人字齒輪在線測量系統(tǒng)齒向測點(diǎn)算法研究*

蔣宇航，黃筱調(diào),，方成剛,，張 虎，王 偉

(南京工業(yè)大學(xué) a.機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院；b.江蘇省工業(yè)裝備數(shù)字制造及控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210009)

0 引言

人字齒輪往往直徑較大，齒面形狀較復(fù)雜，加工時(shí)間較長，因此如果采用離線測量，安裝拆卸過程會(huì)花費(fèi)大量的時(shí)間和人力，并且會(huì)有較大的裝夾誤差影響，在機(jī)床上加裝在線測量模塊成為了目前較為合適的選擇。整體式人字齒輪由于齒輪中間沒有退刀槽，齒輪的左旋齒和右旋齒一體化加工形成，因此結(jié)構(gòu)較為緊湊，對中性好，傳動(dòng)精度更高。但結(jié)構(gòu)復(fù)雜，加工成本高，所以對精度的要求更加高。傳統(tǒng)的在線測量方式很少有關(guān)于人字齒輪在線測量的研究，零退刀槽人字齒輪由于結(jié)構(gòu)特殊，加工時(shí)會(huì)在齒輪上下輪齒的交接處形成一個(gè)無法進(jìn)行測量的盲區(qū)，盲區(qū)主要影響人字齒輪齒向誤差的測量。在線測量系統(tǒng)齒向測點(diǎn)算法通過分析人字齒輪數(shù)學(xué)模型與加工過程，通過添加控制參數(shù)避開人字齒輪結(jié)構(gòu)的測量盲區(qū)。

謝華昆[1]等介紹了齒輪在線測量技術(shù)發(fā)展和應(yīng)用的詳細(xì)情況。王堯[2]根據(jù)齒輪嚙合原理研究了齒輪參數(shù)算法在建模中的應(yīng)用。張兆龍等[3]對極坐標(biāo)法測量齒輪進(jìn)行了研究，并建立了極坐標(biāo)法的測量算法。章青等[4]研究了多坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床的誤差分析和補(bǔ)償方法，驗(yàn)證了該方法在機(jī)床測量中的可行性。王志永等[5]對大輪齒形誤差的在機(jī)測量方法進(jìn)行了研究，探討了大輪齒形誤差的在機(jī)測量方法并建立了測量流程。吳彬彬[6]等建立了基于極坐標(biāo)法誤差評價(jià)的數(shù)學(xué)模型，提出了標(biāo)定誤差的辨識(shí)和補(bǔ)償方法并建立了補(bǔ)償算法。L A Boguslavskii[7]通過對機(jī)床的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和補(bǔ)償建立了機(jī)床加工和測量齒輪時(shí)的精度控制算法。Ng Hung等[8]通過研究測量算法開發(fā)出相應(yīng)的控制程序，實(shí)現(xiàn)了測量過程智能化運(yùn)動(dòng)控制和數(shù)據(jù)處理。但以上文獻(xiàn)都沒有進(jìn)行人字齒輪的在線測量的研究，因此本文擬在通過研究人字齒輪特殊結(jié)構(gòu)，編寫人字齒輪齒向測點(diǎn)算法以提高在線測量系統(tǒng)的齒向測量精度，能夠?qū)⑷俗铸X與普通漸開線齒輪有機(jī)結(jié)合，提高整個(gè)在線測量系統(tǒng)的測量效率。

