基于傅里葉變換的時變參數(shù)回歸模型：估計、設定檢驗和實證應用

楊利雄，李慶男(.蘭州大學 管理學院 甘肅 蘭州 730000； .“中山大學” 經(jīng)濟研究所 臺灣 高雄 806)

一、引 言

在過去幾十年里，已有的計量模型和經(jīng)濟管理類實證研究多基于線性回歸模型[1]，且線性回歸模型還被施加了諸多嚴格的假設，如參數(shù)為常數(shù)。同時，學者已認識到非線性在經(jīng)濟現(xiàn)象中的普遍存在性[2-3]，但Granger證明，任何非線性模型都能被一個時變參數(shù)的線性模型很好地近似[1]。從而線性模型因其簡潔性成為諸多研究中的首選。

然而，對時變參數(shù)的線性模型研究還很不夠。模型參數(shù)的時變性會影響模型的擬合優(yōu)度及造成預測的失敗[3]?，F(xiàn)有的考慮模型系數(shù)時變性特征的方法多基于卡爾曼濾波[4]505-506，然而其不僅需要估計觀測模型的系數(shù)，還需要估計狀態(tài)方程的協(xié)方差矩陣，太多的參數(shù)估計不僅造成效率的損失，還損失了簡潔性進而影響了其在實際問題中的應用。

傅里葉變換通過三角函數(shù)序列能以任意的精度逼近絕對可積的函數(shù)。同時Becker等證明低頻的傅里葉函數(shù)就能很好地解決很多常見的時變特征[2]。Enders 和 Lee等使用傅里葉變換處理單位根檢驗中的時變參數(shù)問題[5-6]。楊利雄和張春麗使用傅里葉變換處理協(xié)整模型中的結構突變，發(fā)現(xiàn)能較好地捕捉結構突變從而促進參數(shù)估計的效率[7]。

本文基于傅里葉變換和簡單最小二乘回歸模型框架建立了一個簡單易用的時變參數(shù)線性回歸模型，并給出了其估計和模型的設定檢驗方法。通過使用傅里葉變換近似時變參數(shù)，從而得到一個包含三角函數(shù)項、三角函數(shù)與自變量交叉項的回歸模型作為輔助回歸，并證明模型的參數(shù)估計是收斂于真實值的，進一步得到的時變參數(shù)的估計也是收斂于真實值的。另一方面，當模型參數(shù)本身無時變性時，使用時變參數(shù)模型方法會估計多余的參數(shù)，而估計多余的參數(shù)會損失效率，因而本文建立了模型設定檢驗以幫助選擇是否使用時變參數(shù)模型。然后，使用蒙特卡洛模擬方法，考察基于傅里葉變換的時變參數(shù)模型處理常見的時變參數(shù)類型的效果，發(fā)現(xiàn)新的時變參數(shù)模型能很好地處理連續(xù)的、隨機的和跳躍的時變參數(shù)線性模型。新方法的一個主要優(yōu)點是模型的簡潔性和應用的便捷性。

最后，將新建立的時變參數(shù)線性模型應用于研究中美兩國股市的聯(lián)動性，發(fā)現(xiàn)考慮模型參數(shù)的時變性特征后能顯著提升模型的擬合優(yōu)度；同時，時變參數(shù)模型能得到更為豐富的聯(lián)動特征，幫助理解聯(lián)動現(xiàn)象或幫助投資者在全球分散風險，而忽略模型參數(shù)的時變性可能得到錯誤結論。

二、時變參數(shù)回歸模型理論：估計和設定檢驗

本節(jié)建立基于傅里葉變換的時變參數(shù)線性回歸模型，并給出其參數(shù)估計方法、估計的收斂性特征，同時給出模型的設定檢驗。

(一)基于傅里葉變換的時變參數(shù)模型及其估計

考慮如下時變參數(shù)的模型：

yt=αt+βtxt+εt

(1)

假設yt和xt是平穩(wěn)變量且模型(1)滿足經(jīng)典回歸所需的條件，其中xt和yt可以是向量的形式，αt和βt是時變參數(shù)。

近年來，學界已經(jīng)認識到使用傅里葉變換近似時變性特征(如非線性和結構突變)的優(yōu)點[2]。傅里葉函數(shù)近似時變性的方法不需要假設時變性的先驗知識，因而可避免時變參數(shù)類型誤設問題，另外傅里葉函數(shù)也可以處理非線性趨勢，這使得該方法十分具有競爭力[8]。

