泰勒公式在《數(shù)學分析》解題提高中的應(yīng)用研究

王照生

(贛州師范高等專科學校, 江西 贛州 341000)

一、引言

泰勒公式是《數(shù)學分析》微積分中非常重要的公式，是利用函數(shù)在已知點的性質(zhì)求解函數(shù)值的有利解析工具，在解決函數(shù)極限，近似計算，積分運算，級數(shù)斂散性判斷等問題上有著廣泛應(yīng)用?！稊?shù)學分析》教材對泰勒公式在解題中的應(yīng)用涉及偏少，缺乏涉及各方面解題技巧的系統(tǒng)性闡述；另外泰勒公式的表達式較長，因此學生在解題中不太喜歡使用它，學生在學習中缺乏應(yīng)用泰勒公式解題的意識。事實上，在數(shù)學分析解題中靈活運用泰勒公式，會給我們帶來極大的便利。

二、泰勒公式

泰勒公式常用的有兩種形式的余項——拉格朗日余項和皮亞諾余項．為應(yīng) 用方便，我們先把公式敘述如下：

定理1[1]（帶拉格朗日型余項的泰勒公式）設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的某個區(qū)間（a，b）內(nèi)具有直到n+1階的導數(shù)，則對任意 x，x∈(a，b)，有

定理2[1]（帶皮亞諾型余項的泰勒公式）設(shè)函數(shù)f(x)在0點的某個鄰域內(nèi)有定義，并在x0點有n階導數(shù)（n≥1），則在x0點附近有下列展開式：

其中 Rn(x)=o(x-x0)n，x→x0。

當x0=0時，泰勒公式稱為麥克勞林公式．帶拉格朗日余項的泰勒公式在整個區(qū)間（a，b）內(nèi)都成立，所以也叫做整體泰勒公式。而帶皮亞諾余項的泰勒公式只在x0點附近成立，所以也叫做局部泰勒公式。

三、活用泰勒公式巧解題舉例

（一）求極限

（二）無窮小量階的比較

例2設(shè)函數(shù)f（x）=x+aln（1+x）+bxsinx，g（x）=kx3在x→0時為等價無窮小，求常數(shù)a，b，k的取值。

由于當x→0時，f（x）：g（x），則結(jié)合等價無窮小定理，有

（三）求函數(shù)在給定點x0處的高階導數(shù)

例3求函數(shù)f（x）=x2，2x在x=0處的階導數(shù)f（n）（0）。

等式右端xn的系數(shù)為，于是

注 本題的求解體現(xiàn)出泰勒公式的優(yōu)越性。

（四）在證明不等式上的應(yīng)用

泰勒公式在證明不等式時，條件約束低，只要函數(shù)在二階或二階以上可導，即可使用泰勒公式。

證 f(x)在[a,b]上二階可導，從而f(x)用泰勒公式展開得到二階形式

選擇 x=xi從而上式為

將ki乘上式兩端，然后n個不等式相加，得出

本例提示：在解題中，可以具體問題具體分析，選取泰勒公式的展開式。

（五）泰勒公式在近似計算上的應(yīng)用

例5[2]求方程的近似解，精確到 0．001。

即當即為滿足題設(shè)條件的解。

（六）在級數(shù)收斂性的判定

由題設(shè)可知f″(x)在包含原點的某個閉區(qū)間[-δ,δ](δ〉0) 上連續(xù)，則存在 M〉0，當 x∈[-δ,δ] 時，有則收斂，由比較判別法知收斂，從而級數(shù)絕對收斂

四、小結(jié)

解題中發(fā)現(xiàn)，用泰勒公式來解題往往方法簡單，因為泰勒公式本質(zhì)上可以將一些復雜的函數(shù)近似地表示為多項式函數(shù)，多項式函數(shù)是數(shù)學中最簡單的一類函數(shù)，對其研究自然更簡單，可以大大提高解題效率。

[1]同濟大學數(shù)學系．高等數(shù)學（上冊）[M]．北京：高等教育出版社，2014．

[2]陳兆斗，鄭連存，等．大學生數(shù)學競賽習題精講[M]．北京：清華大學出版社，2010．