考慮節(jié)理影響的巖體非線性流變模型

曹平，黃磊，陳瑜，周科平，鄧紅衛(wèi)

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考慮節(jié)理影響的巖體非線性流變模型

曹平，黃磊，陳瑜，周科平，鄧紅衛(wèi)

(中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

為研究節(jié)理巖體蠕變?nèi)^程，引入非線性黏性元件和節(jié)理裂隙塑性體，并將其與傳統(tǒng)的伯格斯模型串聯(lián)，得到一種新的復(fù)合流變模型。推導(dǎo)該模型一維和三維蠕變本構(gòu)方程，并運(yùn)用該復(fù)合模型及傳統(tǒng)伯格斯模型分別對(duì)巖石試樣蠕變實(shí)驗(yàn)全過程曲線進(jìn)行辨識(shí)，得到模型的各項(xiàng)蠕變參數(shù)。研究結(jié)果表明：復(fù)合流變模型對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)伯格斯模型的擬合結(jié)果。該模型不僅能充分反映巖石試樣的初期蠕變和穩(wěn)定蠕變過程，而且能很好地描述加速蠕變過程，同時(shí)又能體現(xiàn)節(jié)理裂隙對(duì)蠕變的影響。

巖石力學(xué)；復(fù)合流變模型；加速蠕變；節(jié)理裂隙；蠕變參數(shù)

巖體流變理論研究的是巖石或巖體在外力、水、溫度、地質(zhì)特征及施工擾動(dòng)等各種環(huán)境、地質(zhì)與工程因素作用下，巖體材料、結(jié)構(gòu)與時(shí)間相關(guān)的力學(xué)行為、本構(gòu)關(guān)系、失穩(wěn)與破壞規(guī)律。在巖石工程中，大多數(shù)失穩(wěn)現(xiàn)象都與巖石的流變特性有關(guān)。巖石常常因受到外荷載長(zhǎng)期的恒定作用而最終失穩(wěn)，從而引發(fā)工程事故的發(fā)生，因此，對(duì)巖石流變力學(xué)特性的理論研究一直受到人們的重視。目前，已有一套較為完整的理論系統(tǒng)來表述巖石的流變特性，即通過基本變形元件(彈簧、阻尼器和摩擦元件)的不同串并聯(lián)組合模型來建立巖石的流變本構(gòu)方程，常見的有麥克斯韋模型、開爾文模型、伯格斯模型、賓漢姆模型、西原模型等[1]，國(guó)內(nèi)外研究者也對(duì)此進(jìn)行了大量的研究[2?5]。然而，這些傳統(tǒng)的流變模型只能描述巖石的穩(wěn)態(tài)蠕變，而不能描述加速蠕變過程，因此，具有一定的局限性。隨著巖體工程規(guī)模的不斷擴(kuò)大和深部采礦的迅速發(fā)展，為保證工程的安全性，就需要能更好地反映巖石真實(shí)流變過程的新流變模型，因此，人們對(duì)流變理論的研究進(jìn)入了非線性階段。目前，人們對(duì)于非線性流變理論的研究已經(jīng)取得了不少成果，如：康永剛等[6?7]用分?jǐn)?shù)單元代替伯格斯模型中并聯(lián)的黏壺，建立分?jǐn)?shù)伯格斯模型，用來描述巖石的加速蠕變；宋勇軍等[8?9]將含分?jǐn)?shù)階微積分的軟體元件與彈簧元件串聯(lián)，結(jié)合冪函數(shù)黏塑性體，提出一種新的四元件非線性黏彈塑性流變模型；曹樹剛等[10]將黏滯系數(shù)視作隨時(shí)間變化的變量，改進(jìn)了西原模型；徐衛(wèi)亞等[11?13]提出一種非線性黏塑性體(NVPB模型)，并將其與五元件線性黏彈性流變模型串聯(lián)起來，從而建立一種新的巖石非線性黏彈塑性流變模型；ZHOU等[14]將傳統(tǒng)西原模型中的2個(gè)線性黏壺均以非線性黏壺替代，并建立其微分形式的本構(gòu)方程；BOUKHAROV等[15]提出用應(yīng)力觸發(fā)的虎克體與應(yīng)力觸發(fā)的非線性黏性元件組合而成的模型來描述加速蠕變。盡管人們?cè)诜蔷€性流變方面取得了很大進(jìn)展，但對(duì)一些問題的研究還不夠深入，如對(duì)節(jié)理巖體流變特性的研究還較少。節(jié)理巖體作為巖石工程中的常見研究對(duì)象，其強(qiáng)度、變形和破壞等特征直接影響到工程的穩(wěn)定性，而這些特征往往體現(xiàn)出與時(shí)間的相關(guān)性，因此，節(jié)理巖體流變特性的研究對(duì)巖石工程具有重大意義。本文作者在伯格斯模型的基礎(chǔ)上，提出一種新的流變模型，用于描述巖石的加速蠕變過程，體現(xiàn)節(jié)理對(duì)巖石流變的影響。

