基于參數(shù)化建模的懸臂結構優(yōu)化設計

徐鵬杰，張鳳生，劉延杰，任錦霞

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基于參數(shù)化建模的懸臂結構優(yōu)化設計

徐鵬杰，張鳳生*，劉延杰，任錦霞

（青島大學 機電工程學院，山東 青島 266071）

參數(shù)化設計方法中初始參數(shù)通常是憑借設計經(jīng)驗或參考以往的設計，之后對模型進行仿真分析，確定其是否滿足設計要求。針對方法中存在的主觀性和設計效率問題，給出一種快速獲取最優(yōu)建模參數(shù)的方法。首先將機械結構的參數(shù)化尺寸定義為變量，根據(jù)結構的設計要求建立目標函數(shù)。然后利用MATLAB求解目標函數(shù)的最優(yōu)解，該最優(yōu)解就是參數(shù)化尺寸的最優(yōu)值，從而實現(xiàn)機械結構的優(yōu)化設計。文中通過一設計實例，介紹了該方法的設計思路與設計過程，驗證了其可行性和有效性。

懸臂結構；參數(shù)化建模；目標函數(shù)；MATLAB

目前，機械設計的典型方法是先進行參數(shù)化建模[1]，然后對模型進行仿真分析，確定其是否滿足設計要求。如果不滿足設計要求，則需重新修改建模參數(shù)，并進行仿真分析，直至達到設計要求，有時甚至需要重復多次。顯然，這會降低設計效率。參數(shù)化建模是將目標產(chǎn)品的結構尺寸參數(shù)化，并建立起參數(shù)化尺寸之間的相互關系，通過調整參數(shù)來修改和控制幾何形狀，自動實現(xiàn)產(chǎn)品的三維建模。其中，對參數(shù)的調整是憑經(jīng)驗或參考以往的設計，有一定的主觀性。為此，本文提出了一種快速準確獲取最優(yōu)建模參數(shù)的方法。首先將機械結構的參數(shù)化尺寸定義為變量，根據(jù)機械結構的設計要求建立目標函數(shù)[2]。然后利用MATLAB求解目標函數(shù)的最優(yōu)解[3]，即參數(shù)化尺寸的最優(yōu)值，再根據(jù)最優(yōu)解對機械結構進行三維建模，實現(xiàn)機械結構的優(yōu)化設計。

1 設計實例分析

圖1和圖2所示為某設備上主軸和U型臂的結構簡圖。主軸左端通過聯(lián)軸器與電機連接，右端與U型臂固連，主軸中間部分安裝軸承，并固連在立柱上。為了增加連接的強度和可靠性，U型臂和主軸之間焊有加強板。U型臂由矩形管折彎焊接制造，U型臂上安裝有其它零部件，并承受外部載荷。

圖1 主軸和U型臂結構圖

圖2 主軸裝配示意圖

這種設計結構類似于懸臂梁結構[4]，外部載荷作用在U型臂的端部，支撐點是兩個軸承。因此，對機械結構的強度和剛度要求較高[5]，尤其是對主軸和U型臂的彎曲變形量要求更高，是設計的關鍵。

應用本文提出的設計方法，如圖3所示。軸頸（段和段）與軸承配合，其徑向尺寸和橫向尺寸為定值，軸頭（段和段）、軸環(huán)（段）的徑向尺寸與軸向尺寸定義為變量，徑向尺寸分別設為45－21、45－23和45＋22，軸向尺寸為1～3；U型臂由矩形管彎折焊接制造，其彎折長度尺寸定義為變量，選用的矩形管規(guī)格為90 mm×50 mm×4 mm，則U型臂的寬度尺寸和厚度尺寸為定值。根據(jù)分析，主軸和U型臂的彎曲變形量是設計的關鍵指標。因此，將主軸撓度δ和U型臂撓度定義為目標函數(shù)。根據(jù)設計要求給出各變量的取值范圍，如表1所示。

圖3 主軸和U型臂數(shù)學模型

表1 主軸和U型臂的各尺寸變量取值范圍

2 建立目標函數(shù)及求解

2.1 利用能量法[6]建立主軸撓度的目標函數(shù)

