采空區(qū)復(fù)雜頂板的三維分形特性及曲面模擬

付建新，宋衛(wèi)東，譚玉葉

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采空區(qū)復(fù)雜頂板的三維分形特性及曲面模擬

付建新1, 2，宋衛(wèi)東1, 2，譚玉葉1, 2

(1. 北京科技大學(xué) 土木與資源工程學(xué)院，北京，100083;2. 金屬礦山高效開采與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京，100083)

以石人溝鐵礦采空區(qū)探測為工程背景，首先基于分形理論，對采空區(qū)復(fù)雜頂板的三維分形特性進(jìn)行定量研究，得到對應(yīng)的分維值。針對采空區(qū)頂板具有自相似性的特點(diǎn)，應(yīng)用參數(shù)方程分形插值迭代函數(shù)系統(tǒng)，對采空區(qū)頂板進(jìn)行模擬分析。在現(xiàn)場有限的已知點(diǎn)的基礎(chǔ)上，對采空區(qū)頂板曲面進(jìn)行模擬重構(gòu)。研究結(jié)果表明：采空區(qū)頂板具有明顯的分形特性，頂板的三維分維值綜合反映了邊界線的復(fù)雜程度、暴露面積及垂直方向上起伏的劇烈程度，定量地表征了頂板的非線性程度；最終模擬重構(gòu)的精度與參數(shù)c密切相關(guān)，c越小模擬精度越大，越接近實(shí)際情況。采空區(qū)的分形特性從本質(zhì)上反映了采空區(qū)邊界的非線性特征。

采空區(qū)；復(fù)雜頂板；分形理論；分形插值；曲面模擬

采空區(qū)穩(wěn)定性分析研究一直是一個(gè)熱點(diǎn)問題[1?4]，也是一個(gè)極其復(fù)雜的問題。工程實(shí)際表明，采空區(qū)的穩(wěn)定性與復(fù)雜程度有著密切的關(guān)系，目前，對于采空區(qū)復(fù)雜程度沒有有效的定量指標(biāo)進(jìn)行表述，大多通過定性描述進(jìn)行復(fù)雜程度的分級[5?8]。地質(zhì)活動的劇烈和開采過程中巖體爆破斷裂過程的不確定性和非線性，造成了采空區(qū)本質(zhì)上的復(fù)雜性。激光精細(xì)探測技術(shù)的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了采空區(qū)的三維空間可視化[9]，并可進(jìn)行較精確的定性描述和簡單的定量表征，如采空區(qū)體積、暴露面積等[10?11]，但由于采空區(qū)本質(zhì)上的復(fù)雜性，這些常規(guī)的研究方法存在局限性，采用非線性的理論方法深入研究采空區(qū)空間特征及邊界特性，是未來發(fā)展的必然。實(shí)際的頂板則是典型的空間曲面，復(fù)雜多樣，無法用常規(guī)的幾何理論進(jìn)行定量描述。雖然，通過精細(xì)探測和三維模型重構(gòu)可實(shí)現(xiàn)采空區(qū)頂板的可視化和定性描述，但無法揭示頂板的內(nèi)在規(guī)律。由于地下環(huán)境的復(fù)雜性，大量采空區(qū)人員與設(shè)備無法進(jìn)入，因此，無法采用精細(xì)探測，只能采用物探或者鉆探，而由于場地的限制，只能獲得很少的數(shù)據(jù)，需要采用合適的方法對未知點(diǎn)進(jìn)行模擬預(yù)測。本文作者首先基于分形理論，對采空區(qū)三維頂板的分形特性進(jìn)行研究，然后，基于分形插值理論對采空區(qū)邊界進(jìn)行模擬及預(yù)測，通過有限已知點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)采空區(qū)頂板的插值模擬，為采空區(qū)穩(wěn)定性分析及控制提供參考。

