引入曲面變分實(shí)現(xiàn)點(diǎn)云法矢一致性調(diào)整

何 華，李宗春，閆榮鑫，楊再華，阮煥立，付永健

1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450001； 2. 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094

點(diǎn)云法矢作為點(diǎn)云數(shù)據(jù)的一項(xiàng)基本幾何屬性，在點(diǎn)云數(shù)據(jù)配準(zhǔn)[1]、分割[2-3]和重建[4]中發(fā)揮著重要作用。點(diǎn)云法矢計(jì)算可以分為法矢估算和法矢一致性調(diào)整兩個(gè)步驟。目前，法矢估算方法計(jì)算出的點(diǎn)云法矢指向不一致(一部分指向曲面外側(cè)，另一部分指向曲面內(nèi)側(cè))，無法直接應(yīng)用于后續(xù)的配準(zhǔn)、分割和重建等處理步驟，故對(duì)點(diǎn)云的法矢進(jìn)行一致性調(diào)整極為必要。

從單個(gè)測(cè)站獲取的點(diǎn)云，依據(jù)點(diǎn)云與測(cè)站的相互位置關(guān)系，法矢一致性調(diào)整易于實(shí)現(xiàn)[5]。但是從多個(gè)測(cè)站獲取的點(diǎn)云，其法矢一致性調(diào)整的復(fù)雜性和困難性驟增。目前，法矢一致性調(diào)整方法主要包括最小生成樹法(minimum spaning tree,MST)[6-15]、光度立體視覺法[16]和曲面重建法[3,17-19]。光度立體視覺法依據(jù)曲面反射與光照幾何等先驗(yàn)信息來計(jì)算曲面法矢，算法穩(wěn)定性差，對(duì)于低質(zhì)量的點(diǎn)云很難得到完全一致的法矢調(diào)整結(jié)果。曲面重建法用重采樣后原始點(diǎn)云的均勻分布近似結(jié)構(gòu)(如粒子系統(tǒng)和三角網(wǎng)格)的法矢調(diào)整點(diǎn)云法矢，處理流程復(fù)雜，時(shí)間消耗太大。最小生成樹法穩(wěn)健性好，原理簡(jiǎn)單且易于實(shí)現(xiàn)，是目前應(yīng)用最為廣泛的法矢調(diào)整算法，故本文對(duì)最小生成樹類算法展開深入研究。文獻(xiàn)[6]首先提出了基于最小生成樹的法矢一致性調(diào)整算法。該算法調(diào)整一個(gè)法矢需遍歷全部點(diǎn)云，效率較低。當(dāng)點(diǎn)云數(shù)據(jù)量大時(shí)，算法幾無應(yīng)用價(jià)值。文獻(xiàn)[7—8]采用法向距離區(qū)分平緩點(diǎn)和非平緩點(diǎn)，并通過判斷采樣點(diǎn)的k-鄰域點(diǎn)內(nèi)是否存在非平緩點(diǎn)而采取不同的法矢調(diào)整方式，法矢調(diào)整效率有所提高，但法向距離不具有幾何不變性，其閾值設(shè)定比較困難，因此算法適用范圍有限。文獻(xiàn)[9—10]通過縮小傳播法矢搜索范圍來提高法矢調(diào)整的效率，但是在高曲率區(qū)域，法矢?jìng)鞑ト菀壮鲥e(cuò)。文獻(xiàn)[11—12]通過縮小搜索范圍、增加每次法矢?jìng)鞑€(gè)數(shù)等策略改進(jìn)了MST算法，同時(shí)該算法考慮了奇異情況下的點(diǎn)云法矢調(diào)整，但算法的效率有待提高。文獻(xiàn)[13]著重研究了點(diǎn)云模型有相鄰曲面的法矢調(diào)整，但是需要進(jìn)行兩遍法矢一致性調(diào)整，算法效率低。

