鄒兆貴
(湖南省長沙市長郡濱江中學(xué),湖南 長沙 410013)
在高中物理當(dāng)中,功與能是非常重要的概念.在對功的學(xué)習(xí)當(dāng)中,經(jīng)常會遇到求物體瞬時功率的問題.往往涉及物體受到的某個力的瞬時功率如何變化,在何位置取極值,以及極值是多少等問題,既考查了學(xué)生對瞬時功率公式本身的掌握與應(yīng)用,也考查了學(xué)生的定性、定量分析物理過程的能力,同時也為后續(xù)動能定理的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ).以下就小球重力瞬時功率如何變化及取極值時相應(yīng)位置進(jìn)行探討.
如圖1,圖2所示,質(zhì)量為m的小球從水平位置A靜止釋放,小球從水平位置A運(yùn)動到最低點(diǎn)B點(diǎn)的過程中,重力的瞬時功率如何變化?在何處最大?(忽略空氣阻力及小球的體積)
圖1 “球繩模型” 圖2 “球繩模型”過程分析圖
設(shè)繩長為L,當(dāng)小球運(yùn)動到C點(diǎn)時,速度為vC,距離A豎直高度差為h,繩子與水平方向的夾角為θ,運(yùn)動到最低點(diǎn)B點(diǎn)時,速度為vB.
由題易知vA=0,則PA=0 W,又
而PC=mgvCcosθ>0 W,
故從A到B的過程中,重力的瞬時功率從0先增大,后減小到0.
當(dāng)小球運(yùn)動到C點(diǎn)時,由幾何關(guān)系知
h=Lsinθ.
(1)
由動能定理得
(2)
解得
(3)
把(3)代入PC=mgvCcosθ得
(4)
下面通過不同的方法來求PC的最大值及對應(yīng)的位置.
2.2.1 均值不等式法[1-2]
f4(θ)=sin2θcos4θ=sin2θcos2θcos2θ=
(5)
2.2.2 導(dǎo)數(shù)法[3-4]
則g′(θ)=cosθ(3cos2θ-2).
令g′(θ)=0得到
由數(shù)學(xué)易知
故g(θ)逐漸增大,PG逐漸增大.
故g(θ)逐漸減小,PG逐漸減小.
如果與小球連接的物體不是繩子,而是光滑半圓槽,同時槽對小球的彈力對小球做功,此時小球重力的瞬時功率變化情況又會如何?
圖3 “球槽模型”圖
如圖3所示,質(zhì)量為M的光滑半圓槽靜止置于光滑水平地面上(半圓槽不固定),一質(zhì)量為m的小球位于槽內(nèi),從與圓心O等高的水平位置靜止釋放,求小球從靜止釋放到運(yùn)動到槽內(nèi)最低點(diǎn)的過程中,小球重力瞬時功率如何變化?最大值在何處?(小球的大小可以忽略)
圖4 “球槽模型”過程分析圖
如圖4所示.設(shè)槽的半徑為R,小球與圓心O的連線與水平方向的夾角為θ時,小球速度為v1,水平速度大小為v1x,豎直速度大小為v1y,槽的水平速度為v2,小球相對于槽的速度為v3.
對M、m系統(tǒng),由機(jī)械能守恒定律得
(6)
由系統(tǒng)水平動量守恒可得
mv1x=Mv2.
(7)
由幾何關(guān)系易知
v1x+v2=v1ytanθ.
(8)
對m:
v1x2+v1y2=v12.
(9)
由系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律易知,小球下滑過程中,槽對小球的彈力對小球做負(fù)功.
小球的瞬時功率為
PGm=mgv1y=
(10)
化簡(10)式得
(11)
再令
A=k(k+1)+(k+1)2cot2θ.
(12)
把(12)式代入(11)式并對h(θ)求導(dǎo)得
令cos2θ=t,t∈[0,1]代入上式得
圖5 k取不同值時,h(θ)隨θ變化圖像
圖6 h′(θ)=0對應(yīng)的cos及cos2(θ)隨k變化圖像
兩種模型雖有區(qū)別,但也有共同點(diǎn).通過理論分析與數(shù)值計算同時借助軟件Origin繪圖,直觀的顯示了小球重力的瞬時功率變化規(guī)律及極值位置.
值得注意的地方:當(dāng)k很小時,槽相對小球質(zhì)量很輕,有可能會翻轉(zhuǎn),因?yàn)樯婕暗睫D(zhuǎn)動的問題不在高考范圍之內(nèi),且更為復(fù)雜,本文不再予以討論.