只要αt和βt是時間t的絕對可積函數(shù)，則傅里葉變換可以以任意的精度近似αt,βt：

(2)

(3)

其中，n代表傅里葉近似中包含的頻率的個數(shù)，k表示某一特定的頻率，T是樣本數(shù)。

單頻的傅里葉函數(shù)就能很好地近似常見的時變性結構[2]，為了模型推導的方便考慮如下單頻的時變參數(shù)近似：

αt?α0+α11sin(2πkt/T)+α21cos(2πkt/T)

(4)

βt?β0+β11sin(2πkt/T)+β21cos(2πkt/T)

(5)

將式(4)和式(5)代入時變參數(shù)模型(1)可得如下輔助回歸模型：

yt=α0+α11sin(2πkt/T)+α21cos(2πkt/T)+

β0xt+β11xtsin(2πkt/T)+

β21xtcos(2πkt/T)+εt

(6)

對于頻率參數(shù)k的選擇，參照Becker等人的做法[2]，從1,2,3,4,5中選擇，可使用最小化殘差平方和的方法，分別選擇k=1,2,3,4,5，計算式(6)最小二乘估計的殘差平方和SSR(k)，選擇能使SSR(k)最小的參數(shù)k即可。

因為xtsin(2πkt/T)和xtcos(2πkt/T)不再嚴格滿足弱平穩(wěn)的定義，因而傳統(tǒng)的最小二乘回歸的理論(如系數(shù)的收斂性特征等)可能不再成立。因而本文先推導輔助回歸模型的系數(shù)估計的收斂性。

定理1 模型(6)中參數(shù)的最小二乘估計是收斂的，其收斂速度均為O(T-1/2)。

證明：為了方便推導，先定義如下向量：

τ=[1，2，…，T]′，Υ1=[sin(2πk1/T)

sin(2πk2/T)，…，sin(2πkT/T)]

Υ2=[cos(2πk1/T)，cos(2πk2/T)

…，cos(2πkT/T)]

Υ3=[x1sin(2πk1/T)，x2sin(2πk2/T)

…，xTsin(2πkT/T)]

Υ4=[x1cos(2πk1/T)，x2cos(2πk2/T)

…，xTcos(2πkT/T)]

G=[τ，Υ1，Υ2，Υ3，Υ4]

θ=[α0，α11，α21，β0，β11，β21]′

(7)

根據(jù)Hamilton和Becker等人給出的變量有界性特征[2][4]505-506，有：

定理2 基于模型(6)中參數(shù)的最小二乘估計，構造如下估計量：

(二)模型設定檢驗

估計不必要的參數(shù)會帶來效率損失，因而當模型不含時變性時，考慮時變性是不合意的。因此，在使用時變參數(shù)回歸模型之前，有必要檢驗系數(shù)時變性特征的存在性。

如果模型(1)中系數(shù)不含時變性，則模型(6)中α11=α21=β11=β21=0。這一特征可以用來做模型的設定檢驗。即為了決定是否應該考慮結構突變特征，可以檢驗如下原假設：

H0∶α11=α21=β11=β21=0

(8)

設SSR0為回歸模型yt=α0+β0xt+εt的殘差平方和；SSR1為回歸模型(6)的殘差平方和。則下列F統(tǒng)計量可以用來檢驗原假設：

(9)

上述F統(tǒng)計量服從自由度為4和T-6的F分布。F統(tǒng)計量拒絕上述原假設是模型(1)的系數(shù)不含時變性的信號。

使用傳統(tǒng)的F檢驗做設定檢驗，雖然理論簡單且易于使用，但其小樣本性質(zhì)差*誤差項服從獨立同分布時，傳統(tǒng)F檢驗具有良好的有限樣本表現(xiàn)。[9]。Kiefer等提出通過對最小二乘回歸的殘差進行轉換[10]，從而構造穩(wěn)健統(tǒng)計量的方法，其方法被證明具有優(yōu)良的小樣本性質(zhì)[11]。因此，本文通過轉換最小二乘回歸的殘差構造穩(wěn)健的設定檢驗。

