jié)果可表示為

(9)

比較式(8)和式(9)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)σ→∞ (或σ?max{m1,…,mN})時(shí)，這兩個(gè)方程組是相等的。此時(shí)使Fσ(m)最大的最優(yōu)解就是Lm=d的最小L2范數(shù)解。所以用Lm=d的最小L2范數(shù)解作為算法的初始值，是優(yōu)化算法的最好選擇。

綜上所述，基于SL0范數(shù)稀疏約束Radon變換的具體算法分如下四步。

1.對(duì)某數(shù)據(jù)d，設(shè)置初值m0為最小二乘解；

2.選取一個(gè)合適的σ遞減序列[σ1,σ2,…,σJ]；

3.對(duì)于每一個(gè)σ的取值都做如下處理：

令σ=σj(j=1,2,…,J)，在解空間M={m|Lm=d}中，利用最速下降法迭代C次使函數(shù)Fσ(m)最大化，然后將得到的新的m值投影到解空間M中，具體步驟如下：

(1)令m=mi-1

(2)對(duì)于l=1,…,C

2)更新Radon變換的值m←m-μδ

3)采用梯度投影原理可得m←m-(LHL+μI)-1LH(Lm-d)

(3)mi=m

4.經(jīng)過以上迭代循環(huán)，最終得到Radon域的數(shù)據(jù)m=mJ。

在地震數(shù)據(jù)完整的情況下，數(shù)據(jù)經(jīng)過拋物Radon變換后會(huì)在Radon域聚焦得很好。但是，當(dāng)?shù)卣饠?shù)據(jù)缺失、有空道存在時(shí)，經(jīng)過拋物Radon變換得到Radon域的數(shù)據(jù)能量比較發(fā)散，利用拋物Radon變換實(shí)現(xiàn)缺失地震數(shù)據(jù)重構(gòu)的方法，實(shí)際上就是通過正反拋物Radon變換的多次迭代，使Radon域上的能量重新得到收斂，以恢復(fù)時(shí)域上的地震同相軸，達(dá)到地震數(shù)據(jù)重構(gòu)的目的。

稀疏重構(gòu)問題實(shí)際上就是如何求解欠定方程組的最稀疏解。在缺失地震數(shù)據(jù)重構(gòu)中，利用L0范數(shù)稀疏約束Radon變換來求解Radon域的稀疏解，增強(qiáng)了地震同相軸在Radon域的收斂特性[6]，保持了地震同相軸在時(shí)域的連續(xù)性，從而提高了地震數(shù)據(jù)重構(gòu)的精度。

3 理論模型與實(shí)際數(shù)據(jù)處理

3.1 理論模型

為了證明本文算法的可行性和有效性，以地震數(shù)據(jù)重建為例對(duì)比基于L1范數(shù)的高分辨率Radon變換和SL0Radon變換性能。構(gòu)建了兩個(gè)理論模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。第一個(gè)模型如圖1所示，圖1a是由主頻為30Hz的Ricker子波合成的地震記錄，共64道，道間距為10m，每道采樣點(diǎn)數(shù)為200，采樣間隔為4ms，隨著炮檢距的改變3個(gè)同相軸的振幅不發(fā)生變化。圖1b為均勻缺失模型，其中每隔兩道抽取一道作為缺失待重建的數(shù)據(jù)。圖1c和圖1d分別為高分辨率Radon變換和SL0范數(shù)約束的Radon變換方法重構(gòu)的結(jié)果，圖1e和圖1f分別為它們所對(duì)應(yīng)的重構(gòu)數(shù)據(jù)誤差剖面圖，從圖中可清楚地看到SL0范數(shù)約束的Radon變換方法將三個(gè)同相軸恢復(fù)的很好，而高分辨率Radon變換方法重構(gòu)數(shù)據(jù)殘差中仍然有同相軸部分信息殘留下來。

圖2a為模型一的合成地震記錄的理想Radon譜，圖2b為高分辨率Radon變換譜，圖2c為SL0范數(shù)約束的Radon變換譜，圖2d為高分辨率Radon變換譜殘差，圖2e為SL0范數(shù)約束Radon變換譜殘差，通過對(duì)比可看出SL0范數(shù)約束的Radon變換方法比高分辨率Radon變換方法的的分辨率更高，聚焦效果更好。

該地震數(shù)據(jù)f-k譜如圖3a所示。圖3b是其均勻缺失地震數(shù)據(jù)f-k譜，與原始數(shù)據(jù)f-k譜(圖3a)相比，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)缺失后出現(xiàn)了明顯假頻現(xiàn)象。圖3c和圖3d分別是高分辨率及SL0兩種方法對(duì)應(yīng)的f-k譜；圖3e和圖3f是對(duì)應(yīng)兩種方法重建數(shù)據(jù)f-k譜分別與真實(shí)頻譜之間的誤差，可看出高分辨率Radon變換方法在重構(gòu)過程中有能量丟失，這與圖1e中殘留的同相軸信息相對(duì)應(yīng)，而SL0范數(shù)約束的Radon變換方法在保留原始數(shù)據(jù)能量的同時(shí)，還壓制了假頻，重構(gòu)效果明顯優(yōu)于高分辨Radon變換。