針對(duì)單目標(biāo)對(duì)象的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，現(xiàn)有的法矢一致性調(diào)整算法能夠調(diào)整法矢指向同一側(cè)，但是算法的準(zhǔn)確度和效率均需進(jìn)一步提高。曲面變分[20]反映了采樣點(diǎn)局部區(qū)域的平緩程度，具有幾何不變性，可作為判斷采樣點(diǎn)是否為平緩點(diǎn)的依據(jù)，進(jìn)而益于針對(duì)平緩點(diǎn)和非平緩點(diǎn)采用相應(yīng)的法矢調(diào)整策略，提高法矢調(diào)整效率。基于此，本文提出一種基于曲面變分的點(diǎn)云法矢一致性調(diào)整方法，來提高單目標(biāo)對(duì)象點(diǎn)云法矢一致性調(diào)整的準(zhǔn)確性和效率。

1 點(diǎn)云法矢和曲面變分估算

1.1 點(diǎn)云法矢估算

點(diǎn)云中的任意一點(diǎn)Pi所在的局部區(qū)域可近似為平面，點(diǎn)Pi的法矢ni可以用該點(diǎn)的k-鄰域點(diǎn)基于最小二乘法擬合得到的局部平面法向量來逼近，即

(1)

式中，n為平面H的法向量；D為坐標(biāo)原點(diǎn)到平面H的距離。

式(1)可以轉(zhuǎn)換為PCA。PCA的協(xié)方差矩陣C根據(jù)點(diǎn)Pi的鄰域點(diǎn)構(gòu)建，對(duì)于任意點(diǎn)Pi，其對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣為

(2)

設(shè)矩陣C的3個(gè)特征根為λ0、λ1、λ2，對(duì)應(yīng)的特征向量為e0、e1、e2，且λ0≤λ1≤λ2，則最小特征根λ0對(duì)應(yīng)的特征向量e0即為點(diǎn)Pi的法矢ni。為便于后續(xù)運(yùn)算，對(duì)所有法矢予以單位化處理。

1.2 點(diǎn)云曲面變分估算

點(diǎn)Pi的協(xié)方差矩陣C的特征向量e0、e1、e2構(gòu)成一個(gè)正交坐標(biāo)系，其中e1和e2構(gòu)成了點(diǎn)Pi處的切平面，e0近似為曲面在點(diǎn)Pi處的法矢。特征根λ0、λ1、λ2表征了點(diǎn)Pi沿著對(duì)應(yīng)的特征向量e0、e1、e2的偏移量，即λ0定量表示了點(diǎn)Pi偏離其切平面的程度。故類比于微分幾何學(xué)中用曲率來描述曲面的微分性質(zhì)，可以將曲面變分[19]作為散亂點(diǎn)云局部曲面微分性質(zhì)的衡量準(zhǔn)則。點(diǎn)Pi局部區(qū)域的曲面變分定義為

(3)

式中，σ(Pi)表征了點(diǎn)Pi所在局部區(qū)域的平緩程度；σ(Pi)越小表示點(diǎn)Pi所在局部區(qū)域越平緩。由于λ0為最小特征根，故σ(Pi)的取值范圍為0≤σ(Pi)≤1/3。當(dāng)σ(Pi)等于1/3時(shí)，表示點(diǎn)Pi是一個(gè)非平緩點(diǎn)，其鄰域點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)楦咔蕝^(qū)域；當(dāng)σ(Pi)等于0時(shí)，表示點(diǎn)Pi的鄰域點(diǎn)分布在平面上，點(diǎn)Pi是一個(gè)平緩點(diǎn)。故可以利用σ(Pi)來度量點(diǎn)Pi是否為平緩點(diǎn)，如設(shè)置閾值σ0，當(dāng)σ(Pi)小于σ0時(shí)為平緩點(diǎn)，否則為非平緩點(diǎn)。

曲面變分作為描述曲面局部幾何特征的指標(biāo)，與曲面曲率具有相似性，廣泛應(yīng)用于點(diǎn)云數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化等領(lǐng)域。同時(shí)，曲面變分具有幾何不變性，其大小和點(diǎn)云模型的尺度無關(guān)，與法向距離相比，用曲面變分來區(qū)分平緩點(diǎn)和非平緩點(diǎn)適用性更強(qiáng)，且閾值σ0可以根據(jù)下文設(shè)置的規(guī)則自動(dòng)獲取，無須過度依賴個(gè)人經(jīng)驗(yàn)。

