基于壓縮傳感的高精度同步相量測量方法

于華楠，杜 瑤，郭樹旭

(1.東北電力大學(xué) 信息工程學(xué)院，吉林省 吉林市132012；2.吉林大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，長春 130012)

0 引 言

廣域測量系統(tǒng)(Wide area measurement system，WAMS)作為電網(wǎng)動態(tài)實(shí)時監(jiān)測的新技術(shù)和重要手段，能實(shí)時地反映全網(wǎng)系統(tǒng)的動態(tài)變化，對電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行起到了重要的作用[1]。而基于GPS技術(shù)的同步相量測量單元(Phasor measurement unit，PMU)正是WAMS系統(tǒng)的核心與基礎(chǔ)[2,3]，并已被廣泛應(yīng)用在電網(wǎng)中以獲得電網(wǎng)的實(shí)時動態(tài)變化，為實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)動態(tài)監(jiān)測提供了可能。

目前，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種同步相量測量算法，主要包括離散傅里葉變換(Discrete Fourier transform，DFT)法[4]、過零點(diǎn)檢測法(Zero crossing technique)[5]和數(shù)字濾波器法[6,7]等。其中，由于DFT算法適用于快速運(yùn)算，且具有良好的諧波抑制特性，在靜態(tài)條件下具有較好應(yīng)用價值，而被廣泛應(yīng)用到同步相量測量中。但在非同步采樣的情況下，現(xiàn)有的DFT算法往往會在幅值和頻率測量上出現(xiàn)誤差，且誤差會隨著非同步性的增強(qiáng)而急劇增大，導(dǎo)致出現(xiàn)頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，使溫測量結(jié)果達(dá)不到實(shí)際應(yīng)用的要求[8]。因此，這種誤差使DFT算法存在一定的局限性，降低了相量測量的準(zhǔn)確度，以至于直接影響到WAMS的應(yīng)用效果。同步相量的不準(zhǔn)確測量最終將導(dǎo)致電網(wǎng)的動態(tài)安全監(jiān)控能力下降，嚴(yán)重時將影響電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行[9]。

本文將壓縮傳感理論與DFT算法相結(jié)合，在無顯著延長總觀測時間的條件下，改善了算法性能，實(shí)現(xiàn)了對信號的精確測量，為同步相量測量裝置(Phasor measurement unit，PMU)的實(shí)現(xiàn)打下了良好基礎(chǔ)。

1 相量測量基本原理

同步相量測量裝置(Phasor measurement unit，PMU)是用于同步相量的測量與輸出，并進(jìn)行動態(tài)數(shù)據(jù)記錄的裝置[10,11]。PMU的基本原理為：首先由GPS接收器輸出1 PPS信號，經(jīng)過鎖相振蕩器后，信號被劃分成一定數(shù)量的脈沖用于采樣，再對信號進(jìn)行濾波，然后經(jīng)數(shù)模(A/D)轉(zhuǎn)換器量化，最后按照離散傅里葉變換原理，經(jīng)微處理器計算出相量[12]。PMU裝置是電力系統(tǒng)實(shí)時動態(tài)監(jiān)測的重要組成部分，因此，其必須具有較高的精確度和可靠性，確保電力系統(tǒng)運(yùn)行處于安全、穩(wěn)定的狀態(tài)，同時保障數(shù)據(jù)測量的精度。PMU的典型結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 PMU結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of PMU

在實(shí)際測量時，電網(wǎng)頻率總是在工頻(50 Hz)附近波動，使系統(tǒng)頻率和采樣頻率不能同步，造成非同步采樣，導(dǎo)致出現(xiàn)頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，影響系統(tǒng)測量精度。因此，為消除或減小由于非同步采樣造成的DFT測量誤差，本文提出了一種基于壓縮傳感的修正離散傅里葉變換的同步相量測量算法。

2 CS-DFT算法

2.1 壓縮傳感理論

壓縮傳感(Compressed sensing，CS)理論是由Donoho等[13,14]提出的一種新型的信息獲取指導(dǎo)理論。該理論指出：對可壓縮的信號可通過遠(yuǎn)低于奈奎斯特標(biāo)準(zhǔn)的方式進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣，仍能精確地恢復(fù)出原始信號。壓縮傳感的優(yōu)點(diǎn)在于信號的投影測量數(shù)據(jù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)采樣方法所獲得數(shù)據(jù)量，突破了奈奎斯特采樣定理的瓶頸，使得高分辨率信號的采集成為可能。