1 新模型的建立

1.1 伯格斯模型

傳統(tǒng)伯格斯模型由虎克體、黏性體及黏彈性體組成，如圖1所示。其中：為該模型的總應(yīng)力；0為彈性模量；1為黏性模量；1和2分別為黏壺的黏滯系數(shù)。該模型可以很好地模擬當(dāng)應(yīng)力小于屈服應(yīng)力時(shí)巖石的流變特性，但不能描述巖石的加速蠕變。

圖1 伯格斯模型

1.2 非線性黏性元件

為描述巖石的加速蠕變過程，現(xiàn)引入1個(gè)非線性黏性元件[16]，如圖2所示。其中：nl為非線性黏性元件的黏滯系數(shù)。該元件具有應(yīng)變觸發(fā)特性，即當(dāng)應(yīng)變小于a(即巖石結(jié)束穩(wěn)態(tài)蠕變而開始進(jìn)入加速蠕變時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)變)時(shí)，該元件呈現(xiàn)剛體的性質(zhì)，而當(dāng)應(yīng)變大于a時(shí)，該元件開始發(fā)揮作用。定義該非線性黏性元件的本構(gòu)關(guān)系為

其中：nl為該元件進(jìn)入加速蠕變后的應(yīng)變。

(a) 非線性黏性元件；(b) 非線性元件蠕變曲線

圖2 非線性黏性元件及其蠕變曲線

Fig. 2 Nonlinear viscous component and its creep curve

1.3 節(jié)理裂隙塑性體

節(jié)理巖石中由于有大量微裂隙的存在，故其在受壓時(shí)存在一個(gè)微裂隙閉合的階段，該階段在宏觀上表現(xiàn)為巖石的塑性變形。夏才初[17]的研究結(jié)果表明：當(dāng)實(shí)驗(yàn)所加荷載達(dá)到某一特定值(應(yīng)力門檻值)時(shí)，巖石試件因微裂隙閉合而產(chǎn)生的塑性變形開始顯現(xiàn)，而后隨荷載增加而逐漸增加，最終趨于穩(wěn)定。為描述這種巖石蠕變過程中因節(jié)理微裂隙閉合而產(chǎn)生的塑性變形，現(xiàn)引入裂隙塑性體元件[18]，其結(jié)構(gòu)如圖3所示。其中：隙裂性體由2條曲率按回旋線變化的單位長(zhǎng)度等截面懸臂梁組成，2條梁相連于0曲率處，荷載作用于梁的末端，兩梁之間的間隙隨所加應(yīng)力的增大而減小，當(dāng)應(yīng)力趨于無窮大時(shí)，間隙趨于0，此時(shí)，應(yīng)變達(dá)到最大L，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力為L(zhǎng)，此裂隙塑性體的本構(gòu)關(guān)系為

或

將該裂隙體與圣維南體并聯(lián)，用圣維南體的屈服強(qiáng)度s代替裂隙體的應(yīng)力門檻值，如圖4所示。

(a) 裂隙塑性體；(b) 裂隙塑性體本構(gòu)曲線

圖4 新型裂隙塑性體

1.4 節(jié)理巖體復(fù)合流變模型的建立

將非線性黏性元件、裂隙塑性體與傳統(tǒng)伯格斯模型串聯(lián)形成復(fù)合流變模型，以描述節(jié)理巖體的蠕變過程，如圖5所示。

圖5 復(fù)合流變模型

當(dāng)＜s時(shí)，非線性黏性元件表現(xiàn)為剛體，節(jié)理裂隙塑性體也未達(dá)到其應(yīng)力門檻值，故均不發(fā)揮作用，此時(shí)復(fù)合流變模型退化為傳統(tǒng)伯格斯模型，其一維本構(gòu)方程為

蠕變方程為

當(dāng)≥s，＜a時(shí)，裂隙塑性體開始發(fā)生塑性變形，而非線性黏性元件仍表現(xiàn)為剛體，此時(shí)復(fù)合流變模型為傳統(tǒng)伯格斯模型與裂隙塑性體的串聯(lián)，由串、并聯(lián)關(guān)系可得

對(duì)上述各式進(jìn)行Laplace變換，整理后再進(jìn)行Laplace逆變換，可得在≥s，＜a條件下該流變模型的本構(gòu)方程為

由串、并聯(lián)關(guān)系，并引入邊界條件=0，=0，可得模型的蠕變方程為

當(dāng)≥s，≥a時(shí)，非線性黏性元件開始發(fā)揮作用，此時(shí)復(fù)合流變模型為傳統(tǒng)伯格斯模型、裂隙塑性體以及非線性黏性元件串聯(lián)而成的模型。