圖4a是模型二地震合成記錄，其子波主頻為30Hz，共64道，其中道間距為10m，每道采樣點(diǎn)300個(gè)，采樣間隔為4ms，三個(gè)同相軸的振幅隨著炮檢距的改變而改變。圖4b是圖4a中數(shù)據(jù)隨機(jī)缺失26道所得的缺失數(shù)據(jù)。圖4c和圖4d分別為高分辨率Radon變換及SL0范數(shù)約束的Radon變換重構(gòu)結(jié)果，圖4e和圖4f分別為其所對(duì)應(yīng)的誤差剖面，通過誤差可看出高分辨率Radon變換方法的重構(gòu)結(jié)果，不管是在近炮檢距還是在遠(yuǎn)炮檢距，都有同相軸信息的丟失，而SL0范數(shù)約束的Radon變換方法重構(gòu)結(jié)果更精確，數(shù)據(jù)的AVO特性恢復(fù)較好。

圖1 振幅不變的均勻缺失數(shù)據(jù)重構(gòu)模型 (a)原始地震數(shù)據(jù)； (b)均勻缺失數(shù)據(jù)； (c)高分辨率方法重構(gòu)結(jié)果； (d)SL0 Radon變換方法重構(gòu)結(jié)果； (e)高分辨率方法誤差剖面(放大5倍)； (f)SL0 Radon變換方法誤差剖面(放大5倍)

圖2 振幅不變均勻缺失時(shí)兩種Radon變換方法的Radon譜 (a)合成記錄理想Radon譜； (b)高分辨率Radon變換譜； (c)SL0范數(shù)約束Radon 變換譜； (d)高分辨率Radon變換譜誤差； (e)SL0范數(shù)約束Radon變換譜誤差

圖3 振幅不變的均勻缺失數(shù)據(jù)重建f-k譜比較 (a)原始數(shù)據(jù)f-k譜； (b)缺失數(shù)據(jù)f-k譜； (c)高分辨率方法重建數(shù)據(jù)f-k譜； (d)SL0 Radon變換方法重建數(shù)據(jù)f-k譜； (e)高分辨率方法重建數(shù)據(jù)f-k譜誤差(放大十倍)； (f)SL0 Radon變換方法重建數(shù)據(jù)f-k譜誤差(放大十倍)

圖4 振幅變化的隨機(jī)缺失數(shù)據(jù)重構(gòu)模型 (a)原始數(shù)據(jù)； (b)隨機(jī)缺失數(shù)據(jù)； (c)高分辨率方法重構(gòu)結(jié)果； (d)SL0 Radon變換方法重構(gòu)結(jié)果； (e)高分辨率方法重構(gòu)誤差剖面； (f)SL0 Radon變換方法重構(gòu)誤差剖面

3.2 實(shí)際數(shù)據(jù)

圖 5a為實(shí)際地震數(shù)據(jù)，共有92道，每道取401個(gè)采樣點(diǎn)，采樣間隔為4ms(來自SeismicLab軟件包，http：//www-geo.phys.ualberta.ca/saig/SeismicLab)。將該地震數(shù)據(jù)隨機(jī)缺失32道作為缺失數(shù)據(jù)，如圖5b所示。高分辨率 Radon變換及SL0范數(shù)約束的Radon變換方法重構(gòu)結(jié)果分別如圖5c和圖5d所示。圖5e和5f分別為高分辨率Radon變換和SL0范數(shù)約束的Radon變換方法重構(gòu)結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差剖面，通過比較可看出,SL0范數(shù)約束的Radon變換在重構(gòu)時(shí)誤差較小，較好地保持了地震同相軸的連續(xù)性，恢復(fù)了數(shù)據(jù)的AVO特性。

圖5 實(shí)際數(shù)據(jù)隨機(jī)缺失重構(gòu) (a)原始數(shù)據(jù)； (b)隨機(jī)缺失數(shù)據(jù)； (c)高分辨率方法重構(gòu)結(jié)果 ；(d)SL0 Radon 變換方法重構(gòu)結(jié)果； (e)高分辨率方法重構(gòu)誤差； (f)SL0 Radon變換重構(gòu)誤差

4 結(jié)論

Cauchy準(zhǔn)則和L1范數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)的稀疏都存在局限性，它們不能充分反映數(shù)據(jù)稀疏特征，L0范數(shù)是表征數(shù)據(jù)稀疏度的最好方法，本文將L0范數(shù)稀疏約束應(yīng)用于Radon變換，提出SL0范數(shù)約束的Radon變換方法。該方法比高分辨率Radon變換法的分辨率更高，壓制假頻效果更好。在該方法中參數(shù)σ取值決定了SL0范數(shù)的稀疏度，σ越大，稀疏度越小，Radon變換分辨率越低；σ越小，稀疏度越大，Radon變換分辨率越高，聚焦效果越好。所以在實(shí)際應(yīng)用中要適當(dāng)選取σ值，來提高Radon變換的效果。

地震道缺失重構(gòu)問題對(duì)地震數(shù)據(jù)處理意義重大。將該方法應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)重構(gòu)中，通過理論模型實(shí)驗(yàn)和實(shí)際地震資料處理，表明相比高分辨率Radon變換方法，該方法通過SL0范數(shù)稀疏約束Radon變換更能提高Radon變換的分辨率，更好地保持地震同相軸的連續(xù)性和恢復(fù)地震數(shù)據(jù)的AVO特性，對(duì)于不同的缺失數(shù)據(jù)都有更好的重構(gòu)效果。

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