4類平面多項式微分系統(tǒng)的Lyapunov量復(fù)算法

， ， ，

(1. 黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 河南 駐馬店 463000； 2. 信陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 河南 信陽 464000； 3. 北京工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)理學(xué)院， 北京 100124)

Lyapunov量及其等價的焦點量在微分方程的定性理論和分岔理論中非常重要，可以用于判斷微分方程的穩(wěn)定性，并且與極限環(huán)的研究聯(lián)系緊密。借助于計算軟件進行Lyapunov量的計算，可以判斷原點是否為細焦點或中心。文獻[1-3]中系統(tǒng)地研究了Lyapunov量的一些性質(zhì)。文獻[2]中主要研究了計算一類平面多項式系統(tǒng)Lyapunov量的復(fù)算法以及判斷中心的方法，并使用符號計算軟件進行實例分析。文獻[4-5]中研究2類平面多項式系統(tǒng)到基本形式的轉(zhuǎn)換， 拓寬了文獻[2]中的研究范圍，給出計算Lyapunov量的計算流程。文獻[6]中研究了一類三次系統(tǒng)的中心判定問題，證明了該系統(tǒng)以原點為中心的充要條件是其前五階焦點量全為0。文獻[7]中研究了2類一致等時系統(tǒng)的小振幅極限環(huán)分支問題，證明了從細焦點分支出小振幅極限環(huán)。在文獻[1-5]中研究的基礎(chǔ)上，文獻[8-11]中對平面多項式系統(tǒng)的Lyapunov量復(fù)算法進行了深入探討。文獻[12-13]中討論一類四次多項式微分系統(tǒng)的中心條件與極限環(huán)分支問題，通過對系統(tǒng)所對應(yīng)的伴隨復(fù)系統(tǒng)奇點量的計算，得到系統(tǒng)的原點成為中心和細焦點的條件。文獻[14-15]中通過研究受擾平面的Hamilton向量場，得到了盡可能多的極限環(huán)及其分布構(gòu)型的方法。

本文中分別討論2類四次平面多項式微分系統(tǒng)和加單擾動項、雙擾動項的2類多項式微分系統(tǒng)的Lyapunov量復(fù)算法，通過計算相應(yīng)系統(tǒng)的Lyapunov量，分析系統(tǒng)在原點的中心焦點問題，在文獻[12-15]中結(jié)果的基礎(chǔ)上給出原點成為中心和細焦點類型的證明，并判斷在具體參數(shù)控制下的細焦點的穩(wěn)定性。

1 Lyapunov量復(fù)算法

由文獻[2]，可得相關(guān)理論基礎(chǔ)。平面多項式系統(tǒng)形式為

(1a)

式中：x,y∈；f(x,y)和g(x,y)為解析函數(shù)。 當(dāng)x2+y2→0時，有

f(x,y)=O(x2+y2),

g(x,y)=O(x2+y2)。

式(1a)對應(yīng)的復(fù)系統(tǒng)為

(1b)

式中：z=x+iy；

(2)

性質(zhì)1[10]如果所有的Lyapunov量都為0，則原點是式(1a)的中心；否則是細焦點；如果Lk是第1個非零的Lyapunov量，則稱原點為k階細焦點。

性質(zhì)2[10]如果Lk<0，則原點是穩(wěn)定的；如果Lk>0，則原點不穩(wěn)定。

2 第1類四次平面多項式微分系統(tǒng)的Lyapunov量復(fù)算法

主要計算第1類四次平面多項式微分系統(tǒng)的Lyapunov量，研究系統(tǒng)在原點的中心焦點判定問題。第1類四次平面多項式微分系統(tǒng)[12]形式為

x·=-y+(a12-3)xy2+a21x2y+(a12+1)x3+a21y3+a31x3y+a31xy3+2x2y2+12b31+1?è???÷x4+1-12b31?è???÷y4,y·=x+b12xy2+(b21+3)x2y+b12x3+(b21-1)y3+b31x3y+b31xy3-12a31x4+12a31y4,ì?í????????????(3)

式中aij、bij(i,j=1,2,3)均為實數(shù)。

令z=x+iy,系統(tǒng)(3)轉(zhuǎn)換為如下復(fù)形式：

(4)

利用Lyapunov量的復(fù)算法， 借助數(shù)學(xué)計算工具， 可以求出系統(tǒng)(4)的Lyapunov量， 具體步驟如下：L1=a12+b21；L2=-a21-b12(L1=0，此時b21=-a12)；L3=a31(L1=L2=0，此時b21=-a12,b12=-a21)；L4=2a12(b31+1)-2(L1=L2=L3=0，此時b21=-a12,b12=-a21，a31=0)。

