正負(fù)反饋交替論模型及應(yīng)用

林 屹嚴(yán)洪森

(1.東南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,江蘇南京210096；2.東南大學(xué)復(fù)雜工程系統(tǒng)測(cè)量與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇南京210096；3.南京信息工程大學(xué)信息與控制學(xué)院,江蘇南京210044)

1 引 言

對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)變化規(guī)律的研究是非線性系統(tǒng)理論的一個(gè)重要組成部分.實(shí)際物質(zhì)系統(tǒng)中,一些系統(tǒng)的狀態(tài)變化往往存在由量變到質(zhì)變,從一個(gè)穩(wěn)定階段過渡到另一個(gè)穩(wěn)定階段的現(xiàn)象,從而不斷呈現(xiàn)出“平穩(wěn)→劇變→再平穩(wěn)→再劇變”的過程.1972年Thom提出突變理論,從分叉理論和奇異性理論出發(fā),研究了非線性系統(tǒng)從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)向另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)的躍遷,歸納出折迭、尖點(diǎn)等七類突變類型的幾何模型[1].目前,基于突變理論的應(yīng)用研究也已經(jīng)在很多學(xué)科領(lǐng)域取得了廣泛成果[2-8].此外,雖然可查文獻(xiàn)較少,但仍有一些文獻(xiàn)從量變到質(zhì)變的角度討論了系統(tǒng)狀態(tài)的這一變化規(guī)律.文獻(xiàn)[9]從復(fù)雜系統(tǒng)的觀點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行了定性討論及闡述.文獻(xiàn)[10]則結(jié)合系統(tǒng)狀態(tài)的這一變化規(guī)律,根據(jù)對(duì)立模糊集和相對(duì)差異函數(shù)定義,提出了基于模糊理論的系統(tǒng)量變與質(zhì)變判據(jù).上述這些研究,從不同角度探討了系統(tǒng)狀態(tài)由量變到質(zhì)變而呈現(xiàn)出的“平穩(wěn)→劇變→再平穩(wěn)→再劇變”這一變化規(guī)律.然而,在對(duì)于系統(tǒng)狀態(tài)變化規(guī)律的研究[9-12]中,尚未從動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的角度展開研究.此外,在現(xiàn)有的基于數(shù)據(jù)的建模及預(yù)測(cè)方法[13-18]中,也未曾從穩(wěn)定性分離的角度考慮建模問題.

鑒于此,嚴(yán)洪森[19]提出了正負(fù)反饋交替論的思想,即事物的變化往往具有從基于負(fù)反饋的量變到基于正反饋的質(zhì)變的過程,量變到一定程度引起質(zhì)變,產(chǎn)生新質(zhì),然后,在新質(zhì)的基礎(chǔ)上又開始新的量變,于是,質(zhì)變量變交替出現(xiàn),與此相應(yīng),正負(fù)反饋也交替出現(xiàn).

本文在正負(fù)反饋交替論思想的基礎(chǔ)上,提出了正負(fù)反饋交替論的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型.用疊加多個(gè)死區(qū)函數(shù)反映系統(tǒng)狀態(tài)不同劇變期由于能量爆發(fā)造成的正反饋?zhàn)饔?將系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性分離,不從系統(tǒng)的內(nèi)在機(jī)理出發(fā),而是通過系統(tǒng)內(nèi)在機(jī)理的外部表征數(shù)據(jù),建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,從動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的角度探討系統(tǒng)狀態(tài)由量變到質(zhì)變所呈現(xiàn)出“平穩(wěn)→劇變→再平穩(wěn)→再劇變”的這一變化規(guī)律.本文以狀態(tài)變化具有典型上述演變規(guī)律的非線性時(shí)間序列為例,進(jìn)行建模仿真及預(yù)測(cè)研究,結(jié)果表明了該正負(fù)反饋交替論模型在非線性時(shí)間序列建模中的有效性.以一個(gè)新的角度對(duì)物質(zhì)系統(tǒng)中一些存在狀態(tài)由量變到質(zhì)變所呈現(xiàn)出的“平穩(wěn)→劇變→再平穩(wěn)→再劇變”這一變化規(guī)律進(jìn)行了探討.