為了方便構造統(tǒng)計量，先將模型(6)的最小二乘估計表示為如下向量形式：

(10)

其中，xt=[1，sin(2πkt/T)，cos(2πkt/T)，xt，xtsin(2πkt/T)，xtcos(2πkt/T)]′，

[W4(r)-rW4(1)]′dr]Ω′1/2

其中，Ω為Xtut的協(xié)方差矩陣，W4(r)為4維的相互獨立的標準維納過程。

(11)

式(11)中的極限分布不是標準的F分布，但其極限分布不依賴于冗余參數(shù)。通過使用正態(tài)分布的隨機數(shù)疊加近似維納過程，使用隨機模擬給出其臨界值。該檢驗1%、5%和10%的臨界值分別為108.22、65.35和48.71。

三、蒙特卡洛模擬

(一)基于傅里葉變換的時變參數(shù)模型的表現(xiàn)

討論了基于傅里葉變換的時變參數(shù)回歸模型的設定和系數(shù)的收斂速度，本節(jié)使用蒙特卡洛模擬研究前文建立的基于傅里葉變換的時變參數(shù)回歸理論處理時變參數(shù)問題的效果。使用模擬的數(shù)據(jù)對比回歸模型yt=α+βxt+et和回歸模型(6)在擬合隨機模擬數(shù)據(jù)時的擬合優(yōu)度。

1.數(shù)據(jù)生成過程

考慮三種常見的時變參數(shù)數(shù)據(jù)生成過程：連續(xù)的、隨機的、跳躍的時變參數(shù)模型。

1)連續(xù)的時變參數(shù)

考慮如下的數(shù)據(jù)生成過程：

yt=αt+βtxt+εt

(12)

αt?α0+α11sin(2πkt/T)+α21cos(2πkt/T)

(13)

βt?β0+β11sin(2πkt/T)+β21cos(2πkt/T)

(14)

其中εt～i.i.d.N(0，1)，t=1，2，…，T。模擬時選取如下參數(shù)：k=1，α0=β0=0，α11=α21=β11=β21=1，樣本T分別選取100和1 000。

2)隨機的時變參數(shù)

考慮如下系數(shù)隨機的數(shù)據(jù)生成過程：

yt=αt+βtxt+εt

(15)

αt=αt-1+ν1t

(16)

βt=βt-1+ν2t

(17)

其中，εt，ν1t，ν2t～i.i.d.N(0，1)且相互獨立。

3)跳躍的時變參數(shù)

考慮如下具有跳躍特征的時變參數(shù)數(shù)據(jù)生成過程：

yt=αt+βtxt+εt

(18)

(19)

(20)

其中εt～i.i.d.N(0，1)且α1≠α2，β1≠β2。模擬時選取參數(shù)α1=β1=1，α2=β2=2。

2.蒙特卡洛模擬結果分析

選取樣本容量T=1 000，使用數(shù)據(jù)生成過程式(12)～(14)生成樣本，并使用簡單的回歸模型yt=α+βxt+et時，發(fā)現(xiàn)估計的系數(shù)均在10%的顯著性水平下不顯著，且擬合優(yōu)度R2僅為0.002 2；樣本T=100時且使用簡單回歸模型yt=α+βxt+et時有類似的結論，即估計的系數(shù)均在10%的顯著性水平下不顯著，且擬合優(yōu)度R2僅為0.016 8。然而，在樣本T=1 000和100時使用模型(6)得到的擬合優(yōu)度R2分別為0.52和0.44。進一步地，使用前文式(9)給出的F分布做模型的設定檢驗，F(xiàn)統(tǒng)計量在1%的顯著性水平下拒絕了原假設，因而應該使用時變參數(shù)模型。

用隨機時變參數(shù)模型(15-17)和跳躍時變參數(shù)模型(18-20)生成樣本，使用模型(6)均能顯著地提高模型的擬合優(yōu)度，且據(jù)模型設定檢驗(9)中的F統(tǒng)計量都能在1%的顯著性水平下拒絕原假設，因而F檢驗的證據(jù)支持時變參數(shù)模型。

綜上，模擬表明：本文的基于傅里葉變換的時變參數(shù)模型對常見的時變參數(shù)數(shù)據(jù)生成過程都有較好的處理效果。

(二)模型設定檢驗的有限樣本表現(xiàn)

