從一道高考選擇題談最小勢(shì)能原理的應(yīng)用

李 康

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校,江蘇 蘇州 215000)

圖1

例1.(2018年4月浙江選考物理第13題)如圖1所示,一根繩的兩端分別固定在兩座猴山的A、B處,A、B兩點(diǎn)水平距離為16m,豎直距離為2m,A、B間繩長(zhǎng)為20m.質(zhì)量為10kg的猴子抓住套在繩子上的滑環(huán)從A處滑到B處.以A點(diǎn)所在水平面為參考平面,猴子在滑行過(guò)程中重力勢(shì)能最小值約為(繩處于拉直狀態(tài))

(A) -1.2×103J. (B) -7.5×102J.

(C) -6.0×102J. (D) -2.0×102J.

1 3種解法及比較

1.1 函數(shù)思想

圖2

猴子在滑行過(guò)程中,繩處于拉直狀態(tài),由重力勢(shì)能公式Ep=mgH(H為A點(diǎn)到猴子重心的豎直距離)可知,猴子到達(dá)繩上最低點(diǎn)C點(diǎn)時(shí),重力勢(shì)能最小.如圖2所示,設(shè)B點(diǎn)到C點(diǎn)的豎直距離為h,BC段繩長(zhǎng)為L(zhǎng),則AC段繩長(zhǎng)為20-L,利用A、B兩點(diǎn)間的水平距離16m,建立h與L的函數(shù)關(guān)系如下

(1)

上式關(guān)系復(fù)雜,很難整理出h=f(L)的顯函數(shù)形式,對(duì)(1)式兩邊求導(dǎo)有

(2)

當(dāng)h取最值時(shí),有h′=0,代入(2)式整理得

(3)

1.2 解析幾何

圖3

(4)

(5)

1.3 最小勢(shì)能原理

圖4

最小勢(shì)能原理是指當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的勢(shì)能最小時(shí),系統(tǒng)會(huì)處于平衡狀態(tài).因?yàn)樽畹忘c(diǎn)重力勢(shì)能取最小值,所以猴子在C點(diǎn)應(yīng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài),只要找出受力平衡位置即可,如圖4所示.

猴子受到重力mg、兩個(gè)大小相等的拉力T而處于平衡狀態(tài),延長(zhǎng)AC交豎直線BF于D點(diǎn),利用對(duì)稱(chēng)性知 ΔCBD是以C為頂點(diǎn)的等腰三角形,CF為其高,故AD=20m.又DE=16m,有AE=12m,即BF=5m,因此A、C兩點(diǎn)間豎直距離為7m.后續(xù)過(guò)程同解法1.

點(diǎn)評(píng):比較上述3種解法,解法1需建立h與L的函數(shù)關(guān)系,利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則求出h的最值.由于此題在物理概念和規(guī)律上并沒(méi)有設(shè)置過(guò)難的障礙,學(xué)生都能建立了函數(shù)關(guān)系,但求最值的運(yùn)算難度過(guò)大.解法2利用橢圓的定義獲取滑環(huán)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程,再借助橢圓與水平直線的位置關(guān)系,求得A、C兩點(diǎn)間豎直距離.前兩種解法都需將大量時(shí)間分配于復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算上,因而過(guò)于數(shù)學(xué)化而缺乏“物理味”.解法3利用最小勢(shì)能原理,將重力勢(shì)能最小值的討論轉(zhuǎn)化為對(duì)穩(wěn)定平衡狀態(tài)的受力分析,結(jié)合受力的對(duì)稱(chēng)性,簡(jiǎn)單運(yùn)算便能得出結(jié)果.

2 最小勢(shì)能原理的應(yīng)用

2.1 力學(xué)中的應(yīng)用

2.1.1 臺(tái)秤示數(shù)的變化

圖5

例2.如圖5所示,臺(tái)秤上放有盛水的杯子,杯底用細(xì)線系一木質(zhì)小球,平衡時(shí)臺(tái)秤的示數(shù)為某一數(shù)值,若細(xì)線突然斷開(kāi),則在細(xì)線剛斷開(kāi)的瞬間,臺(tái)秤示數(shù)的變化情況是

(A) 變大. (B) 變小.

(C) 不變. (D) 無(wú)法確定.

