數(shù)學(xué)模擬實(shí)驗(yàn)教學(xué)的內(nèi)容與要求

摘 要現(xiàn)代的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也稱計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，是以計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用為平臺(tái)，模擬實(shí)驗(yàn)環(huán)境，結(jié)合數(shù)學(xué)模型進(jìn)行教學(xué)的新型教學(xué)方法。采用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)?zāi)茌^好地解決需要大數(shù)據(jù)支持的“統(tǒng)計(jì)與概率”問題、需要“精準(zhǔn)”實(shí)驗(yàn)的“綜合與實(shí)踐”問題等。

關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué) 模擬實(shí)驗(yàn) 內(nèi)容

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是為了獲得某種數(shù)學(xué)理論、檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)數(shù)學(xué)猜想、解決某類數(shù)學(xué)問題，實(shí)驗(yàn)者運(yùn)用一定的物質(zhì)手段，在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下，在典型的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中或特定的實(shí)驗(yàn)條件下所進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)探索活動(dòng)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)手段的不同及產(chǎn)生的先后順序，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以分成兩大類：傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和現(xiàn)代的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指用手工的方法，利用實(shí)物模型或數(shù)學(xué)教具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)或解決數(shù)學(xué)問題的一種教學(xué)方法。現(xiàn)代的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也稱計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，是指以計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用為平臺(tái)，模擬實(shí)驗(yàn)環(huán)境，結(jié)合數(shù)學(xué)模型進(jìn)行教學(xué)的新型教學(xué)方法。在義務(wù)教育階段，大部分實(shí)驗(yàn)內(nèi)容都可以采用傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)手段，但有些特殊內(nèi)容，比如數(shù)學(xué)中需要“動(dòng)態(tài)”呈現(xiàn)的“圖形與幾何”問題、需要大數(shù)據(jù)支持的“統(tǒng)計(jì)與概率”問題、需要“圖像”表達(dá)的“代數(shù)函數(shù)”問題、需要“精準(zhǔn)”實(shí)驗(yàn)的“綜合與實(shí)踐”問題等利用傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)手段難以實(shí)現(xiàn)，但對(duì)于計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)來說卻輕而易舉。下面以義務(wù)教育階段蘇教版數(shù)學(xué)教科書及其配套的《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》為例，梳理其中宜采用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容。

一、需要“動(dòng)態(tài)”呈現(xiàn)的“圖形與幾何”問題

1.“運(yùn)動(dòng)過程的展現(xiàn)”問題

點(diǎn)、線、面、體是圖形與幾何知識(shí)的基礎(chǔ)，“點(diǎn)動(dòng)成線”“線動(dòng)成面”“面動(dòng)成體”不僅是學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的路徑，也是幫助學(xué)生理解圖形之間關(guān)聯(lián)的重要線索。蘇教版教科書中與“運(yùn)動(dòng)過程展現(xiàn)”有關(guān)聯(lián)且宜采用模擬實(shí)驗(yàn)的“圖形和幾何”內(nèi)容主要有：六年級(jí)下冊(cè)第二單元“圓柱和圓錐”第18頁第7題、第23頁第9題；七年級(jí)上冊(cè)第五章第二節(jié)“圖形的運(yùn)動(dòng)”、第127頁第2題、第128頁第1題等。《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》中與該知識(shí)點(diǎn)有關(guān)聯(lián)且宜采用模擬實(shí)驗(yàn)的“圖形和幾何”內(nèi)容主要有：七年級(jí)上冊(cè)“實(shí)驗(yàn)11：圖形的形成”等。