壓縮傳感理論主要包括3個方面：稀疏表示、編碼測量和重構(gòu)算法。圖2為壓縮傳感理論的基本框架。

圖2 壓縮傳感理論基本框架Fig.2 Basic framework of compressed sensing theory

下面從這3個方面對壓縮傳感理論進(jìn)行分析：

設(shè)測量信號為x∈Rn×1，其中n為信號長度，對x進(jìn)行壓縮傳感的過程如下。

(1)稀疏表示：信號的稀疏變換就是信號必須在某種變換下稀疏表示，這是壓縮傳感的先驗(yàn)條件。設(shè)計過完備字典D={D1,D2,…,Dn}，使信號x在過完備字典上具有稀疏性，即：

x=Da

(1)

式中：a是稀疏變量。

(2)編碼測量：在編碼測量中最重要的一步是確定投影矩陣，為了確保信號的線性投影能夠保持信號的原始結(jié)構(gòu)，投影矩陣必須滿足約束等距性(Restricted isometry property，RIP)條件。設(shè)觀測矩陣為Φ∈Rm×n(m?n)，則測量向量為y=Φx。

(3)信號重構(gòu)：先運(yùn)用重構(gòu)算法由測量值及投影矩陣重構(gòu)原始信號，即從測量向量y中恢復(fù)出原始信號x，然后利用重構(gòu)算法求解最優(yōu)問題min‖x‖，s.t.y=Φx。

2.2 信號的建模

本文以信號的標(biāo)準(zhǔn)形式為出發(fā)點(diǎn)，來表示不同特征的電力信號[15]：

s(t)=Acos(?t+φ)

(2)

式中：?為角頻率;φ為初相角;A為幅值，其利用歐拉公式可以展開為：

(3)

由于實(shí)際同步相量測量信號能夠通過多個正弦波疊加的形式來表示，因此可利用復(fù)指數(shù)形式表示為：

(4)

式中：Ah為正弦信號的幅值;φh為相角;fh為第h個波形分量的頻率值，且fh=h·f0，其中f0為基波頻率，h為正弦波的個數(shù);t為時間。

現(xiàn)給定長度為N的樣本序列，對其進(jìn)行DFT算法處理，可得到一組相應(yīng)的N個頻域系數(shù)，即：

(5)

式中：k為采樣點(diǎn)數(shù)，0≤k

(6)

式中：v為離散歸一化頻率。

2.3 算法實(shí)現(xiàn)

為提高同步相量測量算法的頻率分辨率，由頻率分辨率的定義：

(7)

可知，首先引入插值因子P(P為一個大小合適的整數(shù))，使N′=PN，以此使算法具有高頻率分辨率，即:

(8)

式中：N為采樣點(diǎn)數(shù)；T為采樣間隔。

由此，同步相量測量信號的歸一化頻率為：

(9)

(10)

(11)

0≤k

為了使同步相量的測量運(yùn)算起來更加簡單、直觀，可將式(8)寫成更緊湊的矩陣形式：

s≈Da

(12)

式中：s為包含同步相量測量信號DFT系數(shù)的向量；D為N×N′維矩陣；a為包含同步相量測量信號的相量值的向量，且由于a中大多數(shù)元素均為零，因此，可認(rèn)為a具有稀疏性。

在實(shí)際測量測量中，還需要考慮噪聲等不定因素，因此，式(12)為：

X=s+n=Da+e

(13)

式中：X為原始測量向量；e為噪聲信號。

因此，由上述分析可知，可將該問題看作為壓縮傳感問題，即考慮將CS方法與DFT算法相結(jié)合應(yīng)用于同步相量測量中。其中，用CS理論解求解(13)的表示如下：

(14)

式中：‖a‖0是l0的范數(shù)，即a的非零元素的個數(shù)；ε為給定的閾值。

引入矩陣DSt，其僅由以下算法步驟選擇的D矩陣的列組成，最初DS0有零列。該迭代計數(shù)器設(shè)置t=1。

步驟2 查找索引lt，使得：

(15)

式中：上標(biāo)H表示復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣；rt-1為殘差值；t為迭代次數(shù)。這一步迭代覆蓋了該算法的索引恢復(fù)部分。

步驟4 計算一個新的向量：

(16)

式中：t是非零元素。這一步的迭代提供了逐步細(xì)化的估計。

總的來說，CS-DFT算法是壓縮傳感與DFT算法的融合。首先利用離散傅里葉變換對測量信號進(jìn)行稀疏化，再通過狄利克雷函數(shù)來構(gòu)造觀測矩陣，最后，OMP算法在稀疏矩陣約束范圍內(nèi)搜索最優(yōu)的匹配原子，提取特征信息，最后重構(gòu)出原測量信號，為同步相量測量的進(jìn)一步分析實(shí)驗(yàn)奠定了良好的基礎(chǔ)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 測量信號模型

本文采用基波頻率為50 Hz的同步相量測量信號，信號采樣點(diǎn)數(shù)為1024個，采樣頻率為5.12 kHz，時間為0.2 s，對測量信號進(jìn)行分析，總結(jié)其基本特征，構(gòu)建典型測量信號的數(shù)學(xué)模型，包括諧波和間諧波信號、頻率斜升信號、幅度和相位調(diào)制信號，以及幅度和相位階躍信號，如圖3所示。

