一種改善成像光譜儀光譜檢測能力的新方法

曾 言，曾延安，張南洋生，趙 宇，龍建明

(華中科技大學(xué) 光學(xué)與電子信息學(xué)院，武漢 430074)

引 言

全視場光譜數(shù)據(jù)的采集為遙感、生物醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、食品檢驗和物證提取等領(lǐng)域中改善目標分析識別能力的基礎(chǔ)之一[1]，而兼具成像和光譜檢測功能的成像光譜儀則是獲取目標多光譜數(shù)據(jù)立方體的重要儀器。在保持一定成像視場情況下，提高全視場光譜分辨能力是成像光譜儀研發(fā)及應(yīng)用中被持續(xù)關(guān)注的問題。近年來，隨著液晶技術(shù)和固體成像器件的快速發(fā)展，以液晶可調(diào)諧濾光片(liquid crystal tunable filter，LCTF)為核心的成像光譜儀得到了廣泛的研究和應(yīng)用[2-5]。由于LCTF的電調(diào)諧分光原理，LCTF成像光譜儀的光譜檢測能力受到LCTF透過率特性的影響，成為制約其應(yīng)用的關(guān)鍵問題。

改善光譜儀光譜檢測能力是光譜檢測儀器發(fā)展過程中不斷被追求的目標，新技術(shù)、新方法不斷涌現(xiàn)，例如基于Fourier變換光譜儀的反卷積方法、最大熵方法和線性預(yù)測技術(shù)等[6-13]。反卷積方法是直接基于Fourier變換，通過反卷積系數(shù)消除光譜變換中的線型函數(shù)，以獲得無限細的光譜數(shù)據(jù)?；谧曰貧w模型譜估計方法的最大熵方法和線性預(yù)測技術(shù)是實現(xiàn)Fourier變換光譜儀超分辨率的重要手段[6]。這些方法大都針對Fourier變換光譜儀分光原理進行研究，而對成像光譜儀光譜檢測能力的改善方法目前尚鮮見公開文獻報道。由于透過率函數(shù)隨中心波長改變，LCTF成像光譜儀的采樣過程采用的是非均勻的采樣窗口，即不同透過率函數(shù)對實際光譜曲線的變窗口卷積過程。這種變窗口卷積過程給傳統(tǒng)的反卷積方法帶來挑戰(zhàn)。

作者針對LCTF透過率特性對成像光譜儀光譜檢測能力的影響，根據(jù)其分光原理建立了LCTF成像光譜儀光譜檢測模型，參考傳統(tǒng)光譜儀數(shù)據(jù)處理中的反卷積方法，利用最優(yōu)化原理提出了一種適用于LCTF成像光譜儀光譜檢測的改進反卷積方法。通過理論仿真及對成像光譜的實驗測試，驗證了該方法能夠有效地改善LCTF成像光譜儀光譜檢測能力。

1 理論模型

成像光譜儀中分光器件的特性是影響其光譜檢測能力的關(guān)鍵因素。作者首先利用LCTF器件的光譜透過率特性建立LCTF成像光譜儀光譜檢測的數(shù)學(xué)模型。LCTF的分光原理是基于向列液晶材料的雙折射現(xiàn)象，以電壓控制改變其利奧波片組件的雙折射特性，實現(xiàn)其光譜透過率可調(diào)諧[4-5]。如果僅以調(diào)諧波長所對應(yīng)的輸出光譜分布為采樣值，擬合LCTF成像光譜儀的光譜輸出分布，由于LCTF光譜透過率函數(shù)對入射光譜的卷積作用，成像光譜儀的輸出光譜與入射光譜相比，會降低對光譜細節(jié)的分辨。因此，利用成像光譜儀獲得的采樣輸出光譜分布反求入射光光譜是改善其光譜檢測能力的主要方法之一。

1.1 LCTF成像光譜儀的光譜檢測模型

就成像光譜儀的分光工作原理而言，通過已知測量光譜和儀器函數(shù)反求入射光輸入光譜是一個抽樣恢復(fù)問題，是典型的數(shù)學(xué)物理反問題。在解決該類問題時，需要先建立入射光輸入光譜與輸出光譜間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。理想情況下，成像光譜儀測量波長為λ處的光譜強度Ei(λ)是入射光輸入光譜在波長λ處的取值，考慮到由分光器件特性決定的儀器函數(shù)，由成像光譜儀得到的光譜強度Eo(α)是一個與中心波長α有關(guān)的積分值，即:

式中,積分區(qū)間[λ1，λ2]表示的是LCTF的透過率窗口，T(λ,α)為透過率函數(shù)，其形式取決于光譜儀的分光器件。對應(yīng)LCTF成像光譜儀而言，透過率函數(shù)取決于LCTF的光譜透過率，然而生產(chǎn)商通常并未提供器件的光譜透過率函數(shù)。因此，本文中采用了AvaSpec公司的商用光纖光譜儀對其光譜透過率進行測量，擬合得到了每一中心波長下透過率函數(shù)的解析形式為:

(2)

式中,A,μ,σ為參量,在每一中心波長α下均有不同的取值，在720nm～980nm中心波長的透過率測量范圍內(nèi)，A,μ,σ與中心波長α的關(guān)系可以用一次或二次多項式擬合。利用AvaSpec光纖光譜儀測得的LCTF在720nm～980nm調(diào)諧波長下1nm的波長間隔的光譜透過率曲線，均表現(xiàn)為高斯函數(shù)曲線形式，如圖1所示。

Fig.1 Relationship between transmission and wavelength of LCTF

在LCTF的光譜透過率函數(shù)T(λ,α)確知的情況下，LCTF成像光譜儀的測量過程即是對(1)式的一個求解過程，顯然該求解過程是一個反卷積過程。(1)式屬于第1類Fredholm積分方程[14]，此類方程通常是不適定的。對于LCTF成像光譜儀而言，(1)式中T(λ,α)經(jīng)實測形式為高斯函數(shù)，易證(1)式的解，即所求入射光光譜分布，具有存在性，但定解問題需要引入額外約束條件[14]?？紤]到LCTF成像光譜儀對調(diào)諧波長下光譜分布測量值反映了入射光場的光譜信息，因而本文中以其作為約束條件，采用正則化方法將(1)式的求解問題轉(zhuǎn)換為可穩(wěn)定求解的近似問題，在偏差允許的范圍內(nèi)可用近似問題的解代替原問題的解，也即求解出入射光場的光譜分布。相比于通過LCTF成像光譜儀測得的調(diào)諧波長下的光譜數(shù)據(jù)Eo(α)而言，該方法所求得的入射光譜近似解與實際入射光光譜之間的偏差較小。近似光譜與入射光光譜的接近程度衡量了該方法對實際入射光光譜的分布Ei(λ)的逼近程度，反映了該方法對LCTF成像光譜儀光譜檢測性能的改善。

1.2 采用先驗約束的正則化求解方法

截斷奇異值分解(truncated sigular value decomposition,TSVD)正則化方法是解決第1類Fredholm積分方程求解的常用方法[15]，它把積分方程求解問題轉(zhuǎn)換為最優(yōu)化求解問題[16]，通過調(diào)整系數(shù)矩陣完成正則化近似求解，需將(1)式中的光譜測量積分方程離散化為矩陣形式:

Eo=TEi(3)

Eo(α)‖2+β‖Ei′(λ)-Eo′(α)‖2](4)

Γ=‖TEi′-Eo‖2+β‖Eo′-Ei′‖2(5)

令:

則輸入光譜最優(yōu)化近似解為:

Ei′=(TTT+βI)-1(TTEo+βEo′)(6)

式中，I為單位矩陣。由于正則化項的引入，(6)式中的(TTT+βI)矩陣可逆，則該式能夠穩(wěn)定求解。所得近似解Ei′ 與輸入光譜Ei的近似程度由正則化參量β決定；(6)式中的T是透過率函數(shù)矩陣與參量t的乘積，t決定了近似光譜Ei′的向量長度，反映了Ei′ 的細化程度，β和t可由數(shù)值仿真中最優(yōu)化近似解與輸入光譜的逼近程度決定。

2 實驗結(jié)果與分析

為了驗證上述LCTF成像光譜儀光譜檢測模型和采用先驗約束條件的正則化求解方法，在實測LCTF光譜透過率曲線基礎(chǔ)上，以模擬光譜輸入的數(shù)值仿真驗證正則化求解方法的可行性，確定正則化參量β和離散化步長t，并采用氘鹵連續(xù)譜光源和汞氬光源進行實驗驗證。