以七年級(jí)上冊(cè)第五章第二節(jié)“圖形的運(yùn)動(dòng)”教學(xué)為例，可以利用計(jì)算機(jī)完成以下三個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)：一是點(diǎn)動(dòng)成線，通過點(diǎn)動(dòng)成線（直線），感受線是由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而形成；二是線動(dòng)成面，通過線動(dòng)成面（平面），感受面是由線運(yùn)動(dòng)而形成；三是面動(dòng)成體，通過面動(dòng)成體（圓柱、圓錐、球），感受體是由面運(yùn)動(dòng)而形成。三次實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，讓學(xué)生談?wù)剬?shí)驗(yàn)感受，旨在讓學(xué)生通過模擬實(shí)驗(yàn)的操作，體驗(yàn)三維立體圖形與二維平面圖形之間、二維平面圖形與一維圖形之間、一維圖形與點(diǎn)之間的關(guān)系，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

2.“動(dòng)點(diǎn)軌跡的追蹤”問題

動(dòng)點(diǎn)軌跡的追蹤是根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，其實(shí)質(zhì)就是將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，動(dòng)點(diǎn)軌跡追蹤問題研究有助于學(xué)生體悟數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想、方法以及技巧。蘇教版教科書中與“動(dòng)點(diǎn)軌跡追蹤”有關(guān)聯(lián)且宜采用模擬實(shí)驗(yàn)的“圖形和幾何”內(nèi)容主要有：六年級(jí)下冊(cè)第二單元“圓柱和圓錐”第123頁思考題；九年級(jí)上冊(cè)第四章第二節(jié)第60頁練習(xí)“圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)”。《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》中與該知識(shí)點(diǎn)有關(guān)聯(lián)且宜采用模擬實(shí)驗(yàn)的“圖形和幾何”內(nèi)容主要有：七年級(jí)上冊(cè)“實(shí)驗(yàn)4：垂線段最短”；九年級(jí)全一冊(cè)“實(shí)驗(yàn)4：探究圓周角和圓心角之間的關(guān)系”等。

以《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》九年級(jí)全一冊(cè)“實(shí)驗(yàn)4：探究圓周角和圓心角之間的關(guān)系”為例，該實(shí)驗(yàn)是為教學(xué)蘇教版教科書九年級(jí)上冊(cè)第二章第四節(jié)“圓周角”而專門設(shè)計(jì)，本課以“測(cè)量——說理”為主線，主要包括三個(gè)計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)：一是探究角度的變化。通過度量、比較兩邊都和圓相交且頂點(diǎn)分別在圓上、圓內(nèi)、圓外三種情況角的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)三種情況的角之間的大小關(guān)系。二是探究同弧所對(duì)圓周角與圓心角的關(guān)系。改變圓周角頂點(diǎn)的位置，發(fā)現(xiàn)同弧所對(duì)圓周角和圓心角的關(guān)系，在拖動(dòng)頂點(diǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)特殊位置和一般位置，并說明結(jié)論的正確性。三是探究圓內(nèi)接四邊形內(nèi)角的關(guān)系。度量圓內(nèi)接四邊形的每一個(gè)內(nèi)角，并拖動(dòng)頂點(diǎn)，改變四邊形的形狀，發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)四邊形內(nèi)角的關(guān)系，并通過說理證明結(jié)論。

二、需要大數(shù)據(jù)支持的“統(tǒng)計(jì)與概率”問題

統(tǒng)計(jì)與概率是研究隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小及其呈現(xiàn)出來的規(guī)律，統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)的有效途徑是通過學(xué)生親自實(shí)踐、動(dòng)手進(jìn)行實(shí)驗(yàn)來體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想和概率的意義。有的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)比較簡(jiǎn)單，傳統(tǒng)的手工實(shí)驗(yàn)即可解決問題。但是，有的隨機(jī)試驗(yàn)需要大量隨機(jī)數(shù)，采用傳統(tǒng)的手工方法不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且如果重復(fù)次數(shù)過多，學(xué)生也會(huì)失去興趣。因此，可以借助隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)代替重復(fù)操作，節(jié)約時(shí)間，提高興趣。蘇教版數(shù)學(xué)教科書中宜采用模擬實(shí)驗(yàn)的“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容主要有：三年級(jí)下冊(cè)第九單元“數(shù)據(jù)的收集與整理（二）”第97頁想想做做第1題“拋正方體游戲”與第100頁練習(xí)十二第2題摸球游戲、四年級(jí)上冊(cè)第六單元“可能性”、八年級(jí)下冊(cè)第八章第三節(jié)“頻率與概率”?！稊?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》中宜采用模擬實(shí)驗(yàn)的“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容主要有：二年級(jí)下冊(cè)“實(shí)驗(yàn)12：擲骰子游戲”、四年級(jí)上冊(cè)“實(shí)驗(yàn)9：拋硬幣游戲”、八年級(jí)下冊(cè)“實(shí)驗(yàn)2：骰子游戲”。