為了對比前文模型設定檢驗的表現(xiàn)，從而更加直觀地理解其優(yōu)良性，本節(jié)使用蒙特卡洛模擬考察前文模型設定檢驗的小樣本性質(zhì)。

在考慮模型設定檢驗的檢驗水平時，選取原假設下的數(shù)據(jù)生成過程yt=α0+β0xt+et，其中選取參數(shù)α0=β0=1；在考慮檢驗功效時，選取備擇假設下數(shù)據(jù)生成過程：yt=αt+βtxt+et，其中αt，βt分別由式(13)和式(14)所示，其中的參數(shù)選擇k=1，α0=β0=1，α11=α21=β11=β21=0.1。另外設置et=ρet-1+ξt，ξt～i.i.d.N(0，1)，選取參數(shù)ρ=0.1，0.25，0.5，0.75，0.9。

表1給出了在5%的顯著性水平下，使用傳統(tǒng)的F檢驗和基于轉換最小二乘殘差建立的穩(wěn)健檢驗的有限樣本表現(xiàn)。隨機模擬使用GAUSS 9.0編程完成，每次模擬重復10 000次。

模擬的結果表明：隨著回歸模型誤差項自相關程度的增強，傳統(tǒng)F檢驗以非常高的頻率錯誤地拒絕原假設，即存在嚴重的檢驗水平扭曲(size distortion)問題，且這種檢驗水平的扭曲隨樣本的增加并無明顯改善；與之對比，F(xiàn)*統(tǒng)計量具有無檢驗水平扭曲的特點。另一方面，從檢驗功效的角度來看，F(xiàn)*的檢驗功效略低于傳統(tǒng)的F檢驗，但這種檢驗功效的損失并不嚴重。

給定常用計量軟件中的統(tǒng)計量多為傳統(tǒng)F檢驗，模擬結果對傳統(tǒng)F檢驗的使用給予了警示。為了得到更為準確的結果，F(xiàn)*統(tǒng)計量應該是一個更好的選擇，尤其是在誤差項存在高度自相關的情況下。

表1 設定檢驗F和F*的有限樣本性質(zhì)

注：檢驗水平為原假設成立時5%的顯著性水平下的拒絕率；檢驗功效為備擇假設成立時5%的顯著性水平下的拒絕率。

四、實證應用

股票市場之間的聯(lián)動關系是投資者在全球分散風險的重要依據(jù)，當股票市場之間存在密切的聯(lián)動關系時，投資者在全球分散投資的收益是非常有限的[12]，而市場之間的聯(lián)動關系具有時變性已經(jīng)成為共識。因而股票市場間時變性關系的考察是調(diào)整投資組合的主要依據(jù)。

隨著中國的迅速崛起，中國股票市場對全球其他市場的影響力越來越強[13]，因而研究中國與美國股票市場的聯(lián)動關系對投資者在國際市場間配置資產(chǎn)具有重要意義。本文使用前文的時變參數(shù)線性模型考慮時變參數(shù)對研究中美兩國股市聯(lián)動的重要性。

基于協(xié)整理論研究股市聯(lián)動的文獻中一般考慮如下的回歸模型：

Sch，t=α+βSus，t+δt+et

(21)

考慮系數(shù)的時變性特征，可以建立如下時變參數(shù)回歸模型：

Sch，t=αt+βtSus，t+δtt+et

(22)

其中，at，βt如式(4)和式(5)所示，Sch，t，Sus，t分別代表中國的上證綜指和美國的道瓊斯指數(shù)。本文選取的時間段為1990年12月19日到2014年12月31日。

首先使用式(9)中的模型設定性檢驗判斷時變參數(shù)的存在性，從而以便在模型(21)和(22)之間做出選擇?；谀Ｐ?21)的殘差平方和SSR0=1.95×109，基于模型(22)的殘差平方和SSR1=1.22×109，從而容易計算出式(9)中F統(tǒng)計量的值：F=301?；谑?11)的F*統(tǒng)計量為：F*=94.58。兩者均能在5%的顯著性水平下拒絕參數(shù)為常數(shù)的假設。因而應該選擇考慮時變參數(shù)的模型(22)。所以考慮如下模型：