研究表明，植物中大多數(shù)MYB蛋白具有2個(gè)重復(fù)的MYB結(jié)構(gòu)域(R2R3)。本研究經(jīng)過序列比對(duì)發(fā)現(xiàn)，LhsorMYB12基因序列中存在R2、R3結(jié)構(gòu)域，與其他物種的MYB轉(zhuǎn)錄因子結(jié)構(gòu)域具有高度同源性(圖3)。另外， R3結(jié)構(gòu)域中還存在MYB和bHLH蛋白相互作用的特異性標(biāo)簽基序[24]?；蚪Y(jié)構(gòu)分析表明，LhsorMYB12由3個(gè)外顯子和2個(gè)內(nèi)含子組成，與擬南芥、苜蓿(Medicago truncatula Gaertn.)、葡萄(Vitis vinifera L.)的MYB基因結(jié)構(gòu)類似(圖4)。

2 法矢一致性調(diào)整

通過PCA計(jì)算出的點(diǎn)云法矢，一部分指向曲面內(nèi)側(cè)，另一部分指向曲面外側(cè)，若不對(duì)其進(jìn)行一致性調(diào)整，會(huì)極大地限制后續(xù)的點(diǎn)云數(shù)據(jù)處理。鑒于現(xiàn)有法矢一致性調(diào)整算法的穩(wěn)健性差、效率低的情況，本文從提高法矢調(diào)整準(zhǔn)確性和效率兩方面來設(shè)計(jì)算法。

2.1 算法原理

為提高法矢一致性調(diào)整的準(zhǔn)確性，當(dāng)法矢?jìng)鞑テ瘘c(diǎn)與法矢待傳播點(diǎn)有且只有一個(gè)是平緩點(diǎn)時(shí)，以兩點(diǎn)的法矢ni、nj與兩點(diǎn)連線的方向向量mij的夾角來約束點(diǎn)云法矢?jìng)鞑シ较?。為提高法矢一致性調(diào)整的效率，本算法用σ(Pi)來區(qū)分平緩點(diǎn)和非平緩點(diǎn)，并采取相應(yīng)的法矢調(diào)整策略，且本算法把待傳播法矢的搜索范圍從所有點(diǎn)云縮小到點(diǎn)的k-鄰域范圍。在k-鄰域范圍內(nèi)，只要待傳播法矢滿足相關(guān)條件，即調(diào)整該法矢方向，這樣可以增加每次鄰域搜索時(shí)法矢?jìng)鞑サ膫€(gè)數(shù)。法矢一致性調(diào)整的流程如圖1所示。

圖1 法矢調(diào)整流程圖Fig.1 Flow chart of adjusting normal vector

從圖1可知，法矢一致性調(diào)整時(shí)首先需要尋找法矢?jìng)鞑テ瘘c(diǎn)，本文使用的尋找方法為：第1次尋找法矢?jìng)鞑テ瘘c(diǎn)Pi時(shí)，按照下標(biāo)i最小原則，尋找一個(gè)平緩點(diǎn)作為法矢一致性調(diào)整的起點(diǎn)；重新尋找法矢?jìng)鞑サ钠瘘c(diǎn)時(shí)，按照下標(biāo)最小原則，在未標(biāo)記的點(diǎn)中尋找一個(gè)平緩點(diǎn)，并用該點(diǎn)鄰域中距離該點(diǎn)最近的已標(biāo)記平緩點(diǎn)法矢調(diào)整該點(diǎn)法矢，把該點(diǎn)作為新的法矢調(diào)整起點(diǎn)。之所以采用平緩點(diǎn)作為法矢?jìng)鞑テ瘘c(diǎn)，是因?yàn)榉ㄊ競(jìng)鞑钠骄弲^(qū)域開始有利于減少算法耗時(shí)。調(diào)整剩余未標(biāo)記點(diǎn)的法矢時(shí)，用距離未標(biāo)記點(diǎn)最近的已標(biāo)記點(diǎn)調(diào)整該點(diǎn)的法矢。本算法中，待傳播法矢的搜索范圍僅在點(diǎn)的鄰域內(nèi)，搜索范圍大幅度減小，且每次在鄰域范圍內(nèi)傳播法矢時(shí)，法矢?jìng)鞑€(gè)數(shù)不止一個(gè)。