以八年級(jí)下冊(cè)第八章第三節(jié)“頻率與概率”為例，教學(xué)內(nèi)容是通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，感知正面朝上的頻率在0.5左右。為了讓每一位學(xué)生都經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)并通過大數(shù)據(jù)驗(yàn)證結(jié)論的可靠性，本課可以采用傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)與模擬實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方式進(jìn)行以下三個(gè)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)一：手工拋硬幣實(shí)驗(yàn)。學(xué)生親自動(dòng)手拋硬幣，每人10次，然后匯總小組與全班學(xué)生的試驗(yàn)結(jié)果，并計(jì)算正面朝上的頻率，繪制出折線統(tǒng)計(jì)圖。實(shí)驗(yàn)二：課中計(jì)算機(jī)模擬拋硬幣實(shí)驗(yàn)。利用計(jì)算機(jī)編程設(shè)計(jì)模擬拋硬幣的實(shí)驗(yàn)，學(xué)生可以模擬真實(shí)情景設(shè)置拋硬幣的次數(shù)（如100次、200次甚至1000次等），每次拋硬幣隨機(jī)出現(xiàn)正面朝上或背面朝上，模擬實(shí)驗(yàn)完成后，學(xué)生匯總數(shù)據(jù)并繪制折線統(tǒng)計(jì)圖，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越大時(shí)，拋硬幣正面朝上的頻率越接近0.5。實(shí)驗(yàn)三：課后計(jì)算機(jī)模擬拋硬幣實(shí)驗(yàn)。出示教材第46頁表1“統(tǒng)計(jì)學(xué)家歷次做‘拋質(zhì)地均勻的硬幣試驗(yàn)的結(jié)果”，讓學(xué)生通過觀察，再次感知當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，“正面朝上”的頻率在0.5附近擺動(dòng)，同時(shí)要求學(xué)生課后可以利用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證統(tǒng)計(jì)學(xué)家研究結(jié)果的準(zhǔn)確性。endprint

三、需要“圖像”表達(dá)的“代數(shù)函數(shù)”問題

函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的重要的數(shù)學(xué)模型，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求“函數(shù)教學(xué)內(nèi)容與呈現(xiàn)方式，應(yīng)有利于學(xué)生掌握函數(shù)知識(shí)，有利于學(xué)生領(lǐng)會(huì)函數(shù)思想”，要為今后進(jìn)一步研究一般函數(shù)和非代數(shù)函數(shù)（如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等）積累方法和經(jīng)驗(yàn)。代數(shù)函數(shù)（即函數(shù)表達(dá)式中只涉及加、減、乘、除、乘方、開方等代數(shù)運(yùn)算的函數(shù)）是義務(wù)教育初中階段重要的數(shù)學(xué)問題，主要包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)。蘇教版數(shù)學(xué)教科書中宜采用模擬實(shí)驗(yàn)的“代數(shù)函數(shù)”內(nèi)容主要有：八年級(jí)上冊(cè)第六章第三節(jié)“一次函數(shù)的圖像”、八年級(jí)下冊(cè)第十一章第二節(jié)“反例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”、九年級(jí)下冊(cè)第五章第三節(jié)“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”等?！稊?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》中宜采用模擬實(shí)驗(yàn)的“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容主要有：八年級(jí)上冊(cè)“實(shí)驗(yàn)19：一次函數(shù)的圖像”、八年級(jí)下冊(cè)“實(shí)驗(yàn)13：驗(yàn)證反比例函數(shù)圖像的對(duì)稱性”、九年級(jí)全一冊(cè)“實(shí)驗(yàn)8：二次函數(shù)圖像的平移”等。