圖6

解析:以容器和木球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象,若細(xì)線斷開(kāi),木球?qū)⑸细≈了?因木球上浮留下的空位將由水來(lái)填充.由于相同體積的木球質(zhì)量小于水球質(zhì)量,所以系統(tǒng)重心下降,重力勢(shì)能減小直至最小值,將重新達(dá)到穩(wěn)定平衡狀態(tài).這一過(guò)程中系統(tǒng)處于失重狀態(tài),臺(tái)秤示數(shù)小于總重力,故選(B).

變式1:如圖6所示,臺(tái)秤上放有盛水的杯子,通過(guò)固定在臺(tái)秤上的支架用細(xì)線懸掛一小鐵球,鐵球全部浸沒(méi)在水中,平衡時(shí)臺(tái)秤的示數(shù)為某一數(shù)值,今剪斷懸線,在鐵球下落但還沒(méi)有到達(dá)杯底的過(guò)程中(不計(jì)水的阻力),則臺(tái)秤的示數(shù)將

(A) 變大. (B) 變小.

(C) 不變. (D) 無(wú)法確定.

解析:以容器、支架和鐵球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象,若剪斷懸線,系統(tǒng)將重新達(dá)到穩(wěn)定平衡狀態(tài),其重力勢(shì)能減小至最小值,這一過(guò)程仍處于失重狀態(tài),選(B).

圖7

變式2:如圖7所示,一個(gè)鐵球和一個(gè)木球用一細(xì)線拴住剛好能懸浮在水中,將裝有水的杯子放在臺(tái)秤上,讓兩球懸浮在水中,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間,浸在水中的細(xì)線突然斷開(kāi),則在細(xì)線剛斷開(kāi)的瞬間,臺(tái)秤示數(shù)的變化情況是

(A) 變大. (B) 變小.

(C) 不變. (D) 無(wú)法確定.

解析:以容器、木球和鐵球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象,分析過(guò)程同變式1,選(B).

點(diǎn)評(píng):與常規(guī)方法相比,最小勢(shì)能原理無(wú)需對(duì)木球、鐵球的受力和運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析,更不用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解.無(wú)論臺(tái)秤上的系統(tǒng)組成怎樣,只要細(xì)線斷了,它將向一個(gè)更穩(wěn)定的狀態(tài)變化,重心降低,重力勢(shì)能就會(huì)減小,處于失重狀態(tài),臺(tái)秤示數(shù)變小.

2.1.2 彈簧模型的速度

圖8

例3.如圖8所示,在足夠大的光滑水平面上放有兩質(zhì)量相等的物塊

A

和

B

,其中

A

物塊連接一個(gè)輕彈簧并處于靜止?fàn)顟B(tài),

B

物塊以初速度

v

0

向著

A

物塊運(yùn)動(dòng).當(dāng)物塊與彈簧作用時(shí),兩物塊在同一條直線上運(yùn)動(dòng).圖9中關(guān)于

B

物塊與彈簧作用過(guò)程中,兩物塊的

v

-

t

圖像正確的是

圖9

解析:以彈簧和兩物塊組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象,系統(tǒng)的彈性勢(shì)能發(fā)生改變.根據(jù)最小勢(shì)能原理,當(dāng)彈性勢(shì)能最小,即初、末兩時(shí)刻,物塊應(yīng)處于平衡狀態(tài),加速度為0,故選(D).

點(diǎn)評(píng):與常規(guī)的動(dòng)量守恒、受力與運(yùn)動(dòng)分析相比,最小勢(shì)能原理無(wú)需關(guān)注中間過(guò)程,只要利用初末兩時(shí)刻勢(shì)能最小、受力平衡的特點(diǎn),便能快速解答.

圖10

例4.如圖10所示,一輕質(zhì)彈簧豎直放置,下端固定在水平面上,上端處于a位置,當(dāng)一重球放在彈簧上端靜止時(shí),彈簧上端被壓縮到b位置.現(xiàn)將重球(視為質(zhì)點(diǎn))從高于a位置的c位置沿彈簧中軸線自由下落,彈簧被重球壓縮到最低位置d.則重球速度最大位置為

(A)a點(diǎn). (B)b點(diǎn).

(C)c點(diǎn). (D)d點(diǎn).

解析:以彈簧和重球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象,重球的重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能都在發(fā)生改變,系統(tǒng)的勢(shì)能由兩部分組成.當(dāng)重球速度最大時(shí),即動(dòng)能最大,系統(tǒng)的勢(shì)能最小,應(yīng)該發(fā)生在受力平衡位置,故選(B).