1 人字齒輪在線測量原理

人字齒輪在加工完成后不需進(jìn)行拆卸即可進(jìn)行在線測量，測量過程與人字齒輪的加工過程有一定的相關(guān)性。圖1為人字齒輪與機(jī)床位置示意圖，主軸為機(jī)床加工和測量過程的主要運(yùn)動(dòng)部件，測頭取代了刀具的位置安裝在主軸上，人字齒輪安裝在轉(zhuǎn)臺(tái)上。當(dāng)主軸按照測量程序驅(qū)動(dòng)測頭進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，測頭會(huì)靠近要測量的齒輪齒面，測頭觸碰到齒面時(shí)，測頭會(huì)將觸發(fā)信號(hào)發(fā)送到機(jī)床控制系統(tǒng)中，機(jī)床接收到測頭的觸發(fā)信號(hào)，記錄下觸發(fā)時(shí)的測點(diǎn)坐標(biāo)。測量完成后，根據(jù)機(jī)床所記錄下的測點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得到最終測量結(jié)果。在線測量系統(tǒng)最重要的部分是測點(diǎn)的選擇，選取合適的測點(diǎn)才能得到正確的數(shù)據(jù)達(dá)到在線測量的目的。

圖1 人字齒輪與機(jī)床位置示意圖

2 人字齒輪齒向測點(diǎn)算法

2.1 人字齒輪數(shù)學(xué)模型

人字齒輪通?？梢钥醋魇锹菪窍嗤蛳喾吹膬蓚€(gè)漸開線斜齒輪組合而成，所以人字齒輪在垂直于軸線的端截面中為漸開線，因此人字齒輪的端截形和普通漸開線斜齒輪的端截形相同。人字齒輪數(shù)學(xué)模型示意圖見圖2。

圖2 人字齒輪數(shù)學(xué)模型示意圖

根據(jù)齒輪嚙合原理可知，齒槽螺旋面的方程式為：

式中，rb為基圓半徑，σ0為基圓齒槽半角。θ為螺旋運(yùn)動(dòng)繞軸zg1轉(zhuǎn)過的角度，p為螺旋參數(shù)。

2.2 人字齒輪螺旋線方程

由于齒向測量主要根據(jù)人字齒輪的螺旋線進(jìn)行齒向測點(diǎn)的計(jì)算，因此在人字齒輪建模過程中，為方便取基圓圓心為原點(diǎn)，基圓與X軸的交點(diǎn)作為漸開線的起點(diǎn)。

則基圓圓柱面上過漸開線起點(diǎn)的螺旋線方程為：

式中，B為齒輪齒寬，rb為齒輪基圓半徑，t為自變量，取值范圍為[0,1]，β為單齒漸開線與基圓相交的兩點(diǎn)所對應(yīng)的中心角。齒輪螺旋線示意圖見圖3。

圖3 齒輪螺旋線示意圖

2.3 基于螺旋線方程計(jì)算人字齒輪左右齒面齒向測點(diǎn)

在零退刀槽人字齒輪加工過程中，齒輪中間部分由于沒有退刀槽，對加工的工藝要求較高，并且需要更換刀具加工出倒角。

圖4 人字齒輪中間 盲區(qū)示意圖

由圖4可看出，整體式人字齒輪的中間部分，需要額外加工出一個(gè)倒角，以滿足傳動(dòng)需求，減少接合面的磨損。在人字齒輪的在線測量過程中，倒角的存在給了整個(gè)測量過程一個(gè)重要的難點(diǎn)，齒向測量需要在齒面從上而下依次采點(diǎn)進(jìn)行測量，因此，為了使得人字齒輪的齒向測量盡量減少其結(jié)構(gòu)的影響，需要在路徑規(guī)劃中加入?yún)?shù)。機(jī)床驅(qū)動(dòng)測頭，每個(gè)測點(diǎn)都需要仔細(xì)考慮是否合適，合適的測點(diǎn)不僅能夠減少機(jī)床運(yùn)動(dòng)引起的誤差，還能節(jié)省大量的測量時(shí)間，提高測量效率。為了編寫合適的齒向測點(diǎn)算法，避免測頭誤觸以及測到不適宜采點(diǎn)的區(qū)域等情況的發(fā)生，計(jì)算齒向測點(diǎn)坐標(biāo)之前，首先要區(qū)分人字齒輪上下輪齒以及左右齒面的區(qū)別。測頭按照所計(jì)算的測點(diǎn)進(jìn)行測量時(shí)，左右齒面的測點(diǎn)在Z軸方向上按照測點(diǎn)數(shù)量進(jìn)行線性變化，而在X軸與Y軸方向上需要進(jìn)行精確計(jì)算求得兩個(gè)方向上的具體坐標(biāo)。根據(jù)人字齒輪的數(shù)學(xué)模型，由于左右齒面所需要的C軸旋轉(zhuǎn)方向不同，因此首先計(jì)算左齒面。