以《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》九年級(jí)全一冊(cè)“實(shí)驗(yàn)8：二次函數(shù)圖像的平移”為例，為了讓學(xué)生深刻理解二次函數(shù)圖像平移的規(guī)律，可以利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行以下三個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)一：探究函數(shù)y=ax2和y=ax2+k的圖像之間的關(guān)系。畫出二次函數(shù)y=ax2、y=ax2+k的圖像，通過改變a、k的值，動(dòng)態(tài)研究二次函數(shù)y=ax2+k的圖像與y=ax2的圖像之間的上、下平移關(guān)系。實(shí)驗(yàn)二：探究函數(shù)y=ax2和y=a（x-h）2的圖像之間的關(guān)系。畫出二次函數(shù)y=a（x-h）2的圖像，通過改變a、h的值，動(dòng)態(tài)研究二次函數(shù)y=a（x-h）2的圖像與y=ax2的圖像之間的左、右平移關(guān)系。實(shí)驗(yàn)三：探究函數(shù)y=ax2和y=a（x-h）2+k的圖像之間的關(guān)系。在實(shí)驗(yàn)一、二的基礎(chǔ)上，畫出二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖像，探究二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖像與y=ax2的圖像之間的關(guān)系，進(jìn)而得出這些二次函數(shù)的圖像之間的平移規(guī)律。

四、需要“精準(zhǔn)”實(shí)驗(yàn)的“綜合與實(shí)踐”問題

“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容設(shè)置的目的在于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)與方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，積累學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的能力。義務(wù)教育階段安排了大量與實(shí)驗(yàn)有關(guān)的“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)，如蘇教版數(shù)學(xué)教科書七年級(jí)上冊(cè)“設(shè)計(jì)包裝紙箱”、八年級(jí)上冊(cè)“確定藏寶地”、九年級(jí)下冊(cè)“測(cè)量建筑物的高度”等?！稊?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》中三年級(jí)上冊(cè)“找次品”、四年級(jí)上冊(cè)“怎樣滾得遠(yuǎn)”、五年級(jí)下冊(cè)“車輪為什么做成圓形”、六年級(jí)下冊(cè)“有趣的杠桿”等。這些“綜合與實(shí)踐”類實(shí)驗(yàn)有的對(duì)實(shí)驗(yàn)材料要求特別精密，有的對(duì)場(chǎng)地要求十分特別，還有的對(duì)實(shí)驗(yàn)過程要求特別嚴(yán)苛……這些特定或特殊的要求傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)手段往往難以滿足，我們可以嘗試借助計(jì)算機(jī)模擬出電子化的實(shí)驗(yàn)材料或?qū)嶒?yàn)場(chǎng)景，確保實(shí)驗(yàn)?zāi)軌驀?yán)謹(jǐn)、規(guī)范、科學(xué)和精準(zhǔn)地進(jìn)行。

1.實(shí)驗(yàn)材料、場(chǎng)地特殊，傳統(tǒng)手段難以提供

《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》五年級(jí)下冊(cè)“實(shí)驗(yàn)7：車輪為什么做成圓形”，教材上是用卡紙剪出圓形、正方形、橢圓等不同形狀以代替車輪，再用鉛筆戳在車輪的中心代替車軸，將卡紙做成的車輪放在直尺上滾動(dòng)，在滾動(dòng)過程中觀察每個(gè)車輪車軸所在的點(diǎn)留下的痕跡。這樣的設(shè)計(jì)從理論上完全可行，但由于車輪材質(zhì)軟、易變形，每次實(shí)驗(yàn)總會(huì)出現(xiàn)較大誤差，而且因?yàn)閷W(xué)生車軸安裝位置有偏差，所以實(shí)驗(yàn)中車軸在運(yùn)動(dòng)過程中的軌跡總是難以做到精準(zhǔn)和完整。鑒于這種情況，在學(xué)生操作圓形車輪滾動(dòng)平穩(wěn)的基礎(chǔ)上，首先引導(dǎo)學(xué)生思考以下問題：如果車輪做成正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形等形狀時(shí)，在平路上行駛時(shí)車軸運(yùn)動(dòng)的軌跡會(huì)是什么樣？如果要想讓正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的車輪行駛也很平穩(wěn)，需要修怎樣的路面？其次，讓學(xué)生利用計(jì)算機(jī)模擬不同形狀的車輪滾動(dòng)，得到道路的圖形。通過這樣的計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)隨著車輪邊數(shù)的不同，道路圖形也不同，車輪邊數(shù)越多，道路越趨于平坦，從而進(jìn)一步探索現(xiàn)實(shí)生活中車輪選擇圓形的原因。