圖3 測量信號模型Fig.3 Model of measurement sign

3.2 算法性能評價

目前，衡量相量測量單元(PMU)性能的主要指標(biāo)有兩種：一是采用幅度誤差和相位誤差分別評價的方法；二是采用綜合矢量誤差(Total vector error，TVE)來評價同步相量測量裝置的測量誤差[15]。但由于TVE指標(biāo)更為科學(xué)、全面，可同時反映相量誤差和幅度誤差，因此，本文采用TVE評價方法。

TVE定義如下：

(17)

式中：XR為理想信號相量的實(shí)部；XI為理想信號相量的虛部；XR(n)為實(shí)測相量的實(shí)部；XI(n)為實(shí)測相量的虛部。

3.3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

利用本文方法對典型測量信號進(jìn)行MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)，得到其DFT分析和CS-DFT分析。

(1)在本次實(shí)驗(yàn)中，以相位調(diào)制信號和相位階躍信號為例，其中，相位調(diào)制信號的采樣頻率為5.12 kHz，載波頻率為100 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1024個，信號頻率為40 Hz；相位階躍信號的采樣頻率為5.12 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為1024個，信號頻率為50 Hz，實(shí)驗(yàn)對比結(jié)果分別如圖4、圖5所示。

圖4 相位調(diào)制信號的DFT和CS-DFT分析Fig.4 DFT and CS-DFT analysis of phasemodulation signal

圖5 相位階躍信號的DFT和CS-DFT分析Fig.5 DFT and CS-DFT analysis of phase step signal

由圖4和圖5可以看出，本文CS-DFT方法能夠有效地消除或減弱現(xiàn)有基于離散傅里葉變換的同步相量測量裝置中普遍存在的頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，提高了相量測量的準(zhǔn)確度，減小了測量誤差，為WAMS系統(tǒng)打下了良好的基礎(chǔ)，為實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)動態(tài)監(jiān)測提供了可能。

(2)在本次實(shí)驗(yàn)中，分別用DFT和CS-DFT兩種算法對信號進(jìn)行相量測量，得到各時刻的TVE值如圖6、圖7所示，其中以相位調(diào)制信號為例，時間為0.5 s，采樣點(diǎn)數(shù)為1024個，采樣頻率為5.12 kHz。圖6為在相位調(diào)制信號下的傳統(tǒng)DFT算法的TVE值，圖7為在相位調(diào)制信號下的CS-DFT算法的TVE值。

圖6 相位調(diào)制信號下DFT算法的TVE值Fig.6 TVE of DFT under phase modulation signal

圖7 相位調(diào)制信號下CS-DFT算法的TVE值Fig.7 TVE of CS-DFT under phase modulation signal

由圖6和圖7可明顯看出，DFT算法和CS-DFT算法的TVE值分別控制在0.6%和0.14%以下，TVE值均在合理范圍內(nèi)，且CS-DFT算法的TVE值均小于DFT算法，由此可證明兩種算法均能滿足相量測量的要求，CS-DFT算法的性能更優(yōu)。

(3)為進(jìn)一步證明CS-DFT算法的測量精度和通用性，使測量結(jié)果更加準(zhǔn)確，在本次實(shí)驗(yàn)中，以實(shí)際獲取的工頻測量信號為例，如圖8所示。

顯而易見，該工頻測量信號含有干擾信號，對其分別用DFT和CS-DFT兩種算法進(jìn)行分析實(shí)驗(yàn)，得到各時刻的TVE值如圖9所示。

圖8 工頻測量信號Fig.8 Power frequency measuring signal

圖9 工頻測量信號下DFT和CS-DFT算法的TVE值Fig.9 TVE of DFT and CS-DFT under power frequencymeasuring signal

由圖9可明顯看出，在對不同測量信號進(jìn)行MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)時，CS-DFT算法的TVE值均小于DFT算法，由此得出結(jié)論，CS-DFT算法指標(biāo)優(yōu)于DFT算法，CS-DFT算法對測量信號實(shí)現(xiàn)了精度更高的測量。

4 結(jié)束語

本文提出一種基于壓縮傳感理論的同步相量測量方法，該方法可對測量信號的同步相量進(jìn)行準(zhǔn)確、有效的測量，同時可明顯消除或減小由于非同步采樣造成的離散傅里葉變換的測量誤差，在很大程度上改善了傳統(tǒng)DFT算法的測量精度，能夠滿足WAMS系統(tǒng)的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)及要求，為實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)動態(tài)監(jiān)測和安全穩(wěn)定運(yùn)行提供了有力的保障。

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