如圖5所示，由于測頭測量齒向時(shí)需要考慮測點(diǎn)圓和分度圓的關(guān)系，因此需要在算法中加入?yún)?shù)a1，選取適當(dāng)?shù)臏y點(diǎn)圓進(jìn)行測量，根據(jù)圖3與齒輪螺旋線方程可得左齒面測量點(diǎn)的坐標(biāo)為：

式中，d為基圓直徑，d0為測點(diǎn)圓直徑，a1為采點(diǎn)位置相對于分度圓外移量，d2為分度圓直徑。

圖5 齒輪與測頭位置關(guān)系示意圖

由于齒輪的左右齒面的螺旋線方程與測量參數(shù)基本一致，因此右齒面的測量點(diǎn)坐標(biāo)與左齒面測量點(diǎn)坐標(biāo)相同。

2.4 基于人字齒輪結(jié)構(gòu)特性添加控制參數(shù)

圖6 人字齒輪上下 輪齒測量示意圖

考慮到人字齒輪上下部分的結(jié)構(gòu)特殊性，為了提高測點(diǎn)算法的準(zhǔn)確性，準(zhǔn)確的判斷人字齒輪的上下部分的不同，防止出現(xiàn)運(yùn)行軌跡錯(cuò)誤等狀況，需要額外在算法中添加參數(shù)值a(見圖6)，其賦值為+1和-1，分別代表了人字齒輪上下部分的不同，當(dāng)a=0時(shí)，意味著測量模式由人字齒輪轉(zhuǎn)變?yōu)闈u開線斜齒圓柱齒輪。由于在計(jì)算齒輪參數(shù)時(shí)，就已經(jīng)將a參數(shù)添加進(jìn)算法中，因此算法可以適應(yīng)各種參數(shù)人字齒的測量計(jì)算，省去了面對不同參數(shù)人字齒輪和普通齒輪時(shí)需要調(diào)整算法的步驟，提高了測量效率。

當(dāng)完成了人字齒輪的左右齒向測量點(diǎn)計(jì)算時(shí)，需要著重考慮人字齒輪特殊結(jié)構(gòu)的上下輪齒的測量點(diǎn)計(jì)算，由于無退刀槽人字齒需要額外添加許多參數(shù)，給算法的編寫帶來了很大的困難，因此主要討論Z軸坐標(biāo)值在上下輪齒部分的區(qū)別。

根據(jù)人字齒輪的數(shù)學(xué)模型可以計(jì)算出上半部分的齒向測點(diǎn)坐標(biāo)值，即當(dāng)參數(shù)a為+1時(shí)：

式中，z1、z2為起始點(diǎn)Z軸坐標(biāo)和終止點(diǎn)Z軸坐標(biāo)，a2采點(diǎn)位置距上端面下移量，a3為采點(diǎn)位置距下端面上移量，b為人字齒輪總齒寬，b1為退刀槽寬度，考慮到減少對于普通齒輪的測量步驟，因此額外添加這一參數(shù)使算法更加完善有效，n1為測量的齒槽編號(hào)，n為每個(gè)測量齒槽取的測點(diǎn)數(shù)量，最終值z3即為齒向測量點(diǎn)上半部分取點(diǎn)坐標(biāo)值。