2.實(shí)驗(yàn)過程、方法嚴(yán)苛，傳統(tǒng)手段難以滿足

《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》三年級(jí)上冊(cè)“實(shí)驗(yàn)4：找次品”，教材上是準(zhǔn)備正品和次品若干，讓學(xué)生用天平稱一稱。但是，在實(shí)際操作中卻經(jīng)常出現(xiàn)以下幾個(gè)困難：一是需要的實(shí)驗(yàn)材料數(shù)量較多，不便準(zhǔn)備；二是由于教具天平或?qū)W具天平本身的精準(zhǔn)度不夠，而次品和非次品質(zhì)量相差較小，用天平秤重時(shí)容易產(chǎn)生誤差；三是因?yàn)槭軐?shí)驗(yàn)材料的限制，實(shí)驗(yàn)一般只能放在實(shí)驗(yàn)室或教室里進(jìn)行，難以滿足學(xué)生隨時(shí)隨地開展實(shí)驗(yàn)的想法。

為了解決上述實(shí)驗(yàn)困難，最大程度地降低誤差對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，確保實(shí)驗(yàn)的科學(xué)性與精準(zhǔn)度，我們采取了計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)輔助教學(xué)。具體做法是：首先將次品、正品和天平等實(shí)驗(yàn)材料電子化。實(shí)驗(yàn)材料可以根據(jù)需求增加或減少，這樣就能夠有效地避免材料準(zhǔn)備帶來的繁瑣與差錯(cuò)。然后將模擬過程程序化。為了讓學(xué)生體驗(yàn)二分法、三分法在實(shí)際生活中的應(yīng)用，我們將模擬過程分為探索性實(shí)驗(yàn)和驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)，探索性實(shí)驗(yàn)是在次品隨機(jī)分布的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自由探尋找次品的方法；驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)是在次品隨機(jī)分布的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用二分法或三分法找次品，體驗(yàn)不同方法之間的差異和優(yōu)越性。

計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)是對(duì)傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的有益補(bǔ)充和發(fā)展，不僅可以發(fā)揮學(xué)生的主體作用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和發(fā)現(xiàn)問題的能力，而且可以轉(zhuǎn)變教師的教育教學(xué)觀念，有利于推進(jìn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)改革。然而，并不是所有的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容都適合采用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)，在實(shí)際教學(xué)中，作為教師要善于甄別，學(xué)會(huì)選擇合適的內(nèi)容。

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[2] 孫麗谷，王林.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)（1-6年級(jí)）[M].南京：江蘇教育出版社，2014.

[3] 董林偉.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)（7-9年級(jí)）[M].南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2015.

[4] 郭慶松，候正海.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)（1-6年級(jí)）[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2015.

[5] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版集團(tuán)，2012.

[6] 許海珍.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐[D].武漢：華中師范大學(xué)，2008.

[7] 邵光華，卞忠運(yùn).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論研究與實(shí)踐[J].課程·教材·教法，2007（3）.

[作者：張明紅（1972-），女，安徽滁州人，江蘇省南京市棲霞區(qū)教師發(fā)展中心副校長(zhǎng)。]

【責(zé)任編輯 郭振玲】endprint