（1）確定外部載荷及約束力

根據(jù)設計要求，U型臂承受的最大外部載荷max＝1500 N，載荷作用于U型臂兩壁的端部，單臂載荷F＝750 N，如圖4所示。

圖4 主軸和U型臂受力分析圖

（2）根據(jù)軸徑及約束力的位置，將軸進行分段（表2）

（3）設虛設單位載荷[8]為1 N，作用于點，求解虛設約束力

（4）根據(jù)能量法推導出各段撓度計算公式

式中：l為軸上各段的長度；為材料彈性模量；I為軸上各段的截面慣性矩；12、12為軸上各段的左右兩端彎矩、虛設單位載荷彎矩。

表2 主軸分段表

利用同樣的方法可求出軸上其他各段的撓度δ～δ。然后將各段撓度進行疊加，最終主軸撓度δ為：

2.2 利用疊加法[8]求解U型臂的目標函數(shù)δU

對于U型臂，需要對點撓度U進行計算。受力如圖4所示，利用疊加法建立目標函數(shù)U。根據(jù)設計形狀將U型臂分為、和三段。

在段，點撓度Ug由力F產(chǎn)生的撓度Ug1和附加彎矩M產(chǎn)生的撓度Ug2組成。根據(jù)材料力學[8]撓度計算公式，得：

（10）

同理，求出段的撓度Uh1和附加彎矩M產(chǎn)生的撓度Uh2、段撓度Uk。在整個U型臂上，點的撓度U為：

式中：為U型臂各段長度，mm；I為截面慣性矩，mm4。

2.3 利用MATLAB求解目標函數(shù)的最優(yōu)解

應用MATLAB求解目標函數(shù)δ和U，以得到各尺寸的最優(yōu)解。求解結果如表3。為全面了解表3中各變量變化對主軸撓度δ和U型臂撓度U的影響，任意選取兩個變量，其他變量取優(yōu)化結果值，應用MATLAB分析所選變量對δ和U的影響，結果如圖5～圖6所示。

表3 MATLAB求解值

設計結果分析：

（1）轉軸許可撓度δ＝(0.0001～0.005)，為轉軸支撐點間的距離[6]?？傻弥鬏S撓度為δ＝0.0496 mm，在0.012～0.060 mm之間，符合設計要求。

（2）除變量1外，其余各變量對主軸撓度δ和U型臂撓度U均有影響，但各變量對δ和U的影響各不相同，且不是簡單的線性關系。例如，在圖6中，5增大時，主軸撓度δ快速增大。這表明在設計U型臂時，段的長度要精確設計，盡量減小對主軸的撓度δ影響。

圖5 δZ與x1、x2關系圖

3 3D建模與有限元分析驗證

為校驗本文提出的設計方法的可行性與有效性，根據(jù)表3中求解的1～5值建立主軸和U型臂的三維模型，導入ANSYS WorkBench進行有限元分析。分析時，處理掉部分小倒角和圓角，忽略焊接工藝邊[10]。有限元分析的關鍵在于網(wǎng)格劃分，本設計實例采用Meshing進行網(wǎng)格劃分，關鍵部位進行網(wǎng)格細化，如圖7所示。將總變形作為分析輸出結果，如圖8所示，外部載荷處變形量為13.782 mm，與本文設計方法求得的值接近，證明了其正確性。

4 總結

本文的設計方法是對基于參數(shù)化建模的優(yōu)化設計方法的改進，它將機械結構的優(yōu)化設計作為數(shù)學最優(yōu)化問題來處理。針對具體的機械結構設計，除個別與標準件配合的尺寸取定值外，其余結構尺寸設定為變量，并選定結構中的關鍵設計要求作為優(yōu)化目標，建立目標函數(shù)。再利用計算機求出目標函數(shù)的最優(yōu)解。與已有的參數(shù)化建模設計相比，該方法不僅有效提高設計效率，而且揭示出各尺寸變量對結構性能的影響程度。

圖7網(wǎng)格劃分圖

圖8撓度圖

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Optimization Design of a Cantilever Structure Based on Parametric Modeling

XU Pengjie，ZHANG Fengsheng，LIU Yanjie，REN Jinxia

( College of Mechanical & Electrical Engineering, Qingdao University, Qingdao 266071, China )

The initial parameters of parametric modeling method are usually determined by means of experience or by reference to previous designs, and then the model is simulated and analyzed to determine whether it meets the design requirements. Due to the problems of subjectivity and efficiency in the method, this paper presents a method to quickly obtain optimal modeling parameters. The parameterized dimensions of the mechanical structure are firstly defined as variables, an objective function is established according to design requirements. And then the optimal solution of the objective function is solved by MATLAB, which is the optimal value of the parameterized dimensions, and thus to realize the optimal design of mechanical structure. Combined with an design example, the paper introduces the design idea and design process of the method, and verifies its feasibility and effectiveness.

cantilever structure；parametric modeling；objective function；MATLAB

TH122

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2018.02.013

1006－0316 (2018) 02－0049－05

2017－06－30

徐鵬杰（1992－），男，山東濱州人，碩士研究生，主要研究方向為機械電子工程。

通訊作者：張鳳生（1962－），男，山東青島人，博士，教授、碩士研究生導師，主要研究方向為機電一體化設計。