當(dāng)完成了人字齒輪上半部分的測點(diǎn)計(jì)算后，在計(jì)算齒輪下半部分的Z軸坐標(biāo)值時(shí)，由于方向的不同于參數(shù)的不同，即當(dāng)參數(shù)a為-1時(shí)，因此得出結(jié)果：

人字齒輪的算法中還兼容了普通參數(shù)齒輪的在線測量計(jì)算，即當(dāng)參數(shù)a為0時(shí)，即可進(jìn)行普通齒輪的在線測量，大大提高了在線測量系統(tǒng)的測量效率，由于添加了判斷齒輪為人字齒輪還是普通齒輪的功能，以及判斷人字齒輪的上下部分的功能，減少了出錯(cuò)的幾率。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖7 人字齒輪齒向測量實(shí)驗(yàn)

得到人字齒輪齒向測點(diǎn)算法后，在機(jī)床中添加了齒向測點(diǎn)算法的程序進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。如圖7所示，在測量試驗(yàn)中齒向測量算法能正確的進(jìn)行測量，證明了本文內(nèi)容的可行性，并將同一個(gè)人字齒輪在三坐標(biāo)測量機(jī)中測得的齒向誤差數(shù)據(jù)與在機(jī)床在線測量系統(tǒng)中測得的齒向誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行了對比。圖8中，縱坐標(biāo)為齒寬，單位為mm，橫坐標(biāo)為齒向誤差，單位為μm。圖8a為三坐標(biāo)測量機(jī)測量的上齒面齒向誤差示意圖，左、右齒面齒向總偏差Fβ最大值分別為26.1μm和17.0μm；左、右齒面齒向形狀偏差fβf最大值分別為13.9μm和3.7μm；圖8b三坐標(biāo)測量機(jī)測量的下齒面齒向誤差示意圖，左、右齒面齒向總偏差Fβ最大值分別為27.4μm和12.9μm；左、右齒面齒向形狀偏差fβf最大值分別為4.6μm和4.9μm。圖8c為機(jī)床在線測量的上齒面齒向誤差示意圖，左、右齒面齒向總偏差Fβ最大值分別為17.8μm和18.9μm；左、右齒面齒向形狀偏差fβf最大值分別為16.1μm和12.2μm；圖8d為在線測量系統(tǒng)測得的下齒面齒向誤差示意圖，左、右齒面齒向總偏差Fβ最大值分別為37.7μm和14.6μm；左、右齒面齒向形狀偏差fβf最大值分別為28.2μm和9.5μm。通過對比，人字齒輪在在線測量系統(tǒng)中的測量結(jié)果與三坐標(biāo)測量機(jī)中的測量結(jié)果有較小誤差，考慮到安裝定位等誤差的存在，在線測量系統(tǒng)的測量結(jié)果可以認(rèn)為是有效的，因此，對比實(shí)驗(yàn)證明了本文的齒向測點(diǎn)算法的有效性。

圖8 人字齒輪齒向誤差測量結(jié)果對比

4 結(jié)論

根據(jù)人字齒輪數(shù)學(xué)模型和在線測量過程示意圖而提出的人字齒輪齒向測點(diǎn)算法能夠很好的適應(yīng)各種人字齒輪的在線測量需求，添加參數(shù)使得零退刀槽人字齒的中間盲區(qū)在算法中得到了有效的規(guī)避，并完成了多次實(shí)際的人字齒在線測量，提高了測量效率減少了出錯(cuò)的幾率。通過三坐標(biāo)測量機(jī)測得的人字齒輪齒向誤差數(shù)據(jù)和在線測量系統(tǒng)測得的人字齒輪齒向誤差數(shù)據(jù)可以表明，本文提出的人字齒輪在線測量齒向測點(diǎn)算法很好的完成了在線測量的任務(wù)，并且成功避開了人字齒輪中間部分測量盲區(qū)，因此該齒向測點(diǎn)算法能夠較好的提升在線測量的效率。

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