2.2 參數(shù)確定

在法矢一致性調(diào)整過程中，需要確定k-鄰域中參數(shù)k、曲面變分閾值σ0和兩向量夾角余弦絕對(duì)值閾值δn的數(shù)值，3個(gè)參數(shù)的取值會(huì)影響法矢調(diào)整結(jié)果和效率，下面具體討論參數(shù)的取值策略。

參數(shù)k對(duì)點(diǎn)云法矢調(diào)整影響較大。在點(diǎn)云的稀疏或高曲率區(qū)域，若取值偏大，此時(shí)局部區(qū)域內(nèi)的k鄰域點(diǎn)的法矢指向不能嚴(yán)格地保持一致，可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的法矢調(diào)整結(jié)果，故k的取值要小一些。在點(diǎn)云的密集或平緩區(qū)域，局部區(qū)域內(nèi)的k鄰域點(diǎn)的點(diǎn)云法矢指向一致，此時(shí)適當(dāng)增大k的取值有利于提高算法的效率。根據(jù)多次試驗(yàn)測(cè)試，k取值范圍在15至35之間時(shí)能夠適應(yīng)絕大多數(shù)類型的點(diǎn)云數(shù)據(jù)情況，本文k值取為25。

一般而言，平緩點(diǎn)占點(diǎn)云數(shù)據(jù)的絕大部分，而非平緩點(diǎn)只占點(diǎn)云數(shù)據(jù)中很少的一部分。假設(shè)點(diǎn)云中的非平緩點(diǎn)占所有點(diǎn)云的比值記為符號(hào)q且所有點(diǎn)按照其曲面變分值升序排列，則閾值σ0為

(4)

式中，int表示取整函數(shù)；n為點(diǎn)云數(shù)量。為了不遺漏非平緩點(diǎn)同時(shí)兼顧法矢一致性調(diào)整的效率，本文q取值為10%。

文獻(xiàn)[25]證明了法矢?jìng)鞑シ较驊?yīng)該是沿著法矢的切線方向而不是法矢方向。故由點(diǎn)Pi指向Pj的單位向量mij與點(diǎn)Pi的法矢之間的夾角θ應(yīng)該接近90°，此時(shí)點(diǎn)Pj的法矢才能根據(jù)點(diǎn)Pi的法矢進(jìn)行調(diào)整，否則不調(diào)整點(diǎn)Pj的法矢?？紤]到點(diǎn)云局部曲面的變化，θ合適的取值范圍為60°<θ<120°，因此兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值應(yīng)該小于0.5，即閾值δn取值為0.5。

雖然人為設(shè)置的閾值存在一定的不確定性，但是只要閾值在合理范圍內(nèi)，均可得到正確的法矢調(diào)整結(jié)果。3個(gè)參數(shù)按照上述的取值方法一般可以獲得較好的法矢調(diào)整結(jié)果。對(duì)于薄壁等奇異區(qū)域的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，需要參考上述的參數(shù)取值策略來調(diào)整參數(shù)的取值，以期獲得良好的法矢一致性調(diào)整結(jié)果。

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

為測(cè)試本文算法效果，在Windows 7系統(tǒng)Intel(R) Core(TM) i7-4790M CPU 3.60 GHz硬件環(huán)境下，利用VS2010和點(diǎn)云庫(kù)(point clouds library，PCL)分別實(shí)現(xiàn)了文獻(xiàn)[9]算法、文獻(xiàn)[11]算法和本文算法，并對(duì)法矢一致性調(diào)整結(jié)果進(jìn)行可視化顯示，為了更加直觀地觀察法矢調(diào)整結(jié)果，使所有法矢盡可能指向物體內(nèi)側(cè)。hand、block和mannequin的法矢調(diào)整結(jié)果如圖2所示。