Sch，t=α+α11sin(2πkt)+α21cos(2πkt)+

βSus，t+β11sin(2πkt)Sus，t+

β21cos(2πkt)Sus，t+δt+δ11tsin(2πkt)+

δ21tcos(2πkt)+et

(23)

使用最小二乘法估計回歸方程(23)得到：

Sch=5 222.73-1 327.42sin(2πkt)-

4 521.26cos(2πkt)+0.16Sus-

0.33Sussin(2πkt)-0.13Sus，tcos(2πkt)-

2.04t+0.49tsin(2πkt)+

2.33tcos(2πkt)+et

(24)

式(24)中所有系數(shù)在1%的顯著性水平下顯著，其R2為0.772，相對于基于模型(21)得到的R2=0.634有很大的提高。

因而，可以得到時變參數(shù)模型估計：

(25)

其中

年限

另一類文獻，注重基于股市收益率分析市場間的聯(lián)動關系，如基于GARCH族模型或基于收益率之間回歸的研究[14]。本文考慮基于回歸模型的市場間聯(lián)動。若不考慮模型參數(shù)的時變性，則建立如下模型：

rch，t=a+βrus，t+et

(26)

考慮到回歸模型參數(shù)的時變性特征，則應當建立如下模型：

rch，t=at+βtrus，t+et

(27)

其中at，βt如(4)和(5)所示，rch，t，rus，t分別為中國股市和美國股市的收益率。

為了在模型(26)和(27)之間做選擇，先計算出式(9)中F統(tǒng)計量的值：F=522.28?；谑?11)的F*統(tǒng)計量為：F*=114.21。均在1%的顯著性水平下拒絕了參數(shù)為常數(shù)的假設，因而模型設定檢驗支持使用模型(27)。

本文基于簡單的時變參數(shù)模型得到的結論與文獻基于復雜模型得到的結論一致。例如：在協(xié)整回歸框架下，Zhang和Li發(fā)現(xiàn)中國股市與美國股市之間的聯(lián)動關系存在時變性，且在金融危機時期聯(lián)動性顯著增強[15]；Chou和Cai使用雙平滑轉移條件相關-條件自相關模型(Double Smooth Transition Conditional Correlation-conditional Autoregressive Range model)考察股市聯(lián)動問題，發(fā)現(xiàn)中國股市與美國股市之間的聯(lián)動關系存在顯著的時變性特征[16]。因此，如果不考慮參數(shù)的時變性特征，基于簡單的線性回歸模型可能得到錯誤結果；如果考慮參數(shù)的時變性，本文的時變參數(shù)回歸模型可以很好地處理實證問題。

五、結 論

過去幾十年里，線性模型在計量經(jīng)濟學和實證經(jīng)濟管理類文獻中被普遍研究和使用。雖然非線性被發(fā)現(xiàn)普遍存在于經(jīng)濟現(xiàn)象中，由于非線性模型往往能被線性模型很好地近似，因而線性模型在實際應用中依然十分受歡迎。然而，含時變參數(shù)的線性模型還很少被研究，而模型參數(shù)的時變性是模型擬合優(yōu)度與預測的重要障礙。

本文基于傅里葉變換建立了一個考慮回歸模型系數(shù)時變性特征的方法，并給出了模型的估計方法和設定檢驗。使用蒙特卡洛模擬表明：新建立的方法能很好地處理各種常見的時變參數(shù)類型，如連續(xù)的時變參數(shù)、隨機的時變參數(shù)和跳躍的時變參數(shù)；傳統(tǒng)的F檢驗存在嚴重的檢驗水平扭曲，F(xiàn)*統(tǒng)計量無檢驗水平扭曲的問題且易于計算。本文的方法具有模型的簡潔性和應用的便捷性特征。

最后，本文將該方法應用于研究中美兩國的股市聯(lián)動特征分析。發(fā)現(xiàn)不管是基于股票指數(shù)序列還是基于收益率序列，考慮模型參數(shù)的時變性特征都能顯著提升模型的擬合優(yōu)度，同時能提供更為豐富的聯(lián)動特征幫助投資者在全球范圍分散投資。反之，若不考慮參數(shù)的時變性，則可能得到錯誤結論。對比研究本文的時變參數(shù)線性模型與基于卡爾曼濾波的時變參數(shù)模型的優(yōu)劣及其各自發(fā)揮優(yōu)勢的條件，是未來值得研究的課題。

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