2.1 數(shù)值仿真

選用CRi公司的VariSpec近紅外型LCTF作為成像光譜儀分光器件進行數(shù)值仿真和實驗驗證，LCTF的波長調(diào)諧分辨率為10nm，其實測光譜透過率函數(shù)T(λ,α)如圖1所示。以MATLAB仿真生成入射光光譜數(shù)據(jù)模擬光譜檢測模型輸入，以(1)式生成仿真光譜測量值，后利用T(λ,α)求解入射光光譜近似解，并與仿真入射光光譜對比以確定采用該LCTF時的正則化參量β和離散化步長t。數(shù)值仿真的輸入光譜數(shù)據(jù)采用分離雙峰、重疊雙峰、重疊三峰3種形式，由于一般光譜曲線符合高斯函數(shù)形式，因此，仿真輸入光譜曲線應(yīng)為高斯峰f(λ)、基線漂移g(λ)、隨機白噪聲k(λ)3種成分合成的結(jié)果[17]，即:

Ei(λ)=f(λ)+g(λ)+k(λ)(7)

式中，不同下標的a,b,c,g,k均為生成光譜的參量常數(shù);Nw(λ)為白噪聲函數(shù)。仿真輸入光譜與仿真測量光譜分別為圖2a～圖2c中的實線與虛線。根據(jù)LCTF成像光譜儀光譜檢測模型和采用先驗約束條件的正則化求解方法過程，考慮到入射光輸入光譜與正則化方法的近似解光譜的一致性這一先驗約束條件，取t=5，β=0.001，其它取值驗證過程冗長，這里不再贅述。對于3種形式輸入光譜，以(6)式求得的光譜近似解如圖2d～圖2f所示，圖中實線為入射光光譜，虛線為本文中方法所得光譜近似解。圖2a和圖2d中雙峰間隔為100nm，模擬大間隔分離雙峰輸入；圖2b、圖2e與圖2c、圖2f為峰間隔10nm的重疊雙峰和重疊三峰輸入，模擬具有一定精細結(jié)構(gòu)的待測輸入光譜。對比圖2中3種形式輸入下的輸入光譜近似解曲線可見，先驗約束條件正則化方法求解所得光譜與輸入光譜的接近程度得到了顯著改善。光譜邊緣處的震蕩現(xiàn)象并非輸入光譜中噪聲導(dǎo)致，是由于有限數(shù)據(jù)數(shù)值迭代求解的普遍現(xiàn)象。作者以光譜強度差的標準差衡量仿真結(jié)果中光譜近似解與模擬輸入光譜的吻合程度，表1中給出了光譜強度差的標準差對比，顯見采用先驗約束條件正則化方法的近似解更為接近真實光譜。

Table 1 Comparison of standard deviation of spectral intensity difference after numerical simulation

standarddeviationofdifferencebetweenEi(λ)andEo(α)standarddeviationofdifferencebetweenEi(λ)andEi′(λ)bimodal(non?overlapping)spectrum6．28×1031．30×103bimodal(overlapping)spectrum5．02×1031．59×103tri?peakspectrum5．20×1032．14×103

Fig.2 Simulation results

2.2 實驗驗證

在數(shù)值仿真基礎(chǔ)上，以氣鹵混合(deuterium-halo-gen combined,DHc)光源作為連續(xù)光譜輸入，以DHc光源與汞氬校準用(calibration,CAL)光源耦合后的混合光源作為分離光譜輸入，實驗驗證了LCTF成像光譜儀光譜測量模型與先驗約束條件正則化方法的有效性,所得實驗結(jié)果分別如圖3和圖4所示，兩次實驗光譜強度差的標準差對比見表2。采用AvaSpec光纖光譜儀測得的輸入光譜曲線如圖3、圖4中實線所示。經(jīng)LCTF成像光譜儀后的光譜測量值如圖3a、圖4a中虛線所示。利用光譜測量值和對應(yīng)調(diào)諧波長的T(λ,α)，以先驗約束條件正則化方法進行求解，光譜近似解曲線如圖3b、圖4b中虛線所示。

Fig.3 Experimental results with the continuous spectrum(DHc)

Fig.4 Experimental results with the coupled spectrum(DHc+CAL)

Table 2 Comparison of standard deviation of spectral intensity difference after experiment

standarddeviationofdifferencebetweenEi(λ)andEo(α)standarddeviationofdifferencebetweenEi(λ)andEi′(λ)thecontinuousspectrum6．68×1031．04×103thecoupledspectrum5．91×1032．32×103

實驗結(jié)果分析可見，通過先驗約束條件正則化方法解得的Ei′(λ)與直接光譜測量值Eo(α)相比更吻合輸入光譜Ei(λ)。特別是采用DHc光源作為輸入時，對于利用LCTF成像光譜儀直接進行光譜檢測中存在的被誤識別的光譜峰，本文中方法的光譜近似解結(jié)果與原始輸入光譜更為吻合；對于DHc光源與CAL光源耦合后的光源光譜，多個因相隔較近而未測量出的光譜峰在經(jīng)算法改進后變?yōu)榭煞蛛x狀態(tài)，說明該算法對于改善LCTF成像光譜儀光譜檢測能力有較好的效果。