2 正負(fù)反饋交替論模型

正負(fù)反饋交替論是將正、負(fù)反饋思想與系統(tǒng)的一般變化規(guī)律相結(jié)合,其具體思想表述如下:

物質(zhì)系統(tǒng)的某一狀態(tài)往往可以由某一個(gè)(或一些)參數(shù)加以表征.當(dāng)該參數(shù)變化在小范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí),處于能量的積累過程,系統(tǒng)狀態(tài)表現(xiàn)出平穩(wěn)變化；當(dāng)能量積累到一定程度而爆發(fā),此時(shí)狀態(tài)參數(shù)變化量急劇增大,系統(tǒng)狀態(tài)產(chǎn)生劇變；隨著劇變的發(fā)生,系統(tǒng)狀態(tài)表現(xiàn)出具有明顯差異的動(dòng)態(tài)特性,同時(shí)由于劇變后能量的消散,狀態(tài)參數(shù)的變化量減小,再次呈現(xiàn)小范圍的波動(dòng),進(jìn)入新的平穩(wěn)期,能量重新積累等待下一次的爆發(fā).系統(tǒng)狀態(tài)變化量在小范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí),可等效為負(fù)反饋的作用結(jié)果,系統(tǒng)穩(wěn)定；劇變發(fā)生時(shí),狀態(tài)變化量不斷增大,此時(shí)可等效為正反饋的作用結(jié)果,系統(tǒng)表現(xiàn)為不穩(wěn)定狀態(tài).隨著這種能量的不斷積累、爆發(fā)與消散,等效正負(fù)反饋的交替出現(xiàn),系統(tǒng)不斷呈現(xiàn)出“平穩(wěn)→劇變→再平穩(wěn)→再劇變”的一般變化規(guī)律.

能量爆發(fā)會(huì)造成狀態(tài)的變化量急劇增加,這種不斷增加的變化量就像是系統(tǒng)增加了一個(gè)階躍信號(hào)后的正反饋,而這種正反饋造成系統(tǒng)不穩(wěn)定,從而導(dǎo)致劇變的發(fā)生,這種等效正反饋?zhàn)饔每梢杂盟绤^(qū)函數(shù)及其疊加來(lái)反映.

定義1死區(qū)函數(shù)定義為dez(Δx,αBP,αBN),

其中Δx為狀態(tài)變量的變化量,αBP為能量爆發(fā)時(shí)的增量的正向初值,即正反饋的狀態(tài)變化量正向起點(diǎn),αBN為能量爆發(fā)時(shí)的增量的負(fù)向初值,即正反饋的狀態(tài)變化量負(fù)向起點(diǎn).

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變化量達(dá)到正向閾值αBP(或負(fù)向閾值αBN)時(shí),正反饋起作用,圖1為該死區(qū)函數(shù)示意圖.

圖1 死區(qū)函數(shù)dez(Δx,αBP,αBN)Fig.1 Dead-zone function dez(Δx,αBP,αBN)

能量的爆發(fā)只能持續(xù)一段時(shí)間,當(dāng)系統(tǒng)能量爆發(fā)后系統(tǒng)狀態(tài)的變化量的增量達(dá)到更高的正向數(shù)值αEP(或負(fù)向閾值αEN)后,系統(tǒng)能量釋放結(jié)束,正反饋隨之消失,此時(shí)αEP稱為增量的正向終值,αEN稱為增量的負(fù)向終值.

系統(tǒng)能量爆發(fā)過程中施加于系統(tǒng)上的等效正反饋?zhàn)饔每梢酝ㄟ^上述兩個(gè)死區(qū)函數(shù)的相減來(lái)獲得.令該相減后獲得的死區(qū)函數(shù)為死區(qū)疊加函數(shù)sdez(Δx,αBP,αEP,αBN,αEN),具體定義如式(2),圖2為死區(qū)疊加函數(shù)示意圖.

定義2死區(qū)疊加函數(shù)定義為sdez(Δx,αBP,αEP,αBN,αEN),

圖 2 死區(qū)疊加函數(shù) sdez(Δx,αBP,αEP,αBN,αEN)Fig.2 Dead-zone superimposed function sdez(Δx,αBP,αEP,αBN,αEN)

關(guān)于變量及死區(qū)疊加函數(shù)有如下結(jié)論.

