物理考試命題數(shù)據(jù)自洽分析
——以導(dǎo)體棒切割磁感線運(yùn)動(dòng)為例

吳廣國 黃琭琰 鄒 斌

(1. 北京景山學(xué)校,北京 100006; 2. 中央民族大學(xué)理學(xué)院,北京 100081)

導(dǎo)體棒(導(dǎo)體框的一部分)在磁場中切割磁感線而形成感應(yīng)電流時(shí),由于導(dǎo)體棒(導(dǎo)體框)受到安培力而減速運(yùn)動(dòng),由于導(dǎo)體棒(導(dǎo)體框)所受安培力的大小正比于它的速度,所以它做的是加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng).[1]導(dǎo)體棒(導(dǎo)體框)速度的嚴(yán)格求解是隨時(shí)間減小的指數(shù)函數(shù),一旦其受力條件和邊界條件是確定的,則其運(yùn)動(dòng)是唯一確定的.[2]因此,在高考題以及各類模擬題中,雖然命題對象是中學(xué)生,不要求嚴(yán)格求解速度和位置的表達(dá)式,但題目所給出的都應(yīng)該是經(jīng)過嚴(yán)格求解后的數(shù)據(jù),不能為了計(jì)算方便而隨意設(shè)置數(shù)據(jù).[3, 4]下面以一道某地2018年模擬題為例,進(jìn)行詳細(xì)討論分析.

圖1 金屬導(dǎo)軌示意圖

如圖1所示,間距為L=1m的兩條足夠長的平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為θ=37°,底端用電阻為R=0.8Ω的導(dǎo)體MN相連接,導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì).磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1T的勻強(qiáng)磁場與導(dǎo)軌平面垂直,磁場區(qū)域上下邊界距離為d=0.85m,下邊界aa′和導(dǎo)軌底端相距為3d.一根質(zhì)量為m=1kg、電阻為r=0.2Ω的導(dǎo)體棒放在導(dǎo)軌底端,與導(dǎo)軌垂直且接觸良好,并以初速度v0=10m/s沿斜面向上運(yùn)動(dòng),到達(dá)磁場上邊界bb′時(shí),恰好速度為0.已知導(dǎo)軌與棒之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5,g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8.求:

(1) 導(dǎo)體棒通過磁場過程中產(chǎn)生的焦耳熱.

(2) 導(dǎo)體棒從進(jìn)入磁場到達(dá)上邊界所用的時(shí)間和回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流的有效值.

(3) 微觀上導(dǎo)體中的電子克服因碰撞產(chǎn)生的阻力做功,宏觀上表現(xiàn)為產(chǎn)生焦耳熱.試從微觀角度推導(dǎo):當(dāng)棒運(yùn)動(dòng)到磁場中某一位置時(shí)(感應(yīng)電流為I),其電阻的發(fā)熱功率為P熱=I2r(推導(dǎo)過程用字母表示).

在此我們不對題目進(jìn)行解答,而只關(guān)注導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場后的運(yùn)動(dòng)情況.

設(shè)導(dǎo)體棒從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到aa′,進(jìn)入磁場時(shí)速度為v1,由動(dòng)能定理得

(1)

解得v1=7m/s.

要求導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場后的運(yùn)動(dòng)情況,假設(shè)磁場足夠大,從進(jìn)入磁場時(shí)開始計(jì)時(shí)(t=0),以磁場邊界aa′為坐標(biāo)原點(diǎn),建立沿導(dǎo)軌向上的坐標(biāo)軸Ox,如圖2所示,設(shè)任意時(shí)刻t導(dǎo)體棒速度為v.

圖2 導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場后的運(yùn)動(dòng)情況

(2)

代入數(shù)據(jù)后

(3)

利用初始條件t=0,v=7m/s得到該微分方程的解為

v(t)=17e-t-10. (SI)

(4)

繼續(xù)利用導(dǎo)體棒位置與其速度的表達(dá)式

(5)

并考慮到初始條件t=0,x=0,可以進(jìn)一步得到在磁場區(qū)域內(nèi)導(dǎo)體棒位置函數(shù)

x(t)=-17e-t-10t+17. (SI)

(6)

假設(shè)磁場在aa′以上足夠大空間存在.由(4)式和(6)式很容易計(jì)算出當(dāng)導(dǎo)體棒速度減小到0時(shí),所需要的時(shí)間為t1=ln1.7,此時(shí)的位置為x(t1)=1.7m.

即通過解導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的微分方程可以嚴(yán)格計(jì)算出導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場后減速到0時(shí),磁場寬度至少應(yīng)為1.7m,而非題干所給出的d=0.85m.

利用(5)式和(6)式,我們也可以計(jì)算在現(xiàn)有各參數(shù)不變的情況下,當(dāng)導(dǎo)體棒到達(dá)磁場上邊界bb′時(shí)(即d=0.85m),從下邊界aa′導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到上邊界的時(shí)間約為0.146s,此時(shí)導(dǎo)體棒的速度為4.69m/s,導(dǎo)體棒的速度并不為0.通過以上的數(shù)據(jù)分析和嚴(yán)格的數(shù)值求解,命題者認(rèn)為導(dǎo)體棒在磁場中沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)d=0.85m以后速度為0是不恰當(dāng)?shù)?題目數(shù)據(jù)可以修改磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小也可以通過增加磁場寬度,來達(dá)到導(dǎo)體棒恰好通過磁場區(qū)域時(shí),速度為0.這種運(yùn)動(dòng)速度或者位置函數(shù)為指數(shù)函數(shù)相對較為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形式,命題時(shí)需要預(yù)判位移、速度和時(shí)間的數(shù)值關(guān)系式,避免出現(xiàn)題目數(shù)據(jù)的不自洽.