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    基于三角函數(shù)組合的洛倫茲曲線模型

    2018-03-06 07:41:39周遞芝
    經(jīng)濟研究導(dǎo)刊 2018年5期
    關(guān)鍵詞:凹凸洛倫茲冪函數(shù)

    周遞芝

    (貴州民族大學(xué) 教務(wù)處,貴陽550025)

    引言

    作為刻畫社會收入分配的有效工具,洛倫茲曲線模型已得到廣泛而深入的研究。一般情況下,可通過兩種途徑獲取收入分配數(shù)據(jù)的洛倫茲曲線,一種是通過已知數(shù)據(jù)擬合收入分配的概率密度函數(shù),再導(dǎo)出洛倫茲曲線;另一種是由收入分配數(shù)據(jù)直接構(gòu)造洛倫茲曲線。由于收入分配的統(tǒng)計分布不易確定,導(dǎo)致很難擬合出合適的概率密度函數(shù)。因此,數(shù)理經(jīng)濟理論界學(xué)者更傾向使用第二種途徑,即直接構(gòu)造洛倫茲曲線。

    設(shè)收入分配的概率密度函數(shù)為(fx),對應(yīng)的概率分布函數(shù)為F(x),則p=F(x)表示收入低于或等于x的人口比例。記收入低于或等x于的人口群體擁有收入占總收入的比例為L(p),則;記F(x)的反函數(shù)為F-(1p),μ為平均收入,則也被稱為收入分配的洛倫茲曲線。實際應(yīng)用中,可通過入戶調(diào)查獲得家庭收入與消費等數(shù)據(jù)其中pi與Li分別為低收入群體的累計比例和該群體的總收入比例。利用最小二乘擬合的方法,先確定L(p,τ)參數(shù)向量 τ的估計值,再用作為洛倫茲曲線對收入分配進行近似分析。L(p,τ)是定義在[0,1]區(qū)間上滿足L(0,τ)=0,L(1,τ)=1,L('p,τ)≥0,L"(p,τ)≥0,(0.1)的函數(shù),即在[0,1]上是一個凸的增函數(shù)。

    一直以來,人們的普遍關(guān)注洛倫茲曲線模型.文獻[1]列出了大量的洛倫茲曲線模型[1],并進行比較.文獻[2]構(gòu)造了形如 G(p)=pαL(p)n的洛倫茲曲線模型[2]。隨后,Ogwang等人在文獻[3]通過凸組合和加權(quán)積的方式構(gòu)造一系列洛倫茲曲線模型[3]。此后,眾多學(xué)者以冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等為基礎(chǔ)通過加權(quán)、組合、扭曲等方式構(gòu)造了一些洛倫茲曲線模型[4-11]。

    一、洛倫茲曲線模型的構(gòu)建

    文獻[10]和[11]對文獻[4]中形如 G(p)=pαL(p)n的幾個具體模型進行數(shù)值實驗后發(fā)現(xiàn),當參數(shù)α?的估計值α?∈(0,1)時,pα相應(yīng)模型的擬合效果較好。顯然,當時是一個凹函數(shù)。據(jù)此,通過恰當?shù)膬绾瘮?shù)與對數(shù)函數(shù)形式的凹函數(shù)替換pα,它們構(gòu)造了一類具有良好擬合效果的凹凸組合的洛倫茲曲線模型。受此啟發(fā),下面通過三角函數(shù)形式的凹函數(shù)替換pα,構(gòu)造一個基于三角函數(shù)與冪函數(shù)的凹凸組合的洛倫茲曲線模型。

    證明:要證 J(p)為洛倫茲曲線模型,只需驗證 J(p)滿足(0.1)式。直接計算可得J(0)=0,J(1)=1。由知,當時,J'(p)≥0。因為所以,當 0≤p≤1 時

    二、模型檢驗

    為了檢驗定理1中模型的合理性,下面選取文獻[12]所采用的美國100個分位點的詳細收入分配分組數(shù)據(jù)進行模型檢驗[12],分別定義均方誤差、平均絕對誤差、最大絕對誤差和基尼系數(shù)G為:

    借助Lingo9.0,可以得到1977年美國收入分配分組數(shù)據(jù)的擬合檢驗情況(見表1)。式的凹函數(shù)構(gòu)造凹凸組合形式的洛倫茲曲線模型,亦具有較好的擬合精度。這不僅進一步說明凹凸組合形式的洛倫茲曲

    表1 1977年美國收入分組數(shù)據(jù)均方誤差檢驗結(jié)果

    檢驗結(jié)果表明,該模型的擬合精度較高,對細致數(shù)據(jù)具有很好的適應(yīng)性。

    結(jié)語

    繼文獻[10]與[11]分別用冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)形式的凹函數(shù)來構(gòu)造凹凸組合形式的洛倫茲曲線模型后,用三角函數(shù)形線模型擬合精度高、適應(yīng)強,而且豐富并完善了已有的洛倫茲曲線模型理論及其應(yīng)用。

    [1]Schader M.,Schmid F.Fitting parametric Lorenzcurves to grouped income distribution-A critical note[J].Empirical Economics,1994,19:361-370.

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    [3]Ogwang T.,Gourang a Rao U L.Hybrid models of the Lorenz curve[J].Economics Letters,2000,(69):39-44.

    [4]張奎,王原君.Sarabia 洛倫茲曲線模型的推廣[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2010,23(3):501-507.

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    [7]顏節(jié)禮,王祖祥.洛倫茲曲線模型研究綜述和最新進展[J].統(tǒng)計與決策,2014,(1):34-39.

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    [10]儲昌木,邢麗,田應(yīng)福.基于凹凸組合的一類洛倫茲曲線模型[J].經(jīng)濟數(shù)學(xué),2015,(2):93-96.

    [11]邢麗,儲昌木,孫嬌嬌.基于對數(shù)組合的一類洛倫茲曲線模型[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2016,46(5):204-209.

    [12]Basmann,R.L.,Hayes,K.J.,Slottje,D.J,et al.A general functional form for approximating the Lorenzcurve[J].Journal of Econo-metrics,1990,43(1):77-90.

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