定理1對(duì)于x1,x2,...,xn,zl1,zl2,...,zlμ,l=1,2,...,n的可展成泰勒級(jí)數(shù)的任意非線性函數(shù)h,有

其中zlj=sdez(Δxl,αlBPj,αlEPj,αlBNj,αlENj),l=1,2,...,n;j=1,2,...,μ.

定理1的具體證明過程見本文附錄.

定理 2對(duì)于自變量為x,sdez(Δx,αBP1,αEP1,αBN1,αEN1),sdez(Δx,αBP2,αEP2,αBN2,αEN2),...,sdez(Δx,αBPμ,αEPμ,αBNμ,αENμ)的可展成泰勒級(jí)數(shù)的任意非線性函數(shù)向量h,有

證明根據(jù)定理1,將式(4)展開成標(biāo)量形式,如方程(5)所示.

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的一般形式為

其中x(k)為系統(tǒng)的狀態(tài)向量,y(k)為系統(tǒng)的輸出向量,C為輸出矩陣,f(x(k),k)為反映系統(tǒng)自身屬性函數(shù),u(x(k),k)為反映狀態(tài)控制屬性函數(shù).

由定理2可知,結(jié)合正負(fù)反饋交替論思想,式(6)中狀態(tài)控制屬性函數(shù)u(x(k),k)可等效為兩個(gè)部分,一個(gè)部分為平穩(wěn)區(qū)系統(tǒng)狀態(tài)呈現(xiàn)變化量小范圍波動(dòng)時(shí)的等效負(fù)反饋g(x(k),k),另一個(gè)部分為變化量不斷增加的導(dǎo)致特性發(fā)生改變的等效正反饋,在“平穩(wěn)→劇變→再平穩(wěn)→再劇變”的過程中,不同的劇變分別具有各自的等效正反饋函數(shù)

因此,根據(jù)定理2可將反映狀態(tài)控制屬性的函數(shù)向量u(x(k),k)表示為

將式(7)代入式(6),便可得到系統(tǒng)閉環(huán)動(dòng)態(tài)模型的一般形式.其系統(tǒng)狀態(tài)的標(biāo)量形式為

3 正負(fù)反饋交替論模型的建立

由于式(8)中fl(x1(k),x2(k),...,xn(k)),以及gl(x1(k),x2(k),...,xn(k)),l=1,2,...,n可以用多維泰勒網(wǎng)展開式逼近[20],均為xi(k),i=1,2,...,n的非線性函數(shù),可將兩者合并,至此便得到了正負(fù)反饋交替論的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型,如式(9)所示.

該模型針對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)由量變到質(zhì)變而呈現(xiàn)出的“平穩(wěn)→劇變→再平穩(wěn)→再劇變”這一變化規(guī)律,從等效正負(fù)反饋的角度,將穩(wěn)定性分離,其平穩(wěn)區(qū)函數(shù)ζl(x1(k),x2(k),...,xn(k)),l=1,2,...,n可以通過多維泰勒網(wǎng)方法獲得.而數(shù)據(jù)劇烈變化段的各劇變區(qū)正反饋參數(shù),包括死區(qū)函數(shù)系數(shù)alσ、各死區(qū)疊加函數(shù)的正反饋的狀態(tài)變化量正向起點(diǎn)αlBPσ(或負(fù)向起點(diǎn)αlBNσ),以及正反饋的狀態(tài)變化量正向終點(diǎn)αlEPσ(或負(fù)向終點(diǎn)αlENσ),l=1,2,...,n;σ=1,2,...,μ需要根據(jù)對(duì)劇變區(qū)的數(shù)據(jù)劇烈變化的分析獲取.

3.1 平穩(wěn)區(qū)模型參數(shù)求解

多維泰勒網(wǎng)結(jié)構(gòu)如圖3[20].模型式(10)中各平穩(wěn)區(qū)函數(shù)ζl(x1(k),x2(k),...,xn(k)),l=1,2,...,n的參數(shù)可以通過多維泰勒網(wǎng)的參數(shù)求解獲得.網(wǎng)絡(luò)輸入為xM(k)=(xM1(k),xM2(k),...,xMn(k))T；中間層為各冪次乘積項(xiàng)單元和相應(yīng)連接權(quán)值,λl={λl,1,λl,2,...,λl,w},l=1,2,...,n為連接線上的權(quán)值集合；網(wǎng)絡(luò)輸出為xM(k+1)=(xM1(k+1),xM2(k+1),...,xMn(k+1))T.