3 結(jié) 論

LCTF成像光譜儀的光譜檢測能力受到LCTF光譜透過率特性制約，為了改善其光譜檢測性能，本文中利用LCTF光譜透過率特性建立了光譜檢測過程的數(shù)學(xué)模型，進而依據(jù)LCTF成像光譜儀的光譜測量值及LCTF的光譜透過率特性函數(shù)，基于最優(yōu)化原理提出了反求入射光光譜的先驗約束條件正則化方法求解方法。作者隨后設(shè)計了數(shù)值仿真與實驗測試，采用模擬輸入光譜的數(shù)值仿真證實了該方法對于解決入射光輸入光譜分布反求問題具有顯著效果，并通過對不同光源成像光譜的實驗測試進一步驗證了該方法能夠有效改善LCTF成像光譜儀的光譜檢測能力。先驗約束條件正則化方法求解方法不僅為改善LCTF成像光譜儀光譜檢測能力的研究提供了新思路，還對其它分光方式的成像光譜儀光譜檢測能力的改善有一定的參考價值。

[1] ZHENG C Y, GUO Zh H, JIN L. Measurement of total viable count on chilled mutton surface based on hyper spectral imaging technique[J]. Laser Technology, 2015, 39(2): 284-288(in Chinese).

[2] DU P Sh, GUO J, DONG Q M. Application of liquid crystal tunable filter in multispectral imager[J]. Infrared, 2007, 28(11):4-8(in Chinese).

[3] SU L J. Study on the beam splitting technology of the imaging spectroscopy[D]. Xi’an: Xi’an Institute of Optics and Precision Mechanics of the Chinese Academy of Sciences,2006: 37-56(in Chinese).

[4] KOPP G, DERKS M, GRAHAM A. Liquid crystal tunable birefringent filters[J]. Proceedings of the SPIE, 1996, 2830:345-350.

[5] MILLER A P J, HOYT C C. Multispectral imaging with a liquid crystal tunable filter[J]. Proceedings of the SPIE, 1995, 2345:354-365.

[6] DONG Y. Study on resolution enhancement of Fourier transform spectroscopy[D]. Xi’an: Xi’an Institute of Optics and Precision Mechanics of the Chinese Academy of Sciences, 2001:17-38(in Chinese).

[7] DONG Y, XIANG L B, ZHAO B Ch. Theoretical study on Fourier self-deconvolution (FSD) of fourier transform spectrum[J]. Acta Photonica Sinica, 2002, 31(7): 841-846(in Chinese).

[8] WEI H L, WU Ch J, MA Zh J,etal. A new method for improving the measurement spectral resolution of atmospheric absorption spectra[J]. Acta Optica Sinica, 2002, 22(2): 165-169(in Chinese).

[9] KAWATA S, MINAMI K, MINAMI S. Superresolution of Fourier transform spectroscopy data by the maximum entropy method.[J]. Applied Optics,1983, 22(22):3593-3601.

[10] XIANG L B, ZHAO B Ch. A new method for supperresolution of Fourier transform spectra[J]. Acta Optica Sinica, 1995, 15(11):1529-1533(in Chinese).

[11] KAUPPINEN J K, MOFFATT D J, HOLLBERG M R,etal. A new line-narrowing procedure based on Fourier self-deconvolution, maximum entropy, and linear prediction[J]. Applied Spectroscopy, 1991, 45(3):411-416.

[12] SU G, XU R, WANG J Y. Simulation of resolution enhancing algorithms for spectra measured by AOTF[J]. Infrared, 2016, 37(10):23-29(in Chinese).

[13] ZOU M Y. Deconvolution and signal recovery[M]. Beijing: National Defence Industry Press,2001: 32-42(in Chinese)

[14] WU H X. The study of numerical algorithms for Fredholm integral equations of the first kind[D]. Xi’an: Xi’an University of Technology, 2008:21-32(in Chinese)

[15] LIANG F. Research on numerical solution methods for some inverse problems[D]. Shantou: Shantou University, 2010: 56-63(in Chinese)

[16] NOCEDAL J, WRIGHT S J. Numerical optimization[M]. Berlin, Germany: Springer, 2006: 8-13.

[17] FENG F, WANG F B, XIE F,etal. Implementation of spectral overlap resolution based on wavelet transforms and Gaussian fitting[J]. Acta Photonica Sinica, 2015, 44(6):630001(in Chinese).