基于蒙特卡羅方法的機床主軸可靠性預(yù)測*

劉智鍵，劉寶林，胡遠彪

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(北京) 工程技術(shù)學(xué)院， 北京 100083；2.國土資源部深部地質(zhì)鉆探技術(shù)重點實驗室，北京 100083)

0 引言

隨著智能制造技術(shù)的不斷發(fā)展，機械加工技術(shù)和加工精度要求也越來越高，特別是現(xiàn)代智能化數(shù)控機床加工，由于實現(xiàn)了智能化技術(shù)，對數(shù)控機床主軸的可靠性提高了要求。

機床主軸可靠性預(yù)測是數(shù)控機床整體系統(tǒng)可靠性預(yù)測的重要環(huán)節(jié)之一，主軸可靠性與否對機床整體加工影響特別大，對提高生產(chǎn)效率、降低生產(chǎn)成本具有重要的意義[1]。因此，在維修機床故障過程中，機床主軸可靠性預(yù)測方法的研究顯得尤為重要。首先，吉林大學(xué)機床實驗室等對機床主軸進行壽命研究，以加速機床主軸壽命試驗方法為基礎(chǔ)，為主軸可靠性研究提供數(shù)據(jù)參考[2]；西安理工大學(xué)機床研究課題組提出了一種基于性能可靠性研究的方法，且應(yīng)用到機床主軸可靠性能的研究[3-4]。以上兩者對機床主軸可靠性分析存在兩點不足之處：①加速機床壽命試驗方法時間周期長，計算精度不高；②實驗采集的數(shù)據(jù)樣本量小，不足以驗證方法的準確性。

針對以上不足之處，本文提出了一種基于蒙特卡羅模擬仿真的機床主軸可靠度求解方法。該方法借助于計算機技術(shù)建立主軸可靠性分析模型，將采集的大量樣本數(shù)據(jù)傳輸計算機軟件進行計算分析，實現(xiàn)了大樣本數(shù)據(jù)簡單、快速計算，節(jié)省了繁復(fù)的數(shù)學(xué)推理和演算過程，計算結(jié)果更加準確、可靠、通俗易懂，從而達到一種快速有效的檢測效果。

1 蒙特卡羅理論

蒙特卡羅方法理論(簡稱MC)在很多方面得到了應(yīng)用，例如數(shù)學(xué)、工程、以及經(jīng)濟數(shù)等等[5]，主要解決無法采用確定性模型解決實際問題的一種途徑。它的主要思想是大量生成符合樣本總體分布的隨機數(shù)，是一種借助于計算機的統(tǒng)計學(xué)的模擬方法。

蒙特卡羅的理論是建立在統(tǒng)計學(xué)知識之上，假設(shè)P(T)是隨機事件T發(fā)生的概率，對于該事件在N次實驗過程中發(fā)生次數(shù)M次，此時事件T出現(xiàn)的頻率是W(A)=M/N，則存在任意實數(shù)ε>0滿足：

(1)

從公式(1)中可以看出，當(dāng)N足夠大時，事件T出現(xiàn)的概率為P(T)。此外，假設(shè)獨立同分布變量是r，隨機變量的期望值為E(rk)=μ，其方差為：

D(rk)=σ2(σ2≠0,k=1,2,3…)，將變量標準化，從而得到新的隨機變量如下：

(2)

使其滿足正態(tài)分布的性質(zhì)，利用正態(tài)分布[6]的特點進行求解，新的隨機變量的分布函數(shù)滿足：

(3)

(1) 從而得到抽樣樣本r的分布函數(shù)近似服從正態(tài)分布:

(4)

(2) 抽樣樣本r的期望和方差隨機變量公式的概率近似公式:

(5)

大數(shù)定律和中心極限定理[6]從理論上保證了蒙特卡羅方法理論的準確性，由大數(shù)定律可以看出蒙特卡羅隨機產(chǎn)生的隨機變量具有穩(wěn)定性和收斂性，由中心極限定律可以分析蒙特卡羅方法產(chǎn)生誤差等問題。

2 基于蒙特卡羅方法的邏輯思路

蒙特卡羅方法主要應(yīng)用在工程、數(shù)學(xué)、經(jīng)濟學(xué)以及物理學(xué)上，隨著計算機技術(shù)的不斷發(fā)展，蒙特卡羅方法應(yīng)用更加廣泛。蒙特卡羅的求解問題思路是根據(jù)求解問題構(gòu)造一個數(shù)學(xué)模型(概率統(tǒng)計模型)，將問題轉(zhuǎn)化為求解模型的參數(shù)和特征向量，利用蒙特卡羅模擬求解模型的參數(shù)和特征值得出估計值[7]。圖1是蒙特卡羅求解問題的主要思路圖。

(1)首先，確定好需要解決分析的未知問題或者系統(tǒng)；

(2)建立系統(tǒng)分布的數(shù)學(xué)模型；

(3)利用蒙特卡羅(MC)方法模擬隨機數(shù)；

(4)根據(jù)相關(guān)的參數(shù)條件來確定和選取相關(guān)的隨機數(shù)；

(5)根據(jù)系統(tǒng)模型所服從的分布函數(shù)，求解出估計值。

圖1 利用MC方法解決問題的邏輯思路圖

3 主軸可靠性預(yù)測流程分析

主軸是數(shù)控機床主要的零部件，主軸的可靠性決定了機床的壽命，因為主軸是不容易破損，且壽命較長，主軸壽命檢測實驗會消耗較大的財力、人力、以及物力。因此采用蒙特卡羅方法仿真模主軸實驗可以有效地解決此問題。圖2表示利用蒙特卡羅方法分析機床主軸可靠性分析流程，集體步驟如下：