多維泰勒網(wǎng)絡(luò)模型可用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為[20]

其中n為輸入層和輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù),w為隱層節(jié)點(diǎn)總數(shù),λl=(λl,1,λl,2,...,λl,w)T,l=1,2,...,n為連接中間層節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)輸出層第l個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出權(quán)值向量,σq,i為各輸出節(jié)點(diǎn)的第q個(gè)乘積項(xiàng)中變量xMi(k)的冪次.

由多維泰勒網(wǎng)的結(jié)構(gòu)和式(10)可知,對(duì)于xM1(k),xM2(k),...,xMn(k)的可展成泰勒級(jí)數(shù)的任意非線性函數(shù)多元函數(shù)ζl(xM1(k),xM2(k),...,xMn(k)),l=1,2,...,n,即xMl(k+1),可用多維泰勒網(wǎng)方法描述為

圖3 多維泰勒網(wǎng)模型Fig.3 The model of multi-dimensional Taylor network

求解正負(fù)反饋交替論模型的平穩(wěn)區(qū)參數(shù)就是通過網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)獲得平穩(wěn)區(qū)多維泰勒網(wǎng)表達(dá)式中各個(gè)乘積項(xiàng)的權(quán)值.由于多維泰勒網(wǎng)的輸入量就是正負(fù)反饋交替論模型的輸入量,即

故如式(11)所示的多維泰勒網(wǎng)的輸出即相應(yīng)為

對(duì)于非線性時(shí)間序列,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程式(6)中取C=(1,0,...,0),即y(k+1)=x1(k+1).將數(shù)據(jù)重構(gòu)形成樣本集其中樣本集輸入為

其對(duì)應(yīng)輸出為y(k+1).

對(duì)于非線性時(shí)間序列而言,多維泰勒網(wǎng)輸出為

該輸出可以采用最小二乘法求解得到各乘積項(xiàng)的權(quán)值λ1,q[20],從而可以確定平穩(wěn)區(qū)的模型參數(shù).

3.2 劇變區(qū)模型參數(shù)求解

采用多維泰勒網(wǎng)方法進(jìn)行正負(fù)反饋交替論模型中平穩(wěn)區(qū)參數(shù)的辨識(shí)之后,由于數(shù)據(jù)在劇變期發(fā)生劇烈大幅度變化,所以需要根據(jù)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)劇烈變化段的正反饋參數(shù)辯識(shí),以反映在多維泰勒網(wǎng)的基礎(chǔ)上疊加的由于劇變?cè)斐傻恼答佊绊?

系統(tǒng)在不斷呈現(xiàn)“平穩(wěn)→劇變→再平穩(wěn)→再劇變”的運(yùn)行過程中,由于能量積累的程度不同而導(dǎo)致在不同劇變期能量爆發(fā)的幅度,即狀態(tài)變量的變化量幅度的不同.從而可根據(jù)變化量幅度大小的不同劃分出若干個(gè)劇變期,即 sdez(Δx1,α1BPσ,α1EPσ,α1BNσ,α1ENσ),σ=1,2,...,μ所對(duì)應(yīng)的第σ個(gè)正向(或負(fù)向)的等效正反饋的狀態(tài)變化量起點(diǎn)α1BPσ(或α1BNσ),以及等效正反饋的狀態(tài)變化量終點(diǎn)α1EPσ(或α1ENσ).具體步驟如下:

步驟1計(jì)算各變化量的幅度大小,即Δx1(k)←x1(k)-x1(k-1)；

步驟2比較變化量幅度的大小,即比較Δx1(k)和Δx1(k-1)的幅值的大小,并將該較大的變化量幅度保存為maxΔx1(k)；

步驟3根據(jù)maxΔx1(k)值進(jìn)行穩(wěn)定區(qū)域判斷.若maxΔx1(k)較小,且該maxΔx1(k)為數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)折點(diǎn),即達(dá)到波動(dòng)幅值后,變化幅度不會(huì)繼續(xù)增加而是呈現(xiàn)衰減情況,則處于平穩(wěn)區(qū).劇變區(qū)數(shù)據(jù)變化與平穩(wěn)期截然不同.若maxΔx1(k)較大,且當(dāng)出現(xiàn)較大的maxΔx1(k)值之后,波動(dòng)幅度若持續(xù)增長(zhǎng),即maxΔx1(k)＜maxΔx1(k+1)＜···＜maxΔx1(k+p),則出現(xiàn)正反饋.當(dāng)變化量幅值增長(zhǎng)到某一更大幅值后,出現(xiàn)maxΔx1(k+p)＞maxΔx1(k+p+1)即出現(xiàn)轉(zhuǎn)折,則表明正反饋?zhàn)饔孟?此次能量爆發(fā)結(jié)束；

