如何求解動圓問題

付玉桂

摘 要：圓做為一個整體運動或繞某點轉(zhuǎn)動，就是要求從變換的角度和運動變化來研究圓，通過“對稱、運動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圓及相關圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理.在變化中找到不變的性質(zhì)是解決“動圓”問題的基本思路，在動圓的運動過程中觀察圖形的變化情況，理解圖形在不同位置的情況，是做推理計算的基礎，綜合應用數(shù)學各塊知識，才能突破認知的障礙.

關鍵詞：動圓；變化；求解策略

一、圖解法解決動圓問題

例1 如圖1，矩形ABCD的長為6，寬為3，點O1為矩形的中心，⊙O2的半徑為1，O1O2⊥AB于點P，O1O2=6.若⊙O2繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)360°，在旋轉(zhuǎn)過程中，⊙O2與矩形的邊只有一個公共點的情況一共出現(xiàn)（ ）.

A.3次 B.4次 C.5次 D.6次

解析 根據(jù)題意作出圖形，如圖2，⊙O2與矩形的邊只有一個公共點的情況一共出現(xiàn)4次，故選B.

例2 通過對課本中《硬幣滾動中的數(shù)學》的學習，我們知道滾動圓滾動的周數(shù)取決于滾動圓的圓心運動的路程（如圖3）.在圖4中，有2014個半徑為r的圓緊密排列成一條直線，半徑為r的動圓C從圖示位置繞這2014個圓排成的圖形無滑動地滾動一圈回到原位，則動圓C自身轉(zhuǎn)動的周數(shù)為（ ）.

解析 如圖5，它從C位置開始，滾過與它相同的其他2014個圓的上部，到達N位置，該圓共滾過了2014段弧長，其中有2段（CD，F(xiàn)N）是半徑為2r，圓心角為120度，2012段是半徑為2r，圓心角為60度（如DE）的弧長；從N位置開始到達C位置與上面的相同. 所以可得：

二、根據(jù)對稱性求解動圓趣味問題

例3 如圖6，一個半徑為r的圓形紙片在邊長為a（a≥23r）的等邊三角形內(nèi)任意運動，則在該等邊三角形內(nèi)，這個圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是（ ）.

解析 在運動過程中，圓形紙片“不能接觸到的部分”是當圓形紙片與等邊三角形的兩邊相切時，圓形紙片與等邊三角形的兩邊圍成部分，根據(jù)等邊三角形和圓的性質(zhì)及對稱性，知共有三個相同的部分，因此，如圖7，連接圓形紙片的圓心O與兩邊的切點D，E，連接AO，則OD⊥AD，OE⊥AE.

三、分段或分類求解動圓問題

例5 如圖10，已知∠ABC=90°，AB=πr，BC=πr2，半徑為r的⊙O從點A出發(fā)，沿A→B→C方向滾動到點C時停止.請你根據(jù)題意，在圖上畫出圓心O運動路徑的示意圖；圓心O運動的路程是.

參考文獻：

[1]張金蘭.“動圓問題”探討[J].語數(shù)外學習（初中版上旬），2014（08）.

[2]唐耀庭.一個數(shù)學問題的探討——動圓與定圓做無滑動滾動運動的有關計算[J].數(shù)學大世界（初中版），2014（04）.endprint