(1)實驗過程中，通過采集機床主軸輸出端電機的電壓和電流信號，來計算出輸出功率。為了保證實驗數(shù)據(jù)的隨機性，數(shù)據(jù)需要進行隨機抽樣。

(2)假設(shè)bi為某種概率分布的隨機變量，利用數(shù)學(xué)模型找到主軸輸出端電機功率信號與之對應(yīng)的分布函數(shù)。

(3)結(jié)合表1并利用MATLAB[8]工具生成與變量bi對應(yīng)的分布函數(shù)隨機數(shù)，帶入目標函數(shù)。

(4)設(shè)置主軸可靠性的判斷條件，求解出滿足條件的隨機變量的個數(shù)，最后依據(jù)計算結(jié)果判斷主軸的可靠性。

圖2 基于蒙特卡羅主軸可靠性分析流程圖

4 基于蒙特卡羅方法主軸可靠性預(yù)測實驗分析

4.1 機床技術(shù)參數(shù)

本次實驗分析過程中，采用學(xué)校機電實習(xí)中心的數(shù)控機床可靠性實驗平臺，由于主軸位置于機床內(nèi)部部件，無法直接測量主軸振動信號，采用液壓方式通過卡盤將加載棒與主軸相連接，利用電壓和電路傳感器采集輸出端電機的電壓和電流信號。機床詳細技術(shù)參數(shù)如表2所示。

表2 高檔數(shù)控機床可靠性能測試平臺技術(shù)參數(shù)

4.2 主軸輸出端電機功率時域圖及置信區(qū)間

根據(jù)機床的工作原理，如果主軸的振動比較明顯，則測得主軸輸出端電機的運行功率(電壓和電流乘積)的時域圖振動變化比較明顯。表2中有高檔數(shù)控機床可靠性性能測試平臺技術(shù)參數(shù)，實驗過程中，假設(shè)采集的電流信號為I，電壓信號為U，功率為P。根據(jù)試驗臺使用說明，次試驗臺的主軸輸出端電機有A、B、C三相電壓和三相電流，實驗分析A相電壓和電流，傳感器測得的電壓、電流信號需要經(jīng)過公式(6)轉(zhuǎn)換，從而得到電壓、電流信號yv,yi：

(6)

(7)

(8)

(9)

在總體樣本均值已知，方差未知情況下，結(jié)合統(tǒng)計學(xué)如公式(10)～公式(12)求出主軸輸出端電機功率均值的區(qū)間估計。

(10)

(11)

(12)

其中，設(shè)置置信度α=0.05，可以求出數(shù)控機床主軸輸出端電機功率的置信區(qū)間[9-10]為：

根據(jù)上述公式可以得到圖3，試驗臺主軸輸出端電機功率時域圖中Y1和Y2求解公式如下：

已知采樣頻率為1024Hz，以1024的采樣點為樣本值，帶入上述式子求得Y1=5814.90，Y2=6455.80。

圖3 試驗臺主軸輸出端電機功率時域圖

圖3中橫坐標表示采樣頻率，縱坐標表示主軸電機輸出功率值。

4.3 實驗仿真及數(shù)據(jù)對比

利用蒙特卡羅方法生成符合抽樣樣本分布函數(shù)，設(shè)置不同的仿真次數(shù)，仿真結(jié)果如表3所示，待仿真實驗結(jié)果趨于穩(wěn)定時，根據(jù)實驗結(jié)果判斷株洲當(dāng)前運行狀態(tài)，從圖4中可以看出試驗臺主軸輸出端電機的功率最終穩(wěn)定在6285.20，與圖3電機功率時域圖置信區(qū)間范圍可以進行對比，試驗臺主軸正常工作下的功率處于置信區(qū)間內(nèi)，得出當(dāng)前狀態(tài)下主軸的可靠性正常。

圖4 基于蒙特卡羅仿真主軸輸出端電機功率分布圖

仿真次數(shù)n數(shù)控機床主軸輸出端電機功率W60006286．370006283．580006285．290006285．2

如表3主軸輸出端電機功率統(tǒng)計表所示，它是根據(jù)圖4電機功率分布表統(tǒng)計出來的結(jié)果，從表3中可以看出，當(dāng)我們實驗仿真次數(shù)量增大時，主軸輸出端電機功率不斷減小，直到仿真次數(shù)大于8000之后，輸出功率最終趨于6285.2W無偏估計值，此時我們還可以通過計算機強大計算能力，無限增大仿真次數(shù)，而結(jié)果依然處于穩(wěn)定值不變。并且該無偏估計值正好處于樣本均值的置信區(qū)間Y1、Y2之間，驗證了計算機仿真結(jié)果數(shù)據(jù)的正確性。因此，本實驗利用蒙特卡羅仿真產(chǎn)生符合抽樣樣本的總體分布的隨機數(shù)，通過置信區(qū)間和功能函數(shù)計算出機床主軸可靠性的無偏估計，判斷數(shù)控機床運行狀態(tài)下主軸的可靠性。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于蒙特卡羅模擬仿真的機床主軸可靠度求解方法。該方法借助于計算機技術(shù)計算出機床主軸輸出端電機的功率并畫出功率的時域圖，通過置信區(qū)間和功能函數(shù)計算出機床主軸可靠性的無偏估計值，該無偏估計值正好處于樣本均值的置信區(qū)間Y1、Y2之間(如圖3所示)，驗證了計算機仿真結(jié)果數(shù)據(jù)的正確性，實現(xiàn)了大樣本數(shù)據(jù)簡單、快速計算，節(jié)省了繁復(fù)的數(shù)學(xué)推理和演算過程，計算結(jié)果更加準確、可靠、通俗易懂，從而達到一種快速有效的檢測效果。

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