步驟 4根據(jù)穩(wěn)定區(qū)域判斷過程及結(jié)果,確定正反饋區(qū)a1σsdez(Δx1,α1BPσ,α1EPσ,α1BNσ,α1ENσ)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變化量起點(diǎn)α1BPσ或α1BNσ,以及狀態(tài)變化量終點(diǎn)α1EPσ(或α1ENσ)；

步驟5在確定各正反饋區(qū)邊界參數(shù)之后,對(duì)處于各等效正反饋狀態(tài)變化量起止點(diǎn)之間的序列數(shù)據(jù),分別計(jì)算各劇變期區(qū)域內(nèi)x1(k+1)與xM1(k+1)的差值,并求取其在各劇變區(qū)的算術(shù)平均值,即得到各劇變區(qū)的平均誤差,以獲得對(duì)應(yīng)于各等效正反饋區(qū)域的參數(shù)a1σ,σ=1,2,...,μ.

4 算例仿真

4.1 算例1

在結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域中,諸如高層建筑、大型橋梁等結(jié)構(gòu),在其長(zhǎng)達(dá)幾十年的服役期中,長(zhǎng)期經(jīng)受著環(huán)境的侵蝕、材料的老化以及荷載的變化,這些因素將不可避免地造成建筑結(jié)構(gòu)的損傷累積和抗力衰減,從而導(dǎo)致其抵抗自然災(zāi)害的能力下降,甚至出現(xiàn)垮塌,造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失.

本文模型采用疊加死區(qū)函數(shù)反映系統(tǒng)狀態(tài)由于能量爆發(fā)造成的正反饋?zhàn)饔?將狀態(tài)穩(wěn)定性分離,通過對(duì)樓宇、橋梁的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣和分析,可以基于監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建立此類系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.這種智能建模方法將對(duì)樓宇、橋梁的垮塌災(zāi)害加以監(jiān)控,它的研究將為解決類似具有量變質(zhì)變現(xiàn)象的復(fù)雜工程系統(tǒng)的建模問題提供了一條新穎的途徑.

由于目前尚無(wú)樓宇或橋梁垮塌過程的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),為便于研究,借助專業(yè)有限元分析軟件MSC.Marc模擬某九層樓宇在罕遇地震作用下的響應(yīng)及破壞過程數(shù)據(jù),結(jié)合破壞過程中量變到質(zhì)變這一過程,進(jìn)行基于正負(fù)反饋交替論的非線性系統(tǒng)建模.

仿真實(shí)驗(yàn)中針對(duì)非線性時(shí)間序列{x(k)},模型輸入向量為x(k)=(x1(k),x2(k),x3(k),x4(k))T,其中各元素采用差分結(jié)構(gòu)

首先進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí),獲得平穩(wěn)區(qū)函數(shù)

從而得到輸出y′(k+1)=xM1(k+1).

然后,按照前述的變化量幅值比較法確定等效正反饋區(qū)的起止邊界參數(shù),以及正反饋區(qū)內(nèi)求取平均誤差的方法,獲得函數(shù)a11sdez(Δx1(k),α1BP1,α1EP1,α1BN1,α1EN1)的各參數(shù).

如前所述Δx1(k)=x1(k)-x1(k-1)=x2(k),所以該正反饋函數(shù)a11sdez(Δx1(k),α1BP1,α1EP1,α1BN1,α1EN1),即為a11sdez(x2(k),α1BP1,α1EP1,α1BN1,α1EN1),從而建立其正負(fù)反饋交替論模型,通過式(15)的顯性形式對(duì)該九層樓宇的動(dòng)力學(xué)特性加以描述,即

對(duì)于建立的模型,需通過測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)其模型性能進(jìn)行評(píng)價(jià).在進(jìn)行性能測(cè)試時(shí),采用同地區(qū)的另一地震波對(duì)該九層樓宇進(jìn)行振動(dòng)實(shí)驗(yàn),將實(shí)際水平位移響應(yīng)與式(15)描述的正負(fù)反饋交替論模型的每一步預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,對(duì)比結(jié)果如圖4所示.