點(diǎn)評(píng):最小勢(shì)能原理不僅適用于單個(gè)勢(shì)能發(fā)生改變的情況,當(dāng)各個(gè)勢(shì)能均發(fā)生變化時(shí),只要討論各勢(shì)能和最小時(shí),系統(tǒng)同樣處于穩(wěn)定平衡狀態(tài).

2.2 電學(xué)中的應(yīng)用

2.2.1 電勢(shì)最低點(diǎn)的判斷

圖11

例5.如圖11所示,A、B兩點(diǎn)相距為L(zhǎng).在A、B兩點(diǎn)分別固定兩個(gè)不等量的點(diǎn)電荷QA、QB,現(xiàn)以L為直徑畫(huà)出半圓弧,試求此圓弧上電勢(shì)最低點(diǎn)的位置.

圖12

解析:假設(shè)有一正試探電荷q能在半圓弧上運(yùn)動(dòng),圓弧上電勢(shì)最低點(diǎn)P點(diǎn),即為試探電荷的電勢(shì)能EP最小的位置,由最小勢(shì)能原理可知,試探電荷q在P點(diǎn)應(yīng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài),故所受庫(kù)侖合力FP必?zé)o切向分量(作用線過(guò)圓心O),如圖12所示.設(shè)PA與AB的夾角為θ,則

(6)

由庫(kù)侖定律有

(7)

點(diǎn)評(píng):此題可以由點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式,結(jié)合電勢(shì)疊加原理求極值解答,這樣的解法數(shù)學(xué)味太重、求解過(guò)程復(fù)雜,且點(diǎn)電荷電勢(shì)公式明顯超出高中課本要求.利用最小勢(shì)能原理,將電勢(shì)的討論轉(zhuǎn)化為平衡位置的確定,不僅大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程,還能訓(xùn)練學(xué)生科學(xué)思維.

2.2.2 復(fù)合場(chǎng)相關(guān)問(wèn)題

圖13

例6.半徑為r的絕緣光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi),環(huán)上套有一質(zhì)量為m、帶正電的珠子,空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng),如圖13所示.珠子所受靜電力是其重力的3/4倍.將珠子從環(huán)上最低點(diǎn)A處?kù)o止釋放,求珠子在什么位置速度達(dá)到最大?

圖14

點(diǎn)評(píng):重力場(chǎng)與電場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)問(wèn)題一般用等效思想處理,但最小勢(shì)能原理的應(yīng)用同樣快速有效.

2.3 熱學(xué)中的應(yīng)用

2.3.1 微觀分子世界——分子力與分子勢(shì)能

例7.如圖15所示4幅圖中,能正確反映分子間作用力f和分子勢(shì)能Ep隨分子間距離r變化關(guān)系的圖線是

圖15

解析:根據(jù)最小勢(shì)能原理,當(dāng)分子勢(shì)能Ep最小時(shí),分子處于穩(wěn)定平衡狀態(tài),所受分子力f為零,故選(B).

點(diǎn)評(píng):選修3-3熱學(xué)內(nèi)容不在浙江物理高考范圍內(nèi),但只要利用最小勢(shì)能原理,也能快速處理分子力與分子勢(shì)能的圖像問(wèn)題.

2.3.2 宏觀熱學(xué)現(xiàn)象——表面能

由于微觀分子間的作用力,液體表面在宏觀上受到表面張力的作用.空間站內(nèi)處于完全失重的環(huán)境,液滴具有表面張力的勢(shì)能(表面能)正比于表面積,所以最小表面能要求表面積最小,于是液滴成為球形.如果液滴還受到重力的作用,最小重力勢(shì)能又要求重心盡量低,這與表面積最小是矛盾的,因而兩者會(huì)達(dá)到一個(gè)平衡,如水平表面上液滴的形狀會(huì)成扁球形,甚至在重力占主導(dǎo)地位時(shí),液滴會(huì)成圓餅狀.

綜上所述,最小勢(shì)能原理不僅可以用于力學(xué)、電學(xué)和熱學(xué),同時(shí)還能用于微觀世界和宏觀現(xiàn)象;不僅在彈簧模型的速度、復(fù)合場(chǎng)問(wèn)題中提供了快捷的新方法,同時(shí)也為臺(tái)秤示數(shù)問(wèn)題、電勢(shì)最低點(diǎn)的判斷和浙江考生未學(xué)的熱學(xué)相關(guān)知識(shí)開(kāi)辟了有效的新思路.