圖2 法矢一致性調(diào)整結(jié)果Fig.2 Results of consistent normal vector adjustment

從圖2(a)可知，PCA計(jì)算出的法矢指向不一致，需要進(jìn)行一致化處理。從圖2(b)可知，文獻(xiàn)[9]算法在點(diǎn)云的平緩區(qū)域能得到正確的法矢調(diào)整結(jié)果，對(duì)于尖銳特征或高曲率區(qū)域的點(diǎn)云法矢，如hand的手指區(qū)域、block的直角棱邊區(qū)域和mannequin的耳朵等區(qū)域，法矢變化比較劇烈，法矢調(diào)整容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。從圖2(c)可知，文獻(xiàn)[11]算法以MST算法為基礎(chǔ)，可得到正確的法矢調(diào)整結(jié)果。從圖2(d)可知，由于本文算法增加了法矢?jìng)鞑シ较虻募s束條件，故在特征區(qū)域及平緩區(qū)域的法矢均得到了正確調(diào)整。

為比較算法效率，分別統(tǒng)計(jì)文獻(xiàn)[9]算法、文獻(xiàn)[11]算法和本文算法的法矢調(diào)整耗時(shí)，結(jié)果如表1所示。

表1 法矢一致性調(diào)整耗時(shí)統(tǒng)計(jì)

從表1可知，文獻(xiàn)[11]算法耗時(shí)最多，文獻(xiàn)[9]算法次之，本文算法耗時(shí)最少。本文算法耗時(shí)與點(diǎn)云數(shù)據(jù)量成正比關(guān)系，與文獻(xiàn)[9]算法相比，本文算法效率提高了大約2倍，與文獻(xiàn)[11]算法相比，本文算法效率提高了數(shù)十倍。文獻(xiàn)[11]算法的搜索范圍比文獻(xiàn)[9]算法及本文算法的搜索范圍大，需要在已調(diào)整點(diǎn)和未調(diào)整點(diǎn)的交界區(qū)域進(jìn)行遍歷，故算法耗時(shí)最多。文獻(xiàn)[9]算法和本文算法的搜索范圍相當(dāng)，但是文獻(xiàn)[9]算法不區(qū)分平緩點(diǎn)與非平緩點(diǎn)，對(duì)所有點(diǎn)采取相同法矢調(diào)整策略，故其算法耗時(shí)多于本文算法。本文算法引入曲面變分來區(qū)分平緩點(diǎn)和非平緩點(diǎn)，根據(jù)已調(diào)整點(diǎn)和待調(diào)整點(diǎn)的類型采用不同的法矢調(diào)整策略，大大縮短了法矢調(diào)整的時(shí)間。同時(shí)本文算法法矢?jìng)鞑ニ阉鞣秶?，且每次鄰域搜索時(shí)，可傳播多個(gè)法矢，算法耗時(shí)進(jìn)一步減少。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于曲面變分的法矢一致性調(diào)整算法，通過區(qū)分平緩點(diǎn)和非平緩點(diǎn)、縮小傳播法矢搜索范圍、增加每次鄰域搜索時(shí)法矢?jìng)鞑サ膫€(gè)數(shù)、增加法矢?jìng)鞑シ较蚣s束等策略來提高法矢調(diào)整的準(zhǔn)確性與效率。試驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法能夠獲取正確的法矢一致性調(diào)整結(jié)果，且算法效率高于文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[11]算法。在薄壁、相離曲面、稀疏高曲率等奇異區(qū)域，點(diǎn)云k鄰域點(diǎn)的法矢可能出現(xiàn)指向不一致的情況，致使本文算法的法矢一致性調(diào)整結(jié)果有可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，故下一步將重點(diǎn)研究本文算法在這三類奇異區(qū)域的穩(wěn)健性以及k值的自適應(yīng)選取問題。

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