先單獨(dú)看非線性黏性元件，施加恒定荷載=0，當(dāng)≥a時(shí)，由

可得

對(duì)式(10)進(jìn)行積分，并由初始條件=a(即巖石開始進(jìn)入加速蠕變階段對(duì)應(yīng)的時(shí)刻)，nl0可得該黏性元件的蠕變方程為

式中：

再由各元件之間的串聯(lián)關(guān)系可得復(fù)合流變模型的蠕變方程：

2 復(fù)合模型的三維蠕變本構(gòu)關(guān)系

在實(shí)際工程中，巖石一般都處于復(fù)雜的三維應(yīng)力作用下，而在室內(nèi)試驗(yàn)中也一般采用三軸壓縮試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行巖石強(qiáng)度的測(cè)定，因此，建立巖石在三維應(yīng)力作用下的蠕變本構(gòu)關(guān)系具有重要的工程意義。

該復(fù)合流變模型可以看成是由虎克體、黏性體、黏彈性體、裂隙塑性體和非線性黏性體5部分串聯(lián)而成，在三維應(yīng)力作用下，模型的總應(yīng)變可以表示為

對(duì)于虎克體，由廣義虎克定律可知，虎克體的三維本構(gòu)關(guān)系為

式中：，，和分別為應(yīng)變偏量、應(yīng)力偏量、應(yīng)變和應(yīng)力第一不變量的張量形式；0和分別為彈性剪切模量和彈性體積模量。

由此可得虎克體的應(yīng)變?yōu)?/p>

對(duì)于黏性體，在一維應(yīng)力下，其本構(gòu)方程為

進(jìn)而可得其蠕變方程為

三維情況下的應(yīng)變可表示為

對(duì)于黏彈性體，假設(shè)該黏彈性體的體積變化是彈性的，其蠕變主要體現(xiàn)在剪切變形上，由此可知其三維本構(gòu)關(guān)系為

對(duì)于裂隙塑性體，將一維情況下的應(yīng)變推廣到三維狀態(tài)下可得

對(duì)于非線性黏性體，由于在室內(nèi)的單軸或三軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)中，試樣在進(jìn)入加速蠕變階段時(shí)大都體現(xiàn)在軸向變形急劇增大，因此，在三維應(yīng)力狀態(tài)下，可以選擇第一主應(yīng)力11與屈服強(qiáng)度a的關(guān)系來判斷非線性黏性體是否發(fā)生應(yīng)變，當(dāng)11≥a時(shí)，非線性黏性體開始觸發(fā)，試樣開始進(jìn)入加速蠕變階段。由此，三維狀態(tài)下非線性黏性體的本構(gòu)關(guān)系可以表示為

將式(14)~(21)代入式(13)，可得三維應(yīng)力狀態(tài)下該復(fù)合模型的蠕變方程為

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合與驗(yàn)證分析

本文作者根據(jù)文獻(xiàn)[19]中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)復(fù)合流變模型的蠕變方程進(jìn)行擬合，以驗(yàn)證該模型描述節(jié)理巖石蠕變?nèi)^程的合理性。將軟弱節(jié)理礦巖試樣加工成直徑×高度為50 mm×100 mm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱形試件，利用剪切流變儀進(jìn)行蠕變?cè)囼?yàn)。加載方式為循環(huán)加卸載，從小到大依次逐級(jí)施加荷載，荷載作用時(shí)間由試件應(yīng)變率確定。當(dāng)試件軸向應(yīng)變?cè)?8 h內(nèi)小于 0.01 mm時(shí)，可認(rèn)為其達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，完全卸載，卸載后記錄其應(yīng)變恢復(fù)；當(dāng)試件在24 h內(nèi)無應(yīng)變恢復(fù)時(shí)再施加下一級(jí)荷載，依此類推，直至試件破壞為止。本文著重體現(xiàn)蠕變過程中的加速蠕變階段，故引用最高級(jí)荷載時(shí)的蠕變數(shù)據(jù)，此時(shí)荷載為33.8 MPa。

圖6所示為巖石試樣在實(shí)驗(yàn)過程中的軸向應(yīng)變?時(shí)間曲線。由圖6可知試樣的蠕變過程分為3個(gè)階段：0~1時(shí)間段為初期蠕變階段，1~a為穩(wěn)定蠕變階段，a之后為加速蠕變階段。1=12.4 h，a=190 h，a所對(duì)應(yīng)的應(yīng)變可以看成是非線性黏性元件的應(yīng)變觸發(fā)值a，a=9.92 mm。