圖4反映了該九層樓宇的最高層(第九層)在超高強(qiáng)度地震波作用下,破壞過程中水平位移數(shù)據(jù)的正負(fù)反饋交替論模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值的對(duì)比情況.該時(shí)間序列清晰反映了實(shí)驗(yàn)對(duì)象在高強(qiáng)度振動(dòng)下,水平位移由量的積累到產(chǎn)生劇變,最后樓宇垮塌的這一演變過程.

圖4 計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值對(duì)比圖Fig.4 Comparison of the calculated results and the actual value

分別對(duì)圖4中平穩(wěn)區(qū)和劇變區(qū)進(jìn)行局部放大,如圖5和圖6所示.

圖5 平穩(wěn)區(qū)局部放大Fig.5 Local amplification of stable area

圖6 劇變區(qū)局部放大Fig.6 Local amplification of revulsion area

從圖4以及局部放大的圖5和圖6可以看出,結(jié)合破壞過程中量變到質(zhì)變這一過程進(jìn)行的正負(fù)反饋交替論模型可以較好地反映該九層樓宇在罕遇地震作用下的響應(yīng)及破壞過程,是解決具有量變質(zhì)變現(xiàn)象的復(fù)雜工程系統(tǒng)建模問題的一種新途徑.

圖5反映出平穩(wěn)區(qū)該模型具有很高的預(yù)測(cè)精度,但在圖5所示的劇變區(qū)對(duì)比圖中可以看出,雖然就整個(gè)劇變區(qū)而言該模型依然具有較好的預(yù)測(cè)效果,但在局部位置出現(xiàn)了比較明顯的誤差.分析其主要原因,出現(xiàn)較大誤差的區(qū)域即為垮塌即將發(fā)生時(shí)狀態(tài)產(chǎn)生急劇變化的劇變期,該區(qū)的數(shù)據(jù)變化反映的恰恰是由量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)變過程,雖然正負(fù)反饋交替論模型已經(jīng)引入了正負(fù)反饋對(duì)穩(wěn)定性進(jìn)行分離,整個(gè)劇變區(qū)內(nèi)模型與實(shí)際數(shù)據(jù)可以有較好的吻合,但在分離點(diǎn)處仍存在一定誤差.此外,還有一方面原因在于,雖然已將垮塌發(fā)生之前,以及垮塌過程中的數(shù)據(jù)值納入劇變區(qū)函數(shù)的訓(xùn)練集,但在頻譜存在差異的地震波的振動(dòng)下,特別是垮塌本身的劇變類型,即便是針對(duì)同一建模對(duì)象進(jìn)行模型描述,也會(huì)出現(xiàn)個(gè)別數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)精度較差的情況.

為了更充分地反映模型性能,本文將正負(fù)反饋交替論模型(本文模型)與未引入狀態(tài)控制的多維泰勒網(wǎng)模型(MTN模型)、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(BP模型)以及遺傳算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(GA-BP模型)進(jìn)行模型預(yù)測(cè)效果結(jié)果對(duì)比,比較結(jié)果如表1所示.模型性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)采用預(yù)測(cè)的均方根誤差(RMSE)和相對(duì)誤差(PERR),其分別定義為

其中N為測(cè)試樣本容量,y(k+1)為實(shí)際值,(k+1)為預(yù)測(cè)值.