根據(jù)文獻[2, 5, 11]中的相關(guān)理論， 可得如下2個結(jié)論。

結(jié)論1 原點成為系統(tǒng)(3)的中心所滿足的條件為b21=-a12,b12=-a21，a31=0，b31=(1-a12)/a12,a12≠0。

證明： 當(dāng)滿足b21=-a12,b12=-a21，a31=0，b31=(1-a12)/a12,a12≠0這些條件時，L1=L2=L3=L4=…=0，因此原點為系統(tǒng)的中心。

結(jié)論2 原點成為系統(tǒng)(3)的最高階細焦點的階數(shù)為4。

證明： 當(dāng)且僅當(dāng)b21=-a12時，L1=0； 當(dāng)且僅當(dāng)b21=-a12，b12=-a21時，L1=L2=0； 當(dāng)且僅當(dāng)b21=-a12，b12=-a21，a31=0時，L1=L2=L3=0；當(dāng)且僅當(dāng)b21=-a12，b12=-a21，a31=0，a12(b31+1)=1時，L1=L2=L3=L4=…=0； 因此， 只有在滿足b21=-a12，b12=-a21，a31=0，a12(b31+1)≠1這些條件時，L1=L2=L3=0，L4=2a12(b31+1)-2≠0，此時原點成為系統(tǒng)(3)的最高階細焦點，階數(shù)為4。

下面給出一組數(shù)值進行模擬。取b21=-a12=-2.4，b12=-a21=2，a31=0，b31=1.2，此時系統(tǒng)(3)具有形式

(5)

通過計算，L1=L2=L3=0，L4=8.56>0，此時原點是不穩(wěn)定的四階細焦點。

3 第2類四次平面多項式微分系統(tǒng)的Lyapunov量復(fù)算法

主要計算第2類四次平面多項式微分系統(tǒng)的Lyapunov量，研究系統(tǒng)在原點的中心焦點判定問題。第2類四次平面多項式微分系統(tǒng)[13]形式為

x·=-y+a20x2+a20y2+(2a20+b21)x3+a21x2y+(2a20+b21)xy2+a21y3+a13x3y+a13xy3-b13x2y2-b13y4,y·=x+b20x2+b20y2+(2b20-a21)x3+b21x2y+(2b20-a21)xy2+b21y3+b13x3y+b13xy3-a13x4-a13x2y2,ì?í??????????(6)

式中aij、bij均為實數(shù)。

令z=x+iy，系統(tǒng)(6)轉(zhuǎn)換為復(fù)形式

(7)

根據(jù)文獻[2,5,11]中的相關(guān)理論可得如下2個結(jié)論。

結(jié)論3 原點成為系統(tǒng)(6)的中心所滿足的條件如下：

1)b21=-a20,b20=a13a20/b13,b13≠0,a20=0；

2)b21=-a20,b13=0,a20=0；

3)b21=-a20,b13=0,a13=0。

證明：當(dāng)分別滿足條件1)、 2)、 3)時，L1=L2=L3=L4=…=0，因此，原點是系統(tǒng)(6)的中心。

結(jié)論4 原點成為系統(tǒng)(6)的最高階細焦點的階數(shù)為3。

證明：1)當(dāng)b21=-a20時L1=0；當(dāng)b21=-a20，b20=a13a20/b13，b13≠0時，L1=L2=0； 當(dāng)b21=-a20，b20=a13a20/b13，b13≠0，a20=0，L1=L2=L3=L4=…=0。

2)當(dāng)b21=-a20時L1=0；當(dāng)b21=-a20,b13=0,a20=0時，L1=L2=L3=L4=…=0。

下面給出一組數(shù)值進行模擬。取b21=-a20=2.4，a21=1，a13=3.6，b13=-2，b20=4.32,此時系統(tǒng)(6)具有形式

(8)

通過計算，L1=L2=0，L3=-73.27<0，此時原點是穩(wěn)定的三階細焦點。

4 第3類加單擾動項的多項式微分系統(tǒng)的Lyapunov量復(fù)算法

討論加1個擾動項的多項式微分系統(tǒng)[14]

x·=y1-12y2?è???÷1-18y2?è???÷,y·=-x(1-2x2)1-12x2?è???÷+εy(λ+μx2+ry2+kx4+nx2y2+my4)ì?í??????????(9)

的Lyapunov量復(fù)算法問題， 其中0<ε?1，λ=0,m=1,μ、r、k、n為參數(shù)。

系統(tǒng)(9)可簡化為

x·=y1-12y2?è???÷1-18y2?è???÷,y·=-x(1-2x2)1-12x2?è???÷+εy(μx2+ry2+kx4+nx2y2+y4)。ì?í??????????(10)

討論單擾動系統(tǒng)(10)在以下2組控制條件下的中心和細焦點問題。

1)在第1組控制條件下， 系統(tǒng)的擾動參數(shù)組為(μ,r,k,n)=(55.578 506 73, -15.438 847 42, 3.123 873 423,-2.604 067 373)。在該組控制條件下，求出系統(tǒng)(10)的Lyapunov量為L1=-2.315 49ε，L2=-12.630 8ε，L3=-13.081 28ε-235.556 36ε3，L4=7.079 179ε-3 825.635 8ε3，…。

當(dāng)ε=0時，L1=L2=L3=…=0，此時原點為系統(tǒng)(10)的中心。

如果取ε=0.01， 則L1<0，L2<0，L3<0，L4>4，L5>0……， 此時原點為系統(tǒng)(10)的一階穩(wěn)定細焦點。

2)在第2組控制條件下，系統(tǒng)的擾動參數(shù)組為

(μ,r,k,n)=(-2.519 836 620, -17.038 846 67, -35.999 344 34, 3.150 348 690)。在該組控制條件下，求出系統(tǒng)(10)的Lyapunov量為L1=15.559 097ε，L2=-1.997 08ε，L3=-22.026 57ε-4 757.026ε3，L4=-71.594 0ε-10 650.573ε3，…。

當(dāng)ε=0時，L1=L2=L3=…=0，此時原點為系統(tǒng)(10)的中心。

如果取ε=0.01，L1>0，L2<0，L3<0，L4<0，L5<0，…， 此時原點為系統(tǒng)(10)的一階不穩(wěn)定細焦點。

5 第4類加雙擾動項的多項式微分系統(tǒng)的Lyapunov量復(fù)算法

討論加2個擾動項的多項式微分系統(tǒng)[15]

x·=y1-12y2?è???÷1-18y2?è???÷+εx(λ+μx2+ry2+kx4+nx2y2+my4),y·=-x(1-2x2)1-12x2?è???÷+εy(λ+μx2+ry2+kx4+nx2y2+my4)ì?í????????????(11)

的Lyapunov量復(fù)算法問題， 其中0<ε≤1，λ=0,m=1,μ、r、k、n為參數(shù)。

系統(tǒng)(11)可簡化為

x·=y1-12y2?è???÷1-18y2?è???÷+εx(μx2+ry2+kx4+nx2y2+y4),y·=-x(1-2x2)1-12x2?è???÷+εy(μx2+ry2+kx4+nx2y2+y4)。ì?í????????????(12)

討論雙擾動系統(tǒng)(12)在以下2組控制條件下的中心和細焦點問題。

1)在第1組控制條件下，系統(tǒng)的擾動參數(shù)組為

(μ,r,k,n,m)=(-0.924,-6.830 26,-3.112 99,1.7, 0.415 312 5)。在該組控制條件下，求出系統(tǒng)(12)的Lyapunov量為L1=7.754 26ε，L2=-1.170 30ε，L3=-10.926 2ε-202.874 1ε3，L4=-35.280 7ε-220.579 8ε3，…。

當(dāng)ε=0時，L1=L2=L3=…=0，此時原點為系統(tǒng)(12)的中心。

如果取ε=0.01，L1>0，L2<0，L3<0，L4<0，L5<0， …， 此時原點為系統(tǒng)(12)的一階不穩(wěn)定細焦點。

2)在第2組控制條件下，系統(tǒng)的擾動參數(shù)組為

(μ,r,k,n,m)=(-12.805 773, 10.671 735 4, -0.479 846 23, 1.2, -0.768 029)。在該組控制條件下， 求出系統(tǒng)(12)的Lyapunov量為L1=23.477 5ε，L2=1.636 2ε，L3=-28.946ε-80.189ε3，L4=-109.85ε-1 149.661ε3，…。

當(dāng)ε=0時，L1=L2=L3=…=0，此時原點為系統(tǒng)(12)的中心。

如果取ε=0.01，L1>0，L2>0，L3<0，L4<0，L5<0，…，此時原點為系統(tǒng)(12)的一階不穩(wěn)定細焦點。

6 結(jié)論

本文中主要探討了4類平面多項式微分系統(tǒng)的Lyapunov量復(fù)算法。計算出前2類平面多項式微分系統(tǒng)的Lyapunov量，得到2類四次系統(tǒng)的原點成為中心的充分條件和原點成為系統(tǒng)最高階細焦點的階數(shù)，階數(shù)分別為4和3。最后取定參數(shù)值探討了具體情況下的系統(tǒng)的最高階細焦點的穩(wěn)定性；討論了在幾組不同的控制參數(shù)組下，加單擾動項和雙擾動項的后2類系統(tǒng)的Lyapunov量復(fù)算法。

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