圖6 巖石試樣軸向應(yīng)變?時(shí)間曲線

根據(jù)復(fù)合模型的蠕變方程以及試樣應(yīng)變?時(shí)間曲線，可將上述曲線分為2個(gè)部分：0~a時(shí)段曲線為第1部分，a之后的加速蠕變曲線為第2部分。對(duì)于第1部分曲線，對(duì)式(8)采用非線性最小二乘法，可以確定蠕變參數(shù)0，1，1和2。對(duì)于第2部分曲線，將確定好的0，1，1和2及裂隙塑性體元件的流變閾值參數(shù)[20]s=4.05 MPa，L=56.80 MPa和L=3.351 mm代入式(13)，并對(duì)其進(jìn)行非線性最小二乘法可得蠕變參數(shù)nl。以上擬合過程可利用Origin軟件中自帶程序完成。

表1所示為復(fù)合模型對(duì)巖石試樣蠕變曲線辨識(shí)的所有蠕變參數(shù)。圖7所示為復(fù)合模型對(duì)巖石試樣蠕變過程曲線的擬合結(jié)果。由圖7可知：傳統(tǒng)伯格斯模型能較好地?cái)M合穩(wěn)定蠕變階段，但在擬合初期蠕變階段出現(xiàn)很大的偏差，尤其是在初始應(yīng)變處，擬合值明顯低于試驗(yàn)值，這是因?yàn)樵嚰泻泄?jié)理裂隙，在受壓瞬間產(chǎn)生瞬時(shí)塑性變形，而傳統(tǒng)伯格斯模型中并沒有能描述這種因節(jié)理裂隙而造成的瞬時(shí)塑性變形的元件，同時(shí)，傳統(tǒng)伯格斯模型的擬合曲線中也并沒有體現(xiàn)出加速蠕變階段。而復(fù)合流變模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好，不僅能夠充分反映巖石的初期和穩(wěn)定蠕變過程，而且能描述加速蠕變過程，同時(shí)，又能體現(xiàn)節(jié)理裂隙對(duì)蠕變的影響。

表1 復(fù)合流變模型參數(shù)

圖7 復(fù)合流變模型與伯格斯模型擬合曲線對(duì)比

4 結(jié)論

1) 引入1個(gè)非線性黏性元件，并將其與傳統(tǒng)伯格斯模型串聯(lián)，形成改進(jìn)的伯格斯模型，以描述巖石蠕變的全過程。

2) 引入一種節(jié)理裂隙閉合體，用閉合體在外力作用下的變形來描述巖石中因節(jié)理裂隙閉合而引起的宏觀上的塑性變形，將其與改進(jìn)的伯格斯模型串聯(lián)，形成新的復(fù)合流變模型，并推導(dǎo)出該模型在一維和三維應(yīng)力狀態(tài)下的蠕變本構(gòu)方程。

3) 新的復(fù)合流變模型的擬合結(jié)果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)伯格斯模型的擬合結(jié)果，不僅能充分反映巖石蠕變過程中的初期蠕變、穩(wěn)態(tài)蠕變，而且能很好地描述加速蠕變，同時(shí)，也能體現(xiàn)節(jié)理裂隙對(duì)巖石蠕變的影響。

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(編輯 伍錦花)

Nonlinear rheological model of rock considering the effects of joints

CAO Ping, HUANG Lei, CHEN Yu, ZHOU Keping, DENG Hongwei

(School of Resource and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

To study the whole creep process of jointed rock, nonlinear viscous element and joint fissures plastic body were introduced, and then combined with classical Burgers model in series to gain a new composite creep model. 1D and 3D creep constitutive equation of the composite creep model were deduced. By using the composite creep model and the classical Burgers model to fit with the whole process of rock specimen creep curve, creep parameters of the models were derived. The results show that the composite creep model produces better fitting results than the classical Burgers model. It can not only fully reflect the early and steady creep process, but also well present the accelerating creep process of the rock specimen. Meanwhile, it can also reflect the influence of joint fissures on creep.

rock mechanics; the composite creep model; accelerating creep; joint fissures; creep parameters

10.11817/j.issn.1672?7207.2018.02.019

TU45

A

1672?7207(2018)02?0401?06

2017?03?21；

2017?05?30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11772358，51604299，51774323，51274249)；湖南省研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目(CX2012B069)；中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2016M600636)；中南大學(xué)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2017)；國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(2016YFC0600706) (Projects(11772358, 51604299, 51774323, 51274249) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(CX2012B069) supported by the Postgraduate Innovative Research Project of Hunan Province; Project(2016M600636) supported by China Postdoctoral Science Foundation; Project(2017) supported by Central South University Postdoctoral Science Foundation; Project (2016YFC0600706) supported by the National key Research and Development Program)

曹平，博士，教授，博士生導(dǎo)師，從事巖石力學(xué)與工程領(lǐng)域的教學(xué)和科學(xué)研究工作；E-mail: pcao_csu@sohu.com