表1 測(cè)試數(shù)據(jù)誤差比較Table 1 Comparison of test data errors

從表1可以看出,本文所提正負(fù)反饋交替論模型的兩項(xiàng)誤差指標(biāo)均優(yōu)于單純的多維泰勒網(wǎng)方法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以及遺傳算法優(yōu)化后的BP模型.主要原因在于本文模型能夠針對(duì)具有“平穩(wěn)→劇變→再平穩(wěn)→再劇變”變化規(guī)律的這類系統(tǒng),將狀態(tài)穩(wěn)定性分離,只在劇變區(qū)采用相應(yīng)等效正反饋補(bǔ)償,進(jìn)一步減小了在一般基于數(shù)據(jù)的建模過程中動(dòng)態(tài)特性改變對(duì)平穩(wěn)區(qū)數(shù)據(jù)的影響.故本文模型精度好于單純的多維泰勒網(wǎng)模型.又由于本文模型以MTN模型為核心子模型,在充分發(fā)揮了其預(yù)測(cè)精度高的優(yōu)勢(shì)的同時(shí),將狀態(tài)穩(wěn)定性分離,故其RMSE和PERR這兩項(xiàng)指標(biāo)相較于BP模型和GA-BP模型具有顯著優(yōu)勢(shì).

4.2 算例2

水位是關(guān)系到水庫(kù)大壩安全、灌溉調(diào)度、蓄水以及泄洪的重要參數(shù).由于水位變化也具有典型的“平穩(wěn)→劇變→再平穩(wěn)→再劇變”變化規(guī)律,本文根據(jù)某水利樞紐每日上午8:00上游水位監(jiān)測(cè)值,采用正負(fù)反饋交替論模型進(jìn)行水位預(yù)測(cè)研究.利用MATLAB7.0編寫正負(fù)反饋交替論模型程序,水位預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際水位值對(duì)比如表2所示.

為了更好地反映預(yù)測(cè)性能,本文將正負(fù)反饋交替論模型與多維泰勒網(wǎng)模型(MTN)、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(BP)、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(RBF)水位預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差統(tǒng)計(jì)如表3所示.

由表3可以看出,對(duì)于大壩上游水位這種總體變化呈現(xiàn)“平穩(wěn)→劇變→再平穩(wěn)→再劇變”這一變化規(guī)律的非線性系統(tǒng),相較于BP模型、RBF模型這樣的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以及MTN模型,本文所提出的正負(fù)反饋交替論模型在預(yù)測(cè)精度方面具有更好的優(yōu)勢(shì).

從上述仿真實(shí)驗(yàn)可以看出,本文方法所建立的模型具有更高精度,能更準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)狀態(tài)的變化規(guī)律,特別是針對(duì)劇烈變化的情況具有更好的優(yōu)勢(shì).此外,本文所提模型通過引入等效正負(fù)反饋對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)及不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)行劃分,能以動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的形式顯性表示歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)數(shù)據(jù)的影響,從動(dòng)力學(xué)模型的角度探討了系統(tǒng)變化規(guī)律的定量表達(dá).這也是時(shí)間序列建模方法的一個(gè)新的研究與嘗試.

表3 誤差統(tǒng)計(jì)Table 3 Error statistics

5 結(jié)束語(yǔ)

本文將正負(fù)反饋的思想與系統(tǒng)狀態(tài)呈現(xiàn)“平穩(wěn)→劇變→再平穩(wěn)→再劇變”的過程相結(jié)合,提出了一種新型的描述此類系統(tǒng)演變規(guī)律的正負(fù)反饋交替論模型.該模型根據(jù)時(shí)間序列中數(shù)據(jù)的變化情況,引入正負(fù)反饋概念,將穩(wěn)定性分離,在采用多維泰勒網(wǎng)方法進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)的基礎(chǔ)上,對(duì)呈現(xiàn)不同動(dòng)態(tài)特性的區(qū)域分別進(jìn)行穩(wěn)定區(qū)和劇變區(qū)的參數(shù)辨識(shí),建立系統(tǒng)模型.該模型能夠在系統(tǒng)機(jī)理不明的情況下,建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程,以動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的形式表述具有“平穩(wěn)→劇變→再平穩(wěn)→再劇變”狀態(tài)演化規(guī)律的這一類系統(tǒng).由于模型將穩(wěn)定性分離,對(duì)數(shù)據(jù)的變化添加了正負(fù)反饋的作用,進(jìn)一步提高了建模精度,且算法實(shí)現(xiàn)方便.最后采用樓宇在罕遇地震作用下的響應(yīng)及破壞過程數(shù)據(jù),以及大型水利樞紐的水位監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為非線性時(shí)間序列,進(jìn)行基于正負(fù)反饋交替論的非線性系統(tǒng)建模及預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)仿真,結(jié)果表明本文所提方法的有效性.