1 分形理論概述

MANDELBROT在研究海岸線長度時(shí)提出了分形的概念[12]，目前最常用的是盒維數(shù)[13]。

盒維數(shù)又稱計(jì)盒維數(shù)，設(shè)是屬于R的非空子集，尺度為且能完全覆蓋的正方形或立方體，所需的最少數(shù)量記為N()，則計(jì)盒維數(shù)D()為

若與相交的邊長為1/2的正方形盒子數(shù)目為N()，則盒維數(shù)D為

對于單位長度的正方體，若用邊長=1/(=1，2，3，…，)的小立方體進(jìn)行覆蓋，則需要的數(shù)目()為

對于正方體，當(dāng)用=1/(=1，2，3，…，)的立方體盒子進(jìn)行覆蓋時(shí)，數(shù)目為

繼續(xù)進(jìn)行擴(kuò)展到維物體，盒子的數(shù)目()與邊長的關(guān)系為

式中：為采空區(qū)頂板三維分形的計(jì)盒維數(shù)。

對式(6)取對數(shù)變換，可得

該方法采用正方形、立方體、圓形或球體等具有可定量化尺度的圖形去覆蓋或近似分形對象，并記錄對應(yīng)尺度的數(shù)量()。將圖形尺度按照一定比例縮小，得到對應(yīng)的()。繪制()與雙對數(shù)散點(diǎn)圖并進(jìn)行擬合，若具有明顯的線性特征，即無標(biāo)度特性，則說明具有分形特征。由分形定義可知

對式(8)取對數(shù)變換，得

線性擬合的直線斜率即為分維值。

2 采空區(qū)自相似性分析

自分形理論誕生以來，大量學(xué)者證明了礦床具有很好的分形特性[14]，自相似性不僅存在于宏觀空間分布中，而且存在于微觀元素富集及品位分布中，甚至礦床形成的時(shí)空演化也具有自相似性。楊成杰等[15?16]詳細(xì)地論述了礦床中存在的自相似現(xiàn)象，體現(xiàn)在以下方面：1) 成礦作用的時(shí)間演變；2) 區(qū)域礦產(chǎn)分布；3) 礦化的空間分布；4) 礦石礦物中的元素分布；5) 礦床構(gòu)造形跡。

采空區(qū)是開采礦體后遺留的結(jié)構(gòu)，因此，與礦體有著相同的構(gòu)造，相似的空間形態(tài)。另外，在開采過程中，頻繁的爆破采動應(yīng)力使采空區(qū)周圍巖體充滿了裂隙。研究表明，金屬礦山采空區(qū)在空間結(jié)構(gòu)域構(gòu)造上具有以下共性：

1) 隱伏性強(qiáng)，空間分布規(guī)律性差；

2) 為最大限度地回收礦體資源，并保持較小的貧化率，總是盡可能地使開采邊界接近礦體邊界，并避免廢石的混入。因此，采空區(qū)的空間形態(tài)與礦體有很高的相似度；

3) 在開采過程中，往往經(jīng)過了大規(guī)模的爆破震動，巖體充滿原生及次生裂隙，采空區(qū)邊界是典型的爆破斷裂邊界。

綜上所述，采空區(qū)在空間形態(tài)上與礦體具有高度的相似性，因此，從理論上講采空區(qū)具有分形特性。

3 采空區(qū)三維模型及空間信息的 獲取

3.1 采空區(qū)空間形態(tài)的數(shù)據(jù)化

精確的采空區(qū)模型是準(zhǔn)確進(jìn)行采空區(qū)分維計(jì)算的基礎(chǔ)，目前常用的三維探測系統(tǒng)為CMS空區(qū)探測系統(tǒng)。測量得到的是邊界各點(diǎn)的三維坐標(biāo)數(shù)據(jù)，可以直接被多種三維建模軟件(如SURPAC、3DMine等)調(diào)用進(jìn)行后處理，從而快速對采空區(qū)進(jìn)行三維重構(gòu)，從中獲取點(diǎn)、線、面、體等空間信息。

采空區(qū)精細(xì)探測及建模技術(shù)在石人溝鐵礦中得到了應(yīng)用，得到了采空區(qū)的表面輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)云集，進(jìn)行三維建模，得到三維實(shí)體圖如圖1所示。

圖1 斜井采區(qū)39號采空區(qū)實(shí)體圖

借助SURPAC等三維建模軟件，可得該采空區(qū)的體積、頂板暴露面積、長、寬、高等幾何參數(shù)，對于該采空區(qū)，體積為7 701 m3，頂板暴露面積為275 m2，長×寬×高為27.5 m×10.0 m×28.0 m。

雖然通過后期建模軟件從采空區(qū)精細(xì)模型中得到采空區(qū)頂板若干定量指標(biāo)，但這些指標(biāo)并不能全面地反映采空區(qū)的復(fù)雜程度。

3.2 采空區(qū)頂板三維要素提取及模型重構(gòu)

通過激光探測得到了采空區(qū)整個(gè)表面的數(shù)據(jù)點(diǎn)三維數(shù)據(jù)，需要去掉不需要的點(diǎn)集，保留頂板數(shù)據(jù)，進(jìn)行三維重構(gòu)。仍以石人溝鐵礦斜井采區(qū)39號采空區(qū)頂板進(jìn)行對比分析。圖2所示為斜井采區(qū)39號采空區(qū)頂板三維模型圖。

39號采空區(qū)頂板長度L基本和L相等，但方向上則波動較大，具有明顯的高度差。通過軟件查詢，可得到頂板上任意點(diǎn)的三維坐標(biāo)。

(a) 俯視圖(xOy平面)；(b) 側(cè)視圖(xOz平面)

4 采空區(qū)復(fù)雜頂板三維分形特性 計(jì)算

通常意義上的盒維數(shù)可較好地求解二維平面分形問題，但對于三維不規(guī)則曲面，往往需要進(jìn)行切剖面或投影等處理，從而導(dǎo)致某一維度分維值的壓縮或缺失，如將頂板投影到平面，進(jìn)行盒維數(shù)計(jì)算，得到平面的分維數(shù)，基于歐氏幾何理論體系設(shè)方向維數(shù)為1，進(jìn)行相加，得到頂板的三維盒維數(shù)。由于頂板在方向上并不是均勻分布，因此該方法不能反映方向上的復(fù)雜程度，得到的結(jié)果不能準(zhǔn)確揭示頂板內(nèi)在規(guī)律。

三維盒維數(shù)計(jì)算的關(guān)鍵問題是如何準(zhǔn)確得到完全覆蓋方向上的立方體個(gè)數(shù)。針對采空區(qū)頂板三維形態(tài)的特征，提出了?步驟計(jì)算法。算法的基本過程如下。

1) 將頂板三維模型向平面投影，確保頂板上的點(diǎn)全部都可以落到平面之上，不出現(xiàn)重疊與覆蓋現(xiàn)象。采用邊長為的網(wǎng)格進(jìn)行覆蓋，確定包含頂板的非空網(wǎng)格r,j。圖3所示為平面投影網(wǎng)格覆蓋圖。圖3中陰影為非空網(wǎng)格。

2) 確定非空盒子r,j內(nèi)頂板上的高度坐標(biāo)z,j，其中1≤，≤?1。則r,j內(nèi)完全覆蓋方向上的邊長為的立方體個(gè)數(shù)為

式中：Int()為取整函數(shù)，則覆蓋整個(gè)頂板的立方體的個(gè)數(shù)為

圖4所示為三維頂板覆蓋立方體個(gè)數(shù)計(jì)算示意圖。由圖4可見：平面網(wǎng)格覆蓋圖顯示了第行上，各列非空網(wǎng)格在方向上完全覆蓋頂板的立方體數(shù)量。圖4(b)中散點(diǎn)填充域?yàn)轫敯濉?/p>

圖3 xOy平面投影網(wǎng)格覆蓋圖

(a) xOz平面立方體計(jì)算；(b) 空間立方體分布示意圖

以1/2倍率縮小立方體的尺度，重復(fù)上述算法，得到一系列N()~數(shù)據(jù)對，繪制雙對數(shù)曲線，進(jìn)行線性擬合，得到函數(shù)關(guān)系式，即

采用該方法進(jìn)行求解時(shí)，每個(gè)步驟都是精確的數(shù)據(jù)，因此，得到的分維數(shù)接近真實(shí)的分維值。

進(jìn)行三維計(jì)盒維數(shù)計(jì)算前，首先要確定頂板上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，尤其是坐標(biāo)數(shù)據(jù)?；谌S激光探測數(shù)據(jù)，借助于SURPAC軟件，進(jìn)行數(shù)據(jù)的獲取，流程如圖5所示。

圖5 頂板z坐標(biāo)數(shù)據(jù)提取流程

利用得到的每個(gè)非空正方形網(wǎng)格角點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，基于MATLAB編制計(jì)算程序，計(jì)算任意尺度立方體覆蓋整個(gè)頂板所需要的數(shù)量N()，進(jìn)而求解三維分維數(shù)。

利用上述算法，對石人溝鐵礦斜井采區(qū)39號采空區(qū)頂板三維分型特性進(jìn)行了研究。

首先得到不同尺度網(wǎng)格覆蓋頂板平面投影的非空網(wǎng)格分布及數(shù)量。根據(jù)表中數(shù)據(jù)，初始覆蓋網(wǎng)格尺度為10 m，以1/2的倍率分別進(jìn)行縮小并重新覆蓋，得到對應(yīng)的非空網(wǎng)格分布及數(shù)量。

表1所示為2個(gè)采空區(qū)頂板被不同尺度立方體完全覆蓋時(shí)計(jì)算得到的數(shù)量。兩者的雙對數(shù)散點(diǎn)擬合曲線如圖6所示。

斜井采區(qū)39號采空區(qū)頂板在平面投影的計(jì)盒維數(shù)為1.845 2，而三維空間中分維值則為2.264 0，兩者相差0.418 8。

由于考慮了方向上維度的影響，頂板三維分維值出現(xiàn)了增大，斜井采區(qū)39號采空區(qū)頂板高差大，且起伏程度劇烈，三維分維值增加了0.418 8。頂板三維分維值可以較全面地反映采空區(qū)頂板的邊界復(fù)雜程度、平整起伏程度及暴露面積大小，定量地表征了頂板的非線性程度。平面分維值與三維分維值之間的差值代表了方向(即高度)的維度，是一個(gè)小于1的分維數(shù)，與頂板的起伏程度有密切關(guān)系。

表1 立方體尺度與對應(yīng)立方體數(shù)量列表

(a) xOy平面投影；(b) 三維空間

5 采空區(qū)頂板邊界分形插值模擬

5.1 采空區(qū)頂板二維剖面分形插值數(shù)學(xué)模型

由于采空區(qū)，通過試驗(yàn)或監(jiān)測往往只能得到部分?jǐn)?shù)據(jù)，為了更加精確地得到事物內(nèi)在的本質(zhì)規(guī)律，需要通過插值來進(jìn)行補(bǔ)充。插值實(shí)際上是一種近似的過程，因此，插值函數(shù)的精度決定了最終結(jié)果的準(zhǔn)確程度[17]。對于高度非線性數(shù)據(jù)的差值計(jì)算，分形插值理論具有明顯的優(yōu)勢，通過特殊的迭代函數(shù)IFS實(shí)現(xiàn)最終的迭代[18?19]。

由前述章節(jié)分析可知，采空區(qū)具有明顯的分形特性，邊界線高度非線性，采用分形插值得到的結(jié)果更加準(zhǔn)確。

一般的構(gòu)造迭代函數(shù)IFS如下：

式中：為變換矩陣，有

式中：為伸縮變換矩陣；為平移變換矩陣。

設(shè)給定集合，2個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，0)，(x，y)，其中2個(gè)相鄰的插值點(diǎn)為

式中：=1，2，…，；≤。則有

一般地，設(shè)為常數(shù)，定義為變換矩陣縱向壓縮因子，取0≤＜1?？v向壓縮因子的大小決定了分形插值曲線模擬的準(zhǔn)確程度，越大，準(zhǔn)確程度越大。對于單因變量函數(shù)曲線，x不隨y變化而改變，因此，=0，進(jìn)而求得其余系數(shù)：

對于上述IFS迭代函數(shù)，有且只有一個(gè)吸引子，插值曲線會通過所有插值點(diǎn)并不斷趨向于某個(gè)連續(xù)函數(shù)圖形[20]。

將已知點(diǎn)的數(shù)據(jù)代入迭代函數(shù)中，進(jìn)行運(yùn)算，直到收斂至吸引子。

采空區(qū)邊界在平面上表現(xiàn)為封閉的曲線，可采用參數(shù)方程進(jìn)行表征，因此，進(jìn)行采空區(qū)邊界分形插值模擬實(shí)際上就是對參數(shù)方程的迭代運(yùn)算過程。

其中：=1，2，…，。

根據(jù)分形插值迭代函數(shù)IFS構(gòu)建原理，存在映射變換矩陣，使

由式(20)可得

經(jīng)過計(jì)算可求得

將邊界上已得到的點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)代入式(21)進(jìn)行迭代運(yùn)算，直到最終收斂至吸引子，完成最終的分形插值過程。

要進(jìn)行采空區(qū)邊界線的迭代計(jì)算，還需滿足以下條件：

1) 對于邊界線上的和兩者互相獨(dú)立，因此，d=0，g=0。

2)c與h分別表示對和的影響程度，可設(shè)h=kc，k由下式求得：

為保證為壓縮映射，應(yīng)使0＜||||2＜1，即

3)a為參數(shù)的壓縮因子，其取法與普通函數(shù)分形插值相同。

根據(jù)參數(shù)形式分形插值IFS迭代原理及上述條件，將已知點(diǎn)代入進(jìn)行迭代求解，完成對邊界線的插值運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)對邊界線的模擬。

基于分形插值理論的采空區(qū)邊界模擬及預(yù)測步驟如下：

1) 為保證數(shù)據(jù)的唯一性，首先要進(jìn)行坐標(biāo)變換和歸一化處理，變換后坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)為

則邊界上的數(shù)據(jù)點(diǎn)(x，y)歸一化后為

3) 求取區(qū)間內(nèi)的仿射變換迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS，并得到每個(gè)參數(shù)的數(shù)值。

4) 進(jìn)行迭代計(jì)算，實(shí)現(xiàn)采空區(qū)邊界模擬及預(yù)測。

5.2 實(shí)例分析

對于部分人員、設(shè)備無法進(jìn)入的采空區(qū)，物探和鉆探是主要的探測手段，但由于場地或條件的限制，物探和鉆探只能通過定點(diǎn)的方式獲取少量的數(shù)據(jù)點(diǎn)，探測精度較低，因此，需要根據(jù)已獲得的點(diǎn)對未知的點(diǎn)進(jìn)行插值模擬。

進(jìn)行物探之后，往往需要進(jìn)行鉆探定位，鉆探定位時(shí)通常將探測區(qū)域劃分為若干剖面，每個(gè)剖面進(jìn)行選擇性的鉆探定位。

以石人溝鐵礦為實(shí)例，在探測過程中，將某采空區(qū)區(qū)域劃分為17個(gè)剖面，每個(gè)剖面選擇7~12個(gè)位置進(jìn)行定位。圖7所示為某一剖面得到的8個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)分別為：

采用本文的分形插值方法，設(shè)c=0.2，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)行迭代運(yùn)算，完成插值運(yùn)算，最終的差值結(jié)果如圖8所示，圖8中粗線為分形插值后得到的頂板邊界線。

圖8 分形插值后得到的頂板線

由圖8可以看出：分形插值得到的采空區(qū)邊界線具有一定的波動性，分形插值曲線的波動程度與已知點(diǎn)所在位置和c有密切關(guān)系。

采用同樣的方法對其他剖面進(jìn)行插值運(yùn)算，得到最終的頂板曲面如圖9所示。

由圖9可知：通過分形插值運(yùn)算之后，對頂板進(jìn)行了有效的模擬，大大提高了采空區(qū)的探測精度。

圖9 分形插值后的頂板三維曲面

6 結(jié)論

1) 采空區(qū)分形特性研究表明，采空區(qū)三維頂板都具有明顯的自相似性和無標(biāo)度特性，可采用分形幾何理論體系進(jìn)行研究。

2) 分維值采空區(qū)的非線性定量表征，具有很好的物理意義。任意剖面邊界線分維值表征了邊界線的復(fù)雜程度及變化規(guī)律，剖面二維平面區(qū)域分維值表征了區(qū)域復(fù)雜程度，而三維頂板分維值則表征了采空區(qū)頂板空間形態(tài)的復(fù)雜程度。三維頂板分維值與頂板平面投影分維值插值為小于1的分?jǐn)?shù)，表示高度方向起伏的復(fù)雜程度。

3) 根據(jù)分形插值理論，可運(yùn)用少量數(shù)據(jù)，插值得到頂板的分形曲面，并使插值得到的頂板曲面通過已知的插值數(shù)值點(diǎn)，這對復(fù)雜的采空區(qū)頂板的模擬研究和直觀顯示具有重要的意義。

4) 采空區(qū)分形特性的研究，具有重要的理論和實(shí)際意義，可從本質(zhì)上揭示采空區(qū)的非線性規(guī)律及特征，并可進(jìn)行進(jìn)一步理論研究，應(yīng)用前景廣闊。

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(編輯 劉錦偉)

Three dimensional fractal characteristics of complex roof of gob and its surface modelling

FU Jianxin1, 2, SONG Weidong1, 2, TAN Yuye1, 2

(1. School of Civil and Resource Engineering,University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China; 2. State Key Laboratory of High-Efficient Mining and Safety of Metal Mines, Ministry of Education, Beijing 100083, China)

Taking gob detection of Shirengou iron mine as the engineering background, based on the fractal theory, the fractal characteristics of the complex roof of gob were quantitatively studied, and the corresponding fractal dimension values were obtained. According to the characteristics of self-similarity of the roof of gob, the parameter equation and iterated function system were applied to the simulation and analysis of the roof. On the basis of the finite known points of the field, the surface of the gob roof was simulated and reconstructed. The results show that the roof of the gob has obvious fractal characteristics. The three-dimensional fractal dimension of the roof reflects the complexity of the boundary line, the exposed area and the degree of fluctuation in the vertical direction, which quantitatively represents the nonlinear degree of the roof. The final precision of the simulation is closely related to the parameters ofc, The smaller thec, the greater the simulation accuracy, and the closer the simulation surface is to the actual situation. The fractal characteristics of the gob reflect the nonlinear characteristics of the gob boundary in essence.

gob; complex roof; fractal theory; fractal interpolation; surface modeling

10.11817/j.issn.1672?7207.2018.02.023

TD803

A

1672?7207(2018)02?0431?08

2017?02?17；

2017?04?11

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51274023)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(FRF-TD-17-025A2) (Project(51274023) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(FRF-TD-17-025A2) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities)

宋衛(wèi)東，博士，教授，從事礦山開采安全控制及巖石力學(xué)研究；E-mail